Mátrix logaritmusa

Definíció

A B mátrix egy adott A mátrix logaritmusa ha B exponenciálisa A-nak:

$e^{B}=A.\,$

Példa: síkban való forgatás mátrixának logaritmusa

A síkban való forgatás egy nagyon egyszerű példát ad. A síkban az origó körüli α szöggel való forgatást egy 2×2-es mátrix reprezentál:

$A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&\sin(\alpha )\\-\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}.$

Bármely n egész számra, a mátrix

$B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}},$

logaritmusa A-nak. Így az A mátrixnak végtelen sok logaritmusa létezik. Ez megfelel annak, hogy a forgatási szög megegyezik a 2π egy egész számszorosával megnövelt értékével.

A Lie-csoportok nyelvén az A forgatómátrixok az SO(2) csoport elemei. A megfelelő B logaritmusok az so(2) Lie-algebra elemei, ami a ferdén szimmetrikus mátrixokból áll.

Az

${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}$

mátrix az so(2) Lie-algebra generátora.

További példa: forgatás logaritmusa a 3 dimenziós térben

Egy $R\in {\rm {SO(3)}}$ forgatás egy 3x3 ortogonális mátrixszal adható meg a háromdimenziós térben.

Az R forgatómátrix a Rodrigues-féle forgatási formula segítségével számítható ki:

$\ln(R)=\left\{{\begin{matrix}0,&\mathrm {ha} &\;\theta =0\\{\frac {\theta }{2\sin(\theta )}}(R-R^{T}),&\mathrm {ha} &\theta \in (-\pi ,\pi )\setminus \{0\}\end{matrix}}\right.$

Kivéve, ha R-nek -1 az összes sajátértéke, amikor is a logaritmus nem egyértelmű. Éppen ebben az esetben $\theta =\pi$ a logaritmus Frobenius-normája:

$\|\ln(R)\|_{F}={\sqrt {2}}|\theta |$

Jegyezzzük még meg, hogy az A és a B forgatómátrixokra:

$d_{g}(A,B):=\|\log(A^{T}B)\|_{F}$

a geodetikus távolság a forgatómátrixok háromdimenziós sokaságában.

Létezés és főérték

A komplex mátrixokról könnyen eldönthető, hogy van-e logaritmusuk. Egy komplex mátrixnak akkor és csak akkor van logaritmusa, ha invertálható. A mátrix logaritmusa nem egyértelmű, de ha a mátrixnak nincsenek nempozitív valós sajátértékei, akkor egyértelműen van olyan logaritmusa, aminek a sajátértékei a {z ∈ C | −π < Im z < π} sávba esnek. Ez a logaritmus principális logaritmusként ismert.

A valós mátrixok körében a válasz bonyolultabb. Egy valós mátrix akkor és csak akkor logaritmálható, ha invertálható, és a negatív sajátértékeihez tartozó Jordan-blokkok páros számszor fordulnak elő. Ha egy invertálható mátrix nem tesz eleget ennek a feltételnek, akkor csak komplex logaritmusai vannak. Ez már az egydimenziós mátrixok körében látható: -1-nek csak komplex logaritmusa van.

A komplex elemű mátrixok principális logaritmusa a Cauchy-formula általánosítása alapján előállítható körintegrál segítségével:

$\mathrm {ln} (A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\Gamma }\mathrm {ln} (z)(zI-A)^{-1}\,\mathrm {d} z,\quad \quad \sigma (A)\subseteq T$

ahol z $\mapsto$ ln(z) a komplex logaritmus főértéke, Γ pedig a T egyszeresen összefüggő tartomány határa, mely tartomány nem tartalmazza az origót. A formula lényeges feltétele, hogy A spektruma (itt: σ(A) ) része legyen T-nek.

