Bernoulli-számok

A Bernoulli-számok a számelméletben előforduló sajátos értékek. A racionális számokból álló Bernoulli-számsorozatot ${\bigl (}(B_{n})_{n\geq 0}{\bigr )}$ a következő rekurzió határozza meg:

$B_{0}=1,$ továbbá

$B_{0}+2B_{1}=0,$

$B_{0}+3B_{1}+3B_{2}=0,$

$B_{0}+4B_{1}+6B_{2}+4B_{3}=0,$

$B_{0}+5B_{1}+10B_{2}+10B_{3}+5B_{4}=0,$ és így tovább.

Általánosan a következő rekurzív képlettel értelmezzük a sorozatot: $B_{n}=-{\frac {1}{n+1}}\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{{\Biggl (}{\binom {n+1}{k}}\cdot B_{k}{\Biggr )}}$.

Így adódik a $B_{0}=1,B_{1}=-{\frac {1}{2}},B_{2}={\frac {1}{6}},B_{3}=0,B_{4}=-{\frac {1}{30}},B_{5}=0,B_{6}={\frac {1}{42}},\dots$ sorozat.

A definíció alapján kaphatjuk, hogy teljesül a

${\frac {t}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}t^{n}$

sorfejtés. Ebből igazolható, hogy $B_{3}=B_{5}=B_{7}=\cdots =B_{2k+1}=\cdots =0$.

A páros indexű Bernoulli-számok a Riemann-féle zéta-függvény segítségével is definiálhatóak a következőképpen:

$B_{2n}=2(-1)^{n+1}{\frac {\zeta (2n)\;(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}.$

Különféle sorfejtésekben is előfordulnak, például:

$\sum _{k=0}^{m-1}k^{n}={1 \over {n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose {k}}B_{k}m^{n+1-k};$

${\rm {tg}}\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}};$

${\rm {ctg}}\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}.$

A Bernoulli-számok számlálói és nevezői

T. Claussen és C. von Staudt egymástól függetlenül a következő tételt fedezte fel:

Ha $m\geq 1$, akkor ${\biggl (}B_{2m}+\sum {\frac {1}{p}}{\biggr )}\in \mathbb {Z}$, ahol azon p prímszámokat összegezzük, amelyekre $(p-1)\mid 2m$.

Mivel 2-1=1 és 3-1=2 osztója 2-nek, innen azonnal adódik Rámánudzsan észrevétele, hogy ekkor $B_{2m}$ nevezője osztható 6-tal.

Aszimptotikus becslés

n nagy értékeire érvényes a következő aszimptotikus formula: $\left|{B_{2n}}\right|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}$.