A vegyes szorzat három darab háromdimenziós vektor között értelmezett matematikai művelet, melynek eredménye skalár (szám).
Az a, b és c vektorok vegyes szorzatának jele abc.
Értéke definíció szerint abc = (a × b)·c, ahol „×” a vektoriális szorzatot, „·” pedig a skaláris szorzatot jelöli. Ennek a számnak az abszolút értéke megegyezik a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogatával. Ha a három tényező ebben a sorrendben jobbrendszert alkot, akkor az előjel pozitív; ha balrendszert, akkor negatív.
Legyenek
,
és
háromdimenziós vektorok
-ben! Ekkor vegyes szorzatuk:
.
Gyakran nem vezetnek be külön jelölést, hanem a definíciót használják:
. Más jelölések:
,
és
.
- abc = bca = cab = –cba = –bac = –acb
- (λa)bc = a(λb)c = ab(λc) = λ(abc), bármely λ skalárra.
- Ha az a, b, c vektorok lineárisan összefüggők, akkor a vegyes szorzat 0.
- A vegyes szorzat megegyezik annak a 3×3-as négyzetes mátrixnak a determinánsával, melynek sor- vagy oszlopvektorai sorrendben az adott három vektorral egyeznek meg, azaz
![{\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} =\det {\begin{pmatrix}\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c00008c4598e204ba87f64b159f9596da45157dd)
.
- Mivel
, azért:
.
.
.
- A skaláris szorzat definíciója alapján:
.
- ahol
a
vektornak és az
és
vektor síkjára merőleges, azokkal jobbrendszert alkotó vektornak a szöge.
A paralelepipedon térfogata (V) az alapterület (A) és a magasság (h) szorzata. A vektorok által kifeszített tetraéder térfogata a paralelepipedon térfogatának hatoda.
![{\displaystyle V=A\cdot h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e197929245ca822b4d449886c45b06cea2c159)
Az a×b vektoriális szorzat nagysága éppen az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe:
.
A paralelepipedon magassága a c vektor vetülete az a×b vektoriális szorzat irányára. Ha α szöget zárnak be egymással, akkor a skaláris szorzat definíciója szerint
![{\displaystyle h=\left|\mathbf {c} \right|\cos \alpha ={\hat {\mathbf {e} }}_{\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044e26c0bfc6f492f0750dbbbae0b95726e40b4)
Ebből következik, hogy
![{\displaystyle V=A\cdot h=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|({\hat {\mathbf {e} }}_{\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}\cdot \mathbf {c} )=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce893b29182478d1a3fda243c2fc20cb572caf4)
Ha α = 90°, akkor ez a szorzat nulla. Ekkor a vektorok lineárisan összefüggnek, egy síkban