Jordan-féle normálforma

A lineáris algebrában minden $F$ algebrailag zárt test feletti négyzetes $A$ mátrix (ahol a mátrix sajátértékei $F$ test elemei) egy adott normálalakra hozható a bázis megváltoztatásával. Ebben a normálformában a főátlóban és a főátló felett levő elemek kivételével minden elem 0, tehát a mátrix majdnem diagonális. A mátrixoknak ezt az alakját Camille Jordanról nevezték el.

Jordan-mátrix

Egy $F$ test feletti Jordan-blokk olyan n×n-es mátrix, ahol a főátlóban minden elem $\lambda \in F$ , a főátló felett 1-esek állnak, a többi elem pedig 0. $\lambda$ a Jordan-blokk sajátértéke.

$J_{\lambda ,n}={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}$

A Jordan-mátrix olyan négyzetes mátrix, amely főátlójában Jordan-blokkok állnak, a többi elem pedig 0.

$J={\begin{bmatrix}J_{\lambda _{1},n_{1}}&\;&\;\\\;&\ddots &\;\\\;&\;&J_{\lambda _{i},n_{i}}\end{bmatrix}}$

A $J$ mátrix $J_{\lambda _{1},n_{1}},J_{\lambda _{2},n_{2}},...,J_{\lambda _{i},n_{i}}$ Jordan blokkok direkt szorzata.

Jelölése: $J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},n_{2}}\oplus ...\oplus J_{\lambda _{i},n_{i}}$ vagy ${\mbox{diag}}\left(J_{\lambda _{1},n_{1}},J_{\lambda _{2},n_{2}},...,J_{\lambda _{i},n_{i}}\right)$ egy olyan $(n_{1}+n_{2}+...+n_{i})$×$(n_{1}+n_{2}+...+n_{i})$-s Jordan-mátrix, amelynek első tömbje $J_{\lambda _{1},n_{1}}$ , második tömbje $J_{\lambda _{2},n_{2}}$ , ... , i-edik tömbje $J_{\lambda _{i},n_{i}}$ .

Például a következő 9×9-es Jordan-mátrixnak van egy 3×3-as 0 sajátértékű blokkja, két 2×2-es 3 sajátértékű blokkja és egy 2×2-es 5 sajátértékű blokkja:

$J=\left({\begin{matrix}0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&3&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&3&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&3&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&3&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&5&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&5\end{matrix}}\right)$

Jelölése: $J_{0,3}\oplus J_{3,2}\oplus J_{3,2}\oplus J_{5,2}$ vagy ${\mbox{diag}}\left(J_{0,3},J_{3,2},J_{3,2},J_{5,2}\right)$.

Két Jordan-mátrix hasonló, ha ugyanazokból a Jordan-blokkokból állnak (a blokkok elhelyezkedésétől függetlenül).

A Jordan-normálforma tulajdonságai

Bármely $F$ test elemeiből képzett n×n-es $A$ mátrix hasonló egy $F$ test feletti n×n-es $J$ Jordan-mátrixhoz. Tehát létezik $P$ invertálható mátrix, melyre $P^{-1}AP=J$ . $J$-t az $A$ mátrix Jordan-normálformájának nevezzük.

A következő tulajdonságokat állapíthatjuk meg:

• $A$ sajátértékei a $J$ mátrix főátlójában álló elemek.
• Egy adott $\lambda _{i}$ sajátérték geometriai multiplicitása Ker($A-\lambda _{i}I$) dimenziója (ahol $I$ egységmátrix), és ennyi a $\lambda _{i}$-hez tartozó Jordan-blokkok száma.
• Egy adott $\lambda _{i}$ sajátértékhez tartozó összes Jordan-blokk méretének összege $\lambda _{i}$ algebrai multiplicitása.
• $A$ akkor és csak akkor diagonalizálható, ha bármely $\lambda$ sajátértékének algebrai és geometriai multiplicitása megegyezik.

Egy $A$ mátrix Jordan-normálformájának meghatározásához nem elegendő ismerni a sajátértékeinek algebrai és geometriai multiplicitását. Feltéve, hogy egy $\lambda$ sajátértékhez tartozó $m(\lambda )$ algebrai multiplicitás ismert, a Jordan-normálforma felépítését $(A-\lambda )^{m(\lambda )}$ hatványok rangjának vizsgálatával határozhatjuk meg: Tegyük fel, hogy egy n×n-es $A$ mátrixnak egyetlen sajátértéke $\lambda$. Tehát $m(\lambda )=N$. A legkisebb $k_{1}$ egész, melyre

$(A-\lambda )^{k_{1}}=0$

a legnagyobb Jordan-blokk mérete $A$ Jordan-normálformájában.

