Különbségsorozat

Egy véges vagy végtelen (a_n) = (a₁, a₂, a₃, …) (szám)sorozat különbségsorozatának nevezzük azt a (d_n) sorozatot, melynek n-edik tagja:

d_n = Δa_n = a_n+1-a_n,

ahol n>0 természetes szám. Vagyis a különbségsorozat első tagja az eredeti sorozat második és első tagjának különbsége, második tagja az eredeti sorozat harmadik és második tagjának különbsége, s.í.t.

A különbségsorozat fogalma a fenti módon értelmezhető, általánosítható tetszőleges kvázicsoport elemeiből képezett sorozatokra is.

Példák

Képezzük a négyzetszámok N sorozatának – tehát N_n := (1, 4, 9, 16, 25, … n², …) – különbségsorozatát:

1. ΔN₁ = N₂-N₁ = 4-1 = 3;
2. ΔN₂ = N₃-N₂ = 9-4 = 5;
3. ΔN₃ = N₄-N₃ = 16-9 = 7;
4. ΔN₄ = N₅-N₄ = 25-16 = 9;
5. s.í.t. …
6. általában: ΔN_n = N_n+1-N_n = (n+1)²-n² = (n²+2n+1) – n² = 2n+1

azaz a négyzetszámok sorozatának különbségsorozata az egynél nagyobb páratlan számok sorozata.

További példák (rendre az 1 értéket felvevő konstans sorozat, a pozitív egészek, a páros számok, a tíz többszörösei, a négyzetszámok, a kettő- és a háromhatványok sorozatainak különbségsorozata):

   s.:  1   1   1   1    1 …
 k.s.:    0   0   0   0   …

   s.:  1   2   3   4   5 …
 k.s.:    1   1   1   1   …

   s.:  2   4   6   8   10 …
 k.s.:    2   2   2   2   …

   s.:  10   20   30   40    50 …
 k.s.:    10   10   10    10   …

   s.:  1   4   9   16   25 …
 k.s.:    3   5   7    9   …

   s.:  2   4   8   16    32 …
 k.s.:    2   4   8    16   …

   s.:  3   9    27    81     243 …
 k.s.:    6   18    54    162   …

Tételek, alkalmazások

Rekurzív jellegű általános összefüggések

A különbségsorozat definíciója szerint Δa_n = a_n+1-a_n minden n>0-ra. Ezért tetszőleges (a_n) sorozatra érvényes a következő, rekurzív jellegű összefüggés:

a_n+1=a_n+Δa_n

Kiindulva ebből, rekurzív jellegű képletből, írjuk fel rendre a sorozat tagjait a következő sorozatos behelyettesítéseket alkalmazva:

• a₂ = a₁+Δa₁;
• a₃ = a₂+Δa₂ = (a₁+Δa₁)+Δa₂ = a₁+(Δa₁+Δa₂);
• a₄ = a₃+Δa₃ = [a₁+(Δa₁+Δa₂)]+Δa₃ = a₁+(Δa₁+Δa₂+Δa₃)
• s. í. t. …

Hasonlóan haladva és teljes indukcióval bizonyíthatóan,

• a_n = a₁+Δa₁+Δa₂+ … +Δa_n-1, tömörebben $a_{n}=a_{1}+\sum _{i=1}^{n-1}\Delta a_{n}$.

Algebrai tulajdonságok

Két, valamely csoport elemeiből álló sorozat összegének és különbségének különbségsorozata a különbségsorozatok összege:

Δ(a±b)n = Δan±Δbn,

hiszen Δ(a±b)_n = (a±b)_n+1±(a+b)_n) = (a_n+1±b_n+1)-(a_n±b_n+1) = (a_n+1-a_n)±(b_n+1-b_n) = Δa_n±Δb_n.

Egy R félgyűrű felett értelmezett sorozat skalárszorosának (elemszeresének) (α∈R) különbségsorozata az eredeti sorozat különbségsorozatának számszorosa:

Δα(an) = α(Δan),

hiszen Δαa_n = (αa)_n+1-(αa)_n = α·a_n+1-α·a_n = α(·a_n+1-·a_n) = α(Δa_n).

Sorozatok kategorizálása

• Egy számsorozat akkor és csak akkor konstans, ha különbségsorozata minden tagja 0. Egy másik elnevezés: nulladrendű számtani sorozat.

• Egy számsorozatot számtani sorozatnak nevezünk, ha különbségsorozata állandó (konstans) sorozat. Egy másik elnevezés: elsőrendű számtani sorozat. Az elsőrendű számtani sorozatok különbségsorozata tehát nulladrendű számtani sorozat.

• Egy számsorozatot n-edrendű számtani sorozatnak nevezünk, ha nulladrendű számtani sorozat (n=0), vagy ha különbségsorozata n-1-edrendű számtani sorozat (n>0). Ezek épp azok a számsorozatok, melyek i-edik tagja egy legfeljebb n-edfokú egyhatározatlanú polinom határozatlanjának helyébe i-t helyettesítve adódik (a_i = α₀+α₁i+…+α_niⁿ).

Általánosítások

Egy (a_n) sorozat különbségsorozatának különbségsorozata az eredeti sorozat másodrendű különbségsorozata (jele Δ₂(a)_n). Hasonlóan definiáljuk a magasabbrendű különbségsorozatokat: egy sorozat k+1-edrendű különbségsorozata a k-adrendű különbségsorozatának különbségsorozata (jele Δ_k(a)_n).