Másodrendű számtani sorozat

A másodrendű számtani sorozatok olyan számsorozatok (vagy általánosabban: egy kvázicsoport elemeiből képezett olyan sorozatok), melyek maguk nem feltétlenül számtani sorozatok ugyan, de különbségsorozatuk már számtani sorozat.

Egy legalább három számból álló - akár véges, akár végtelen - sorozatot akkor nevezünk tehát másodrendű számtani sorozatnak, ha a szomszédos elemek különbségéből álló sorozat szomszédos elemeinek különbsége (a sorozatra jellemző) állandó. Azaz: a sorozat különbségsorozatának különbségsorozata (a sorozat ún. másodrendű különbségsorozata) konstans.

Egy egyszerű példa a négyzetszámok 1, 4, 9, 16, 25, 36,… sorozata: az 1-hez 3-at kell hozzáadni, hogy a következő tagot, a négyet kapjuk, a négyhez viszont már ötöt, hogy a kilenc adódjon, a kilenchez már hetet; általánosan: mindig kettővel többet, mint megelőzően. Nemcsak példák tömkelege igazolja, de szigorúan is bebizonyítható, hogy a másodrendű számtani sorozat a kontinuum felett értelmezett valós függvények elméletében definiálható „egyváltozós, legfeljebb másodfokú függvény” fogalmának diszkrét megfelelője.

Egyéb definíciók

Egy lehetséges formális definíció

A bevezető definíciónak megfelelően, egy (a_n) sorozat akkor és csak akkor másodrendű számtani sorozat, ha (Δ₂a_n) számtani sorozat, azaz

(∃C∈R)(∀n∈N⁺): Δ₂a_n := Δa_n+1-Δa_n = C,

ahol (Δ₂a_n) az (a_n) sorozat másodrendű különbségsorozata.

Rekurzív megadás

A Különbségsorozat c. cikkben leírt Δa_n := a_n+1 − a_n képlet alkalmazásával bármely sorozat a_n+1=a_n+Δa_n alakba írható. Felhasználva, hogy a Δa_n elsőrendű különbségsorozat egy számtani sorozat s így explicit képlete (n-edik tagja) Δa_n = Δa₁+(n-1)D valamely D valós számmal, adódik

a_{n+1}=a_{n}+\Delta a_{1}+(n-1)D

Tehát: az (a_n) sorozat pontosan akkor másodrendű számtani sorozat, ha vannak olyan A, B valós számok, hogy

a_{n+1}=a_{n}+(n-1)A+B

,

vagy ami ezzel ekvivalens (minthogy (n-1)A+B = nA-A+B = nA+(B-A), írjunk B-A helyébe egyszerűen B-t):

a_{n+1}=a_{n}+nA+B

.

A(z elsőrendű) számtani sorozatokra vonatkozó analóg rekurzív képlet ettől annyiban különbözik, hogy abban nincs benne az nA tag.

Megjegyezzük, hogy szűkebb értelemben véve ez még nem rekurzív megadása a sorozatnak (ld. rekurzív sorozat), ugyanis nem találtunk olyan m-változós φ(x₁,x₂,…,x_n):R→R függvényt, amelyet a sorozat tetszőleges m-darab tagjára alkalmazhatnánk, és megkapnánk a következő tagot. Írjuk fel azonban egy másodrendű sorozat három egymást követő tagját a következőképp:

a_n;
a_n+1 = a_n+Δa_n;
a_n+2 = a_n+1+Δa_n+1 = a_n+1+Δa_n+d = a_n+1+(a_n+1-a_n)+d = 2a_n+1-a_n+d.

Ebből következően egy másodrendű számtani sorozat n+2-edik tagját úgy kapjuk, hogy ez előző két tagot a

φ(x,y) := 2x-y+d

egyenletbe helyettesítjük (a megelőző tagot az x, azt azt megelőzőt pedig az y helyébe; a d valós szám persze a különbségsorozat differenciája):

a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+d

.

A φ itt kétváltozós függvény, tehát a másodrendű számtani sorozatok másodrendben rekurzív függvények. Ld. még minimális rekurziós rend.

Általános (n-edik) tag

Az első tag függvényében

Ha az a_n másodrendű sorozat első tagja a₁, a különbségsorozata első tagja Δa₁ és a különbségsorozat differenciája D, akkor:

a_{n}=a_{1}+(n-1)\Delta a_{1}+{\frac {(n-2)(n-1)D}{2}}

Ez a következő gondolatmenettel adódik: kiindulva az a_n = a₁+Δa₁+Δa₂+ … +Δa_n-1, tömörebben $a_{n}=a_{1}+\sum _{i=1}^{n-1}\Delta a_{n}$ képletből,^[1] amelyben a (Δa_n) számtani sorozat - differenciája legyen D - összege szerepel, és felhasználva a számtani sorozat összegképletét, adódik $\textstyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\Delta a_{1}+{\frac {(n-2)(n-1)D}{2}}$ .

