Sajátvektor és sajátérték

A lineáris algebrában egy lineáris transzformáció sajátvektora a vektortér olyan nemnulla vektora, amelyet a leképezés a skalárszorosába visz. Négyzetes mátrixok sajátvektorainak a mátrixhoz tartozó leképezés sajátvektorait nevezzük. A szóban forgó skalár értékek a sajátértékek. Sajátértékei és sajátvektorai adott esetben jól jellemzik a transzformációt, és fontos szerepet játszanak a matematika csaknem valamennyi ágában, például az algebrában, az analízisben, a geometriában. A fogalom számos hasznos alkalmazása létezik a fizikában, különösen fontos szerepet tölt be a kvantummechanikában, de bárhol szükség lehet a sajátértékekre és a sajátvektorokra, ahol differenciálegyenleteket használnak.

Fogalmak

Ha V vektortér egy T test felett és A egy V $\rightarrow$ V lineáris leképezés, akkor

• v∈V nemnulla vektort az A leképezés egy sajátvektorának nevezzük, ha létezik olyan λ ∈ T, hogy teljesül az

$\mathbf {Av} =\lambda \mathbf {v}$

egyenlőség

• a λ skalárt az A egy v sajátvektorához tartozó sajátértékének nevezzük, ha Av=λv
• a λ skalárt az A sajátértékének nevezzük, ha van A-nak olyan sajátvektora, amihez λ mint sajátérték tartozik
• a λ sajátértékhez tartozó sajátaltér mindazon sajátvektorok által kifeszített altér, melyekhez λ mint sajátérték tartozik
• a λ sajátérték geometriai multiplicitása a λ-hoz tartozó sajátaltér dimenziója
• ha V véges dimenziós, akkor A spektruma az A sajátértékeinek halmaza.

Tulajdonságok

• Ha λ egy invertálható mátrix sajátértéke, akkor 1/λ a mátrix inverzének sajátértéke
• Egy valós mátrix spektruma megegyezik a mátrix transzponáltjának spektrumával
• Egy mátrix sajátértékeinek összege a mátrix nyoma, és a sajátértékek szorzata a mátrix determinánsa
• A főtengelytétel miatt a valós szimmetrikus mátrixok és a komplex önadjungált mátrixok minden sajátértéke valós. Ezek előjelétől függően a mátrix lehet:
  • pozitív definit, ha minden sajátérték pozitív
  • pozitív szemidefinit, ha minden sajátérték ≥0
  • negatív szemidefinit, ha minden sajátérték ≤0
  • negatív definit, ha minden sajátérték negatív
  • indefinit minden más esetben
• Azok a mátrixok, amik felcserélhetők a transzponáltjukkal, ortogonális bázisban diagonalizálhatók. Ilyenek például a szimmetrikus, az önadjungált, az ortogonális és az unitér mátrixok
• Minden komplex mátrix hasonló egy háromszögmátrixszal, aminek a főátlója éppen a sajátértékeket tartalmazza
  • Továbbá hasonló egy blokkos diagonálmátrixszal, amiben a blokkok a sajátértékeket tartalmazzák, esetleg mellettük egy átlóban egyesek állnak. Ez a mátrix Jordan-féle normálformája
• Jelöljön A egy szimmetrikus mátrixot! Ekkor Sylvester tehetetlenségi tétele miatt minden olyan S invertálható mátrixra, amire az S^TAS mátrix diagonális, az S^TAS mátrix főátlóján álló elemek előjele mindig ugyanaz marad

Sajátérték és sajátvektor meghatározása

Legyen adott egy A négyzetes mátrix.

A fenti definíciónak megfelelő sajátérték-egyenlet a következő:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} =\lambda \cdot \mathbf {v}$

Az I egységmátrix felhasználásával ez a következőképp írható:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} =\lambda \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {v}$ (az egységmátrixszal való szorzás nem változtatja meg a vektort)

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} -\lambda \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {0}$, amiből v-t kiemelve (a disztributivitást kihasználva):

$\left(\mathbf {A} -\lambda \cdot \mathbf {I} \right)\mathbf {v} =\mathbf {0}$

A definícióban szerepel az a kikötés, hogy v vektor nem a nullvektor. Különben ebben az egyenletben $\lambda$ tetszőleges lehetne.

Ha viszont nem nullvektor v esetén is nullvektor tud lenni a szorzat, akkor

$\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0$, ahol „det” a determinánst jelöli.

A fenti mátrix abban különbözik az eredeti A mátrixtól, hogy a főátlóban $a_{ii}$ elemek helyett $a_{ii}-\lambda$ elemek vannak, a többi elem viszont megegyezik.

Az A mátrix karakterisztikus polinomjának nevezzük a következő polinomot:

$P(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )$

Ennek a polinomnak a foka megegyezik a mátrix dimenziójával, azaz egy $n\times n$ dimenziós mátrixhoz legfeljebb $n$ különböző sajátérték tartozhat.

