Green–Tao-tétel

A Green–Tao-tétel Ben Green és Terence Tao nagy port felvert számelméleti eredménye.

A tétel szerint, ha A egy olyan prímszámokból álló halmaz, aminek relatív sűrűsége pozitív, azaz van olyan c pozitív valós szám, hogy végtelen sok x számra A x-ig legalább a prímszámok c-edrészét tartalmazza, akkor A-ban van tetszőlegesen hosszú számtani sorozat. Már az az állítás, hogy van tetszőlegesen hosszú, prímekből álló számtani sorozat, a számelmélet egy régi, nevezetes problémáját oldja meg.

Története

A számelmélet e nevezetes sejtése tulajdonképpen egyik matematikus nevéhez sem fűződik. Feltehetően már Joseph Louis Lagrange és Edward Waring felvetette 1770-ben, amikor azt vizsgálták, egy n hosszúságú, prímszámokból álló számtani sorozat differenciája mekkora lehet.

Vinogradov Goldbach-sejtéssel kapcsolatos nevezetes tételének módszerét alkalmazva igazolta Johannes van der Corput és Theodor Estermann, hogy végtelen sok, prímekből álló, háromtagú számtani sorozat létezik. A továbblépés már nagyon nehéz volt: csak 1981-ben igazolta Roger Heath-Brown, hogy van végtelen sok négytagú számtani sorozat, amiben van három prímszám és a negyedik tagja legfeljebb két prímszám szorzata. Egy másik irányban Balog Antal 1992-ben bebizonyította hogy minden k-ra van k prímszám, $p_{1},\dots ,p_{k}$, hogy a $(p_{i}+p_{j})/2$ átlagok ($1\leq i<j\leq k$) különböző prímszámok. Ebből és abból, hogy minden $n\geq 3$, $n\neq 6$ értékre van két ortogonális latin négyzet, már következik, hogy minden $n\geq 3$-ra van csupa különböző prímből álló $n\times n$-es bűvös négyzet.

Green és Tao 2004-ben igazolta nevezetes tételét abban a sokkal erősebb formában, hogy minden olyan prímszámokból álló A halmaz tartalmaz tetszőleges hosszúságú számtani sorozatot, aminek pozitív a relatív sűrűsége, azaz $\lim \inf A(x)/\pi (x)>0$ ahol A(x) az a halmaz x-nél kisebb tagjainak száma, $\pi (x)$ pedig a prímek száma x-ig.

A tételt 2006-ban Tao és Tamar Ziegler kiterjesztette polinomérték-különbségű sorozatokra. Azt bizonyították tehát, hogy ha $p_{1}(x),\dots ,p_{k}(x)$ egész együtthatós, 0 konstans taggal rendelkező polinomok, akkor van végtelen sok olyan egész $(a,b)$ számpár, hogy $a+p_{1}(b),\dots ,a+p_{k}(b)$ valamennyien prímek.

2007-ben Tao igazolta a Gauss-prímekre vonatkozó állítást: ha $b_{1},\dots ,b_{k}$ Gauss-egészek, akkor van $r$ pozitív egész szám és a Gauss-egész, hogy $a+rb_{1},\dots ,a+rb_{k}$ valamennyien Gauss-prímek.

Green-Tao-tétel a művészetben

Sin Oliver, Green-Tao Theorem with Endre Szemeredi, 2012
Modessqe Collection

Sin Oliver 2012-es Green-Tao Theorem with Endre Szemeredi című festménye a tétel egy vizuális absztrakciója.