$(A-\lambda )^{k_{1}-1}$

rangja a $k_{1}$ méretű Jordan-blokkok száma. Hasonlóan

$(A-\lambda )^{k_{1}-2}$

rangja a $k_{1}$ méretű Jordan-blokkok számának kétszeresének és a $k_{1}-1$ méretű Jordan-blokkok számának összege. Ezt a módszert ismételve megkapjuk $A$ Jordan-normálformájának felépítését. Több sajátérték esetén hasonlóan járhatunk el.

Ezt felhasználva belátható, hogy ha $J_{1}$ és $J_{2}$ $A$ mátrix Jordan-normálformái, akkor $J_{1}$ és $J_{2}$ hasonló.

Hatványozás

Ha $k$ egy természetes szám akkor egy mátrix Jordan-normálformájának $k$-adik hatványa a következő:

${\begin{bmatrix}\lambda _{1}&1&0&0&0\\0&\lambda _{1}&1&0&0\\0&0&\lambda _{1}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&1\\0&0&0&0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{k}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{k}&{\tbinom {k}{1}}\lambda _{1}^{k-1}&{\tbinom {k}{2}}\lambda _{1}^{k-2}&0&0\\0&\lambda _{1}^{k}&{\tbinom {k}{1}}\lambda _{1}^{k-1}&0&0\\0&0&\lambda _{1}^{k}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}^{k}&{\tbinom {k}{1}}\lambda _{2}^{k-1}\\0&0&0&0&\lambda _{2}^{k}\end{bmatrix}}$

Tehát hatványozás után minden egyes Jordan-blokkból egy felső háromszögmátrix lesz. A felső háromszögmátrixok főátlójában $\lambda _{i}^{k}$, a főátló felett ${\tbinom {k}{1}}\lambda _{i}^{k-1}$, ... , végül ${\tbinom {k}{l}}\lambda _{i}^{k-l}$ szerepel, ha $J_{i}$ a $\lambda _{i}$ sajátértékhez tartozó (l+1)×(l+1)-es Jordan-tömb.

(Megjegyzés: ${\tbinom {k}{l}}=0$, ha $k<l$.)

Például: $(J_{3,3}\oplus J_{2,5}\oplus J_{6,2}\oplus )^{3}$

$\left({\begin{matrix}3&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&3&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&3&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&2&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&2&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&2&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&2&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&2&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&6&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&6\end{matrix}}\right)^{3}=\left({\begin{matrix}27&27&9&0&0&0&0&0&0&0\\0&27&27&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&27&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&8&12&6&1&0&0&0\\0&0&0&0&8&12&6&1&0&0\\0&0&0&0&0&8&12&6&0&0\\0&0&0&0&0&0&8&12&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&8&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&216&108\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&216\end{matrix}}\right)$

Példa a Jordan-normálforma és az áttérési mátrix kiszámítására

Legyen

$A={\begin{bmatrix}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\end{bmatrix}}$

$A$ mátrix karakterisztikus polinomja:

$\det(\lambda I-A)=\lambda ^{4}-11\lambda ^{3}+42\lambda ^{2}-64\lambda +32=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -4)^{2}\,$

Tehát az algebrai multiplicitás szerint a sajátértékei 1, 2, 4 és 4. A hozzájuk tartozó sajátvektorok az $Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}$ egyenlet megoldásával kiszámíthatóak:

$v_{1}=p{\begin{bmatrix}-1\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\quad v_{2}=q{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\\1\end{bmatrix}}\quad v_{3},v_{4}=t{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}1\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}\quad$

Tehát a mátrix Jordan-normálformája:

$J=J_{1,1}\oplus J_{1,2}\oplus J_{2,4}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}$

A $P$ áttérési mátrix (melyre $J=P^{-1}AP$) oszlopvektorai a sajátvektorok (p=1, q=1, illetve $v_{3}$-nál s=1, t=0, $v_{4}$-nél s=0, t=1 választással):

$P={\Big [}\,v_{1}\,{\Big |}\,v_{2}\,{\Big |}\,v_{3}\,{\Big |}\,v_{4}\,{\Big ]}={\begin{bmatrix}-1&1&1&1\\1&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&1&0\end{bmatrix}}.$

Ellenőrizhető az eredmény helyessége:

$P^{-1}AP=J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}$

Ha megváltoztatjuk a sajátvektorok sorrendjét, azaz a $v_{1}$ , $v_{2}$ , $(v_{3},v_{4})$ sorrendet ($v_{3}$ és $v_{4}$ egymás mellett marad), akkor megváltozik a Jordan-tömbök sorrendje a Jordan-normálformában.

Források

• Összefoglaló a Jordan-mátrixokról (angolul)
• Jordan-féle normálforma (angolul)

Kapcsolódó szócikkek

• Mátrix logaritmusa

További információk

• Stoyan Gisbert-Takó Galina: Numerikus módszerek I. (digitális tankönyv)
• Bevezetés a mátrixalgebrába (angolul)
• Mátrixalgebra
• Jordan-féle normálforma rövid összefoglalója (angolul)