Tulajdonságok

Ha A és B pozitív definit mátrixok, és felcserélhetők, azaz AB = BA, akkor

$AB=e^{\ln(A)+\ln(B)}.\,$

Minden A invertálható mátrixra

$A^{-1}=e^{-\ln(A)}.\,$

Diagonalizálható mátrixok

Az A diagonalizálható mátrixhoz így lehet logaritmust találni:

• Előállítjuk az A mátrix sajátvektoraiból a V mátrixot.
• Invertáljuk V-t.
• Kiszámítjuk az $A'=V^{-1}AV.\,$ mátrixot. Ez egy átlós mátrix, amiben A sajátértékei szerepelnek.
• $\ln A'$ az a mátrix, aminek főátlóján A' sajátértékeinek logaritmusa áll.
• Ekkor $\ln A=V(\ln A')V^{-1}.\,$

Előfordulhat, hogy az A mátrix valós, és logaritmusa nem valós komplex. Ez azért lehetséges, mert egy csupa pozitív számokat tartalmazó mátrix sajátértékei negatívak is lehetnek, vagy lehetnek nem valós konjugált sajátértékpárjai is. Ilyenek például a forgatómátrixok. A mátrixlogaritmus többértékűsége a komplex logaritmus többértékűségéből ered.

Nem-diagonalizálható mátrixok logaritmusa

A fent vázolt módszer nem működik nem diagonalizálható mátrixokra, mint amilyen például a

${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.$

Ezeket a mátrixokat is könnyebb Jordan-normálalakban logaritmálni. Ehhez a mátrixot Jordan-normálalakra kell hozni, és az egyes Jordan-blokkokat logaritmálni.

Ehhez figyelembe kell venni, hogy nem diagonalizálható esetben így néz ki a Jordan-blokk:

$B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+N)$

ahol N olyan mátrix, aminek nullák vannak a főátlóján és az alatt. A λ szám nem nulla, ha a logaritmálandó mátrix invertálható.

Ekkor ezzel a formulával

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots$

kapható

$\ln B=\ln {\big (}\lambda (I+N){\big )}=\ln(\lambda I)+\ln(I+N)=(\ln \lambda )I+N-{\frac {N^{2}}{2}}+{\frac {N^{3}}{3}}-{\frac {N^{4}}{4}}+\cdots$

Ez a sorozat nem konvergál általában, ahogy az egynél nagyobb abszolút értékű számokra sem konvergál. De N nilpotens mátrix (N^m nullmátrix, ha N mérete m), ezért a sor véges összeg.

Ezt felhasználva

$\ln {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.$

Mátrixlogaritmus a funkcionálanalízisben

Egy négyzetes mátrix lineáris operátor az Rⁿ valós euklideszi térben, ahol n a mátrix oszlopainak/sorainak száma. Mivel ez a tér véges dimenziós, ez az operátor korlátos. Véges dimenziókban szokás a lineáris operátort lineáris transzformációnak nevezni.

A komplex függvénytan eszközeivel a komplex számsík egy nyílt részhalmazán definiált f(z) reguláris függvény értelmezhető a T korlátos lineáris operátoron, ha f(z) értelmezve van T spektrumán. Ez véges dimenzióban a lineáris transzformáció sajátértékeit jelenti.

Az f(z)=ln z függvény a komplex számsík minden olyan egyszeresen összefüggő tartományán értelmezhető, ami nem tartalmazza az origót. Az így értelmezett logaritmusfüggvény reguláris ezen a tartományon. Ebből következik, hogy ln T értelmezhető minden olyan lineáris operátorra, aminek a spektrumában nincs nulla, és van egy folytonos út, ami az origóból indulva a végtelenbe megy, és nem metszi T spektrumát. Például, ha a T végtelen dimenziós lineáris operátor spektruma tartalmazza az origó körüli egységkört, akkor nem logaritmálható.

Véges dimenzióban egy lineáris transzformáció spektruma sajátértékeinek halmaza. Ez ugyanaz, mint mátrixának sajátértékeinek halmaza. Ez véges, így a transzformációnak véges sok sajátértéke van. Ha a mátrixnak nincs nulla sajátértéke, akkor az útfeltétel teljesül, és a fenti meggondolások alapján ln T jóldefiniált.

A mátrixlogaritmus többértékűsége a komplex függvénytani meggondolásokból adódik, mert a logaritmus halmazfüggvényként értelmezhető. Más reguláris ágat véve a mátrix egy másik logaritmusát kapjuk.