Analitikus szemléletű definíció

Tétel (és/vagy definíció): Egy (a_n) legalább háromtagú sorozat akkor és csak akkor másodrendű számtani sorozat, ha vannak olyan α, β, γ ∈R valós számok, hogy teljesüljön

a_{n}=\alpha n^{2}+\beta n+\gamma

.

Ha az illető sorozat másodrendű számtani sorozat, akkor felhasználva az első tag függvényében az n-edik tagot megadó $a_{n}=a_{1}+(n-1)\Delta a_{1}+{\frac {(n-2)(n-1)D}{2}}$ képletet, ezt átalakítjuk az n változó hatványkitevőinek csökkenő sorrendje szerint rendezve: $a_{n}$ $=$ $a_{1}+n\Delta a_{1}-\Delta a_{1}+{\frac {(n^{2}-3n+2)D}{2}}$ $=$
$=$ ${\frac {D}{2}}n^{2}+{\frac {-3D+2\Delta a_{1}}{2}}n+\left(a_{1}-\Delta a_{1}+D\right)$ , innen pedig világos, hogy a keresett az α, β, γ számok tényleg léteznek, mégpedig

\alpha ={\frac {D}{2}},\beta ={\frac {2\Delta a_{1}-3D}{2}},\gamma =a_{1}-\Delta a_{1}+D

.

Fordítva, ha egy, az $a_{n}=\alpha n^{2}+\beta n+\gamma$ képlettel megadható sorozat bármely öt egymást követő tagját felírjuk (feltéve, ha létezik ennyi tagja):

a_n = αn²+βn+γ
a_n+1 = α(n+1)²+β(n+1)+γ
a_n+2 = α(n+2)²+β(n+2)+γ
a_n+3 = α(n+3)²+β(n+3)+γ
a_n+4 = α(n+4)²+β(n+4)+γ

A megfelelő differenciák egyaránt:

Δa_n = a_n+1 - a_n = α2n+α+β
Δa_n+1 = a_n+2 - a_n+1 = α2n+3α+β
Δa_n+2 = a_n+3 - a_n+2 = α2n+5α+β
Δa_n+3 = a_n+4 - a_n+3 = α2n+7α+β

A megfelelő második (másodrendű) differenciák:

ΔΔa_n = Δa_n+1 - Δa_n = (α2n+3α+β)-(α2n+α+β) = 2α
ΔΔa_n+1 = Δa_n+2 - Δa_n+1 = (α2n+5α+β)-(α2n+3α+β) = 2α
ΔΔa_n+2 = Δa_n+3 - Δa_n+2 = (α2n+7α+β)-(α2n+5α+β) = 2α

Ez pedig egy konstans sorozat, tehát a differenciák differenciája állandó, ezért a differenciák sorozata számtani sorozat, tehát (a_n) egy másodrendű számtani sorozat.

(Megjegyzés: ha a sorozatnak nincs legalább öt tagja, a különbségsorozatos definíció értelmetlen rá. Ez esetben a fenti analitikus definíció a másodrendű számtani sorozat fogalom kézenfekvő kiterjesztésének tekinthető).

Példák

Elfajult esetek

Igen egyszerű (sőt, elfajult) példa, ha a különbségsorozat a konstans 0 sorozat, az első elem pedig 0. Ekkor a konstans 0 sorozatot kapjuk. Általában, ha a különbségsorozat konstans (mondjuk (d, d, … )), akkor az itt leírt a_n+1=a_n+Δa_n képlet alkalmazásával beláthatóan, elsőrendű számtani sorozatot kapunk, hiszen ekkor a_n+1=a_n+d. Egy másodrendű számtani sorozat ezért akkor és csak akkor (elsőrendű) számtani sorozat, ha különbségsorozata konstans (hogy csak akkor számtani, az a számtani sorozat definíciójából adódik, hogy akkor számtani, az pedig az említett képlet alkalmazásával adódott).