A fenti módszer nem a legpraktikusabb módja a sajátértékek megkeresésének, hiszen a karakterisztikus polinom már 3×3-as mátrixok esetén is harmadfokú, aminek a megoldása nehézkes; ráadásul negyedfokúnál magasabb polinomokra nincs is megoldóképlet.

A $\lambda _{i}$-hez tartozó sajátvektorokat ezek alapján az

$(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} )\mathbf {v} =\mathbf {0}$

egyenletből számíthatjuk ki.

Példa: Pauli-mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározása

Feladat a következő Pauli-mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak a meghatározása:

$\sigma _{x}=\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}\right)$

A sajátérték-egyenlet a következő:

$\sigma _{x}\cdot \mathbf {v} =\lambda \cdot \mathbf {v} =\lambda \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {v}$

Kiírva:

$\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}v_{1}\\v_{2}\end{matrix}}\right)=\lambda \left({\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}v_{1}\\v_{2}\end{matrix}}\right)$

A jobb oldalt kivonva a bal oldalból és kiemelve v vektort, a következőt kapjuk:

$\left[\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}\right)-\lambda \left({\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right)\right]\left({\begin{matrix}v_{1}\\v_{2}\end{matrix}}\right)=\left[\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}\right)-\left({\begin{matrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{matrix}}\right)\right]\left({\begin{matrix}v_{1}\\v_{2}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}-\lambda &1\\1&-\lambda \end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}v_{1}\\v_{2}\end{matrix}}\right)=0$

A mátrix karakterisztikus polinomja:

$P(\lambda )=\det \left({\begin{matrix}-\lambda &1\\1&-\lambda \end{matrix}}\right)=\lambda ^{2}-1$

A sajátértékek pedig $P(\lambda )=0$ egyenlet megoldásai($\lambda ^{2}-1=0$), azaz a sajátértékek

$\lambda _{1}=1\,$

$\lambda _{2}=-1\,$

Az egyes sajátvektorokat tehát a következőképp határozhatjuk meg:

$\left({\begin{matrix}-1&1\\1&-1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}v_{1}^{(1)}\\v_{2}^{(1)}\end{matrix}}\right)=0$

A felső zárójeles index azt fejezi ki, hogy melyik sajátértékhez tartozó sajátvektorkomponensről van szó.

A fenti egyenlethez tartozó egyenletrendszer a következő:

$-v_{1}^{(1)}+v_{2}^{(1)}=0$

$v_{1}^{(1)}-v_{2}^{(1)}=0$

Melyekből következik, hogy $v_{1}^{(1)}=v_{2}^{(1)}$, vagyis az egyre normált sajátvektora $\lambda _{1}$-nek:

$\mathbf {v} ^{(1)}=\left({\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{matrix}}\right)$

$\lambda _{2}$-höz tartozó sajátvektor megkeresése teljesen ugyanúgy zajlik, ahogy azt fent láttuk:

$\left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}v_{1}^{(2)}\\v_{2}^{(2)}\end{matrix}}\right)=0$

Az egyenlethez tartozó egyenletrendszer:

$v_{1}^{(2)}+v_{2}^{(2)}=0$

$v_{1}^{(2)}+v_{2}^{(2)}=0$

Vagyis $v_{1}^{(2)}=-v_{2}^{(2)}$, így $\lambda _{2}$ normált sajátvektora:

$\mathbf {v} ^{(2)}=\left({\begin{matrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{matrix}}\right)$

Numerikus módszerek

A negyedfokúnál magasabb fokú egyenletek nem oldhatók meg gyökjelekkel, ezért numerikus módszereket kell használni. Az egyenletek kiszámítása és megoldása hibaterjedéssel jár, ami már a hússzor húszas esetben a numerikus információ teljes elvesztésével jár. Ezért különféle módszereket dolgoztak ki a sajátértékek és a sajátvektorok meghatározására.

Ilyenek:

• QR-módszer
• hatványiteráció
• inverz iteráció
• Lánczos-módszer
• Arnoldi-módszer
• Jacobi-módszer

A sajátértékek becslésére a Gerschgorin-körök szolgálnak.

Sajátalterek

Egy adott sajátértékhez tartozó összes sajátvektor és a nullvektor alteret alkotnak. Ezt az alteret az adott sajátértékhez tartozó sajátaltérnek nevezzük.

Általánosítás

A funkcionálanalízis a függvényterek közötti leképezésekkel foglalkozik. Ezekhez is tartoznak sajátértékek és sajátvektorok; a sajátértékeket gyakran sajátelemeknek, a sajátvektorokat sajátfüggvényeknek hívják.

Források

• Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• Stoyan Gisbert–Takó Galina: Numerikus módszerek