Logaritmus függvény a Lie-csoportok elméletében

A Lie-csoportok elméletében van egy exponenciális leképezés, mely a G Lie-csoport $\scriptstyle {\mathfrak {g}}$ Lie-algebrájából G-be képez:

$\exp :{\mathfrak {g}}\rightarrow G.$

Olyan Lie-csoportoknál, melyek mátrixcsoportok az exponenciális leképezés a mátrix exponenciálisa. Ez az eset elég gyakori, hisz a Peter–Weyl-tétel egy következményeként kompakt Lie-csoport izomorf alkalmas n-re az n × n-es unitér mátrixok egy részcsoportjával. Ekkor mind G mind $\scriptstyle {\mathfrak {g}}$ elemei mátrixok és az exponenciális függvény az additív mátrixcsoportból egy multiplikatív mátrixcsoportba képez. Az inverz $\log =\exp ^{-1}$ leképezés többértékű (a többértékű komplex leképezések értelmében) és megegyezik az itt tárgyalt mátrixlogaritmussal. Világos, hogy a logaritmus a G Lie-csoport egységet tartalmazó komponenséből a $\scriptstyle {\mathfrak {g}}$ Lie-algebrába képez.

Az exponenciális leképezés diffeomorfizmus a nullmátrix U környezete és az egységmátrix V környezete között. Ekkor a mátrixlogaritmus jóldefiniált:

$\log :V\rightarrow U\subset {\mathfrak {g}}$.

A 2 x 2-es eset

Ha egy 2 x 2-es valós mátrix determinánsa negatív, akkor a mátrixnak nincs valós logaritmusa. Egy 2 x 2-es valós mátrix tekinthető a következő komplex számok valamelyikének: z = x + εy, ahol ε²=-1,0,+1. Ez a z a teljes mátrixgyűrű komplex alterének egy pontja.

A determináns csak akkor lehet negatív, ha $\epsilon ^{2}=+1$. Ez egy felvágott komplex számsík. Ennek a síknak csak egy negyede része az exponenciális értékkészletének, így csak ezen a kvadránson értelmezhető a logaritmus. A másik három síknegyed ennek transzformáltja, amik az ε és a -1 által generált Klein-csoporttal vihetők át egymásba.

Példaként legyen a = ln 2, ekkor cosh a = 5/4 és sinh a = 3/4. Mátrixoknál ez az alábbit jelenti:

$\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\cosh a&\sinh a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.25&.75\\.75&1.25\end{pmatrix}}$.

Így az utóbbi mátrix logaritmusa:

${\begin{pmatrix}0&\ln 2\\\ln 2&0\end{pmatrix}}$.

Mátrixok, melyeknek nincs logaritmusuk: ${\begin{pmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-3/4&-5/4\\-5/4&3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{pmatrix}}$.

Ezek a fenti logaritmálható mátrix transzformáltjai az előbbi Klein-csoport hatása szerint. Ebben a hatásban az egyik oldalról az egyik csoportelem hat, a másik oldalról pedig az inverze. Úgy néz ki, mintha ezeket a csoportelemeket két oldalról szoroznánk a mátrixszal, de ez megtévesztő, mert transzformációt nem szorzunk mátrixszal. Nem feltétlenül van egy 2 x 2-es mátrixnak logaritmusa, de a Klein-csoport egyik elemével átvihető az egy olyan mátrixba, ami logaritmálható.

Egy gazdagabb példához induljunk ki a (p,q,r) pitagoraszi számhármasból, és legyen a = ln(p + r) ‒ ln q. Ekkor

$e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a$.

Most

$\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r/q&p/q\\p/q&r/q\end{pmatrix}}$.

Ezért a

${\tfrac {1}{q}}{\begin{pmatrix}r&p\\p&r\end{pmatrix}}$

mátrixnak van logaritmusa:

${\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}$ ahol $a=\ln(p+q)-\ln q$.

Lásd még

• Mátrix (matematika)
• Hermitikus mátrix
• Jordan-féle normálforma

Hivatkozások

• Halász Gábor, Bevezető komplex függvénytan, ELTE jegyzet, 1998.
• Roger A. Horn, Charles R. Johnson, Topics in matrix analysis, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0521467136, 9780521467131
• Culver, Walter J. (1966), "On the existence and uniqueness of the real logarithm of a matrix", Proceedings of the American Mathematical Society 17: 1146–1151, ISSN 0002-9939.
• Gantmacher, Felix R. (1959), The Theory of Matrices, 1, New York: Chelsea, pp. 239–241.
• Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7 .