További példák

első tag	különbség	a sorozat pár tagja	n-edik tag (n ∈N⁺)
1	0	1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …	1
1	2	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …	2n-1
0	n	0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, …	$\textstyle {\frac {(n-1)(n)}{2}}={n \choose 2}={\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {1}{2}}n$
2	n	2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, …	$\textstyle {\frac {(n-1)n}{2}}+2={n \choose 2}+2={\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {1}{2}}n+2$
0	n+1	0, 2, 5, 9, 14, 20, 27, …	$\textstyle {\frac {(n-1)(n+2)}{2}}={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n-1$
0	2n	0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, …	$\textstyle (n-1)(n)=n^{2}-n=2{n \choose 2}$
1	2n	1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, …	$\textstyle (n-1)(n)=n^{2}-n+1=2{n \choose 2}+1$
0	2n+1	0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, …	$\textstyle (n-1)(n+1)=n^{2}-1$
1	2n+1	1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …	$\textstyle n^{2}$

További tulajdonságok

Összegképlet

A másodrendű számtani sorozatok összegzését megnehezíti, hogy az összegsorozat magasabbrendű, nevezetesen harmadrendű számtani sorozat. Az analitikus szemléletű definíció c. szakaszban levezetett $a_{n}=\alpha n^{2}+\beta n+\gamma$ képlet alapján viszont, felhasználva a szakirodalomban ismert, a négyzetszámok összegzését megadó képletet és a háromszögszám-képletet: $S_{a_{n}}$ $=$ $\sum _{i=1}^{n}a_{n}$ $=$ $\sum _{i=1}^{n}\left(\alpha i^{2}+\beta i+\gamma \right)$ $=$
$=$ $\sum _{i=1}^{n}\alpha i^{2}+\sum _{i=1}^{n}\beta i+\sum _{i=1}^{n}\gamma$ $=$ $\alpha \sum _{i=1}^{n}i^{2}+\beta \sum _{i=1}^{n}i+\sum _{i=1}^{n}\gamma$ $=$ $\alpha S_{n^{2}}+\beta S_{n}+n\gamma$ $=$ $\alpha {\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}+\beta {\frac {n(n+1)}{2}}+n\gamma$ $=$
$=$ ${\frac {\alpha }{3}}n^{3}+{\frac {\alpha +\beta }{2}}n^{2}+\left({\frac {\alpha +3\beta +6\gamma }{6}}\right)n$ $=$
$=$ ${\frac {D}{6}}n^{3}+{\frac {\Delta a_{1}-D}{2}}n^{2}+\left({\frac {2D-3\Delta a_{1}+6a_{1}}{6}}\right)n$ .

Minimális rekurziós rend

A Rekurzív megadás c. szakaszban foglaltak szerint a másodrendű számtani sorozatok másodrendben rekurzívak. Még ha nem is számtani sorozatról van szó (amelyek minimális rekurziós rendje 1), hanem olyan másodrendű számtani sorozatról, amelynek különbségsorozata nem állandó - nevezzük ezeket valódi másodrendű számtani sorozatnak - még ezekhez is létezhet a másodrendű rekurziónál egyszerűbb, elsőrendű rekurzió. Egy példa:

Tétel: Azon csak nemnegatív elemeket tartalmazó másodrendű számtani sorozatok, melyek f(n)=αx²+βx+γ "generálófüggvénye" a nemnegatív valós számok halmazára szorítkozva invertálható;^[2] elsőrendben is rekurzívak, azaz minimális rekurziós rendjük 1.

Bizonyítás: Tekintsük az analitikus szemléletű definíció c. szakaszban levezetett $a_{n}=\alpha n^{2}+\beta n+\gamma$ képletet! Mármost az (a₁) sorozat akkor és csak akkor elsőrendben rekurzív, ha van olyan φ(x); R→R egyváltozós valós függvény, amelyre bármely n>0 index esetén a_n+1 = φ(a_n). Eszerint a φ(x) függvény minimum az X := {a_n|n∈N⁺} = {αn²+βn+γ|n∈N⁺}⊆R halmazon értelmezve kell, hogy legyen, és ennek n-edik eleméhez az n+1-edik elemét kell rendelnie. Legyen f(x) := αx²+βx+γ a sorozatnak képlete által megadott valós függvény. Ekkor ha m∈N⁺ tetszőleges index, és x = a_n = f(n)∈X, akkor φ(x) = φ(a_n) = φ(f(n)) = a_n+1= f(n+1). Azaz egy olyan függvényegyenlethez jutottunk, amely szerint:

φ(f(n))= f(n+1)

bármely n>0 természetes számra (f egy rögzített, az illető másodrendű számtani sorozatra jellemző, legfeljebb másodfokú függvény). Legyen most f* = f_|R+⁻¹, azaz az f pozitív valós számokra való leszűkítésének inverz függvénye (feltevésünk szerint ez létezik, s már említettük, hogy a példák közt vannak olyan valódi másodrendű számtani sorozatok, amelyek valóban invertálhatóak e módon). Akkor, ha f(n)=x, akkor (véve mindkét oldal inverzét) n=f*(f(n))=f*(x), tehát f(n+1)=f(f*(x)+1), azaz:

φ(x)= f(f*(x)+1)

Ezzel megkaptuk a φ függvény képletét, és ezzel egy elsőrendű rekurziót. Például ha a_n=n², akkor $\textstyle \varphi (x)=\left({\sqrt {x}}+1\right)^{2}=x+2{\sqrt {x}}+1$ , és valóban például 4=φ(1)=1+2+1, 9=φ(4)=4+2√(4)+1=4+4+1; 16=φ(9)=9+2√9+1=9+6+1 stb.

Lineáris algebrai leírás

Az analitikus szemléletű definíció c. szakaszban levezetett $a_{n}=\alpha n^{2}+\beta n+\gamma$ képlet alapján kimondható, hogy a valós számsorozatok (R^N+,+, · (0)) lineáris terén (+ a sorozatok tagonkénti összeadásának, · a számmal való tagonkénti szorzásának művelete) belül a másodrendű számtani sorozatok egy generált alteret alkotnak, a generáló vektorok pedig az (1), az (n) és az (n²) sorozatok. Ennek az altérnek a dimenziója - a generáló elemek függetlensége miatt - 3.^[3]

Hivatkozások

Lásd még

Források

↑ Ld. a Különbségsorozat/Rekurzív jellegű általános összefüggések c. cikket.
↑ A példáink közt sok ilyen van, például az $\textstyle f(n)={\frac {(n-1)n}{2}}$ -é $\textstyle f^{-1}(n)={\frac {\sqrt {8n+1}}{2}}+{\frac {1}{2}}$ , vagy a $\textstyle g(n)=(n-1)(n+1)$ -é $\textstyle g^{-1}(n)={\sqrt {n+1}}$ , és persze a h(n) = n²-é h^-1=√n
↑ A generáló elemek valóban lineárisan függetlenek, hiszen az (1) és (n) vektorok függetlenek, mert különben lennének u,v nem nulla számok, hogy u(1)+v(n)=(0), azaz minden n>0-ra n=-v/u, ami nyilvánvaló képtelenség; ebből következően ha hozzávesszük a két vektorhoz az (n²) vektort, az így kapott rendszer is független lesz, mert ha nem lenne, egy tétel miatt (n²) előállna az előző két vektor nemnulla együtthatós lineáris kombinációjaként, azaz léteznének p,q≠0 valós számok úgy, hogy minden n-re p+qn=n², ami egyenértékű azzal, hogy tetszőleges n-re megoldható lenne a 0=n²-qn+p másodfokú egyenlet. Ennek megoldása (még ha valójában meg is oldható az egyenlet, ami nem biztos) n=(q±√q²-4p)/2 lenne; ami szintén nyilvánvaló képtelenség, hiszen így bármely két pozitív egész szám egyenlő lenne.

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[1] Ld. a Különbségsorozat/Rekurzív jellegű általános összefüggések c. cikket.

[2] A példáink közt sok ilyen van, például az $\textstyle f(n)={\frac {(n-1)n}{2}}$ -é $\textstyle f^{-1}(n)={\frac {\sqrt {8n+1}}{2}}+{\frac {1}{2}}$ , vagy a $\textstyle g(n)=(n-1)(n+1)$ -é $\textstyle g^{-1}(n)={\sqrt {n+1}}$ , és persze a h(n) = n²-é h^-1=√n

[3] A generáló elemek valóban lineárisan függetlenek, hiszen az (1) és (n) vektorok függetlenek, mert különben lennének u,v nem nulla számok, hogy u(1)+v(n)=(0), azaz minden n>0-ra n=-v/u, ami nyilvánvaló képtelenség; ebből következően ha hozzávesszük a két vektorhoz az (n²) vektort, az így kapott rendszer is független lesz, mert ha nem lenne, egy tétel miatt (n²) előállna az előző két vektor nemnulla együtthatós lineáris kombinációjaként, azaz léteznének p,q≠0 valós számok úgy, hogy minden n-re p+qn=n², ami egyenértékű azzal, hogy tetszőleges n-re megoldható lenne a 0=n²-qn+p másodfokú egyenlet. Ennek megoldása (még ha valójában meg is oldható az egyenlet, ami nem biztos) n=(q±√q²-4p)/2 lenne; ami szintén nyilvánvaló képtelenség, hiszen így bármely két pozitív egész szám egyenlő lenne.

[1]

[2]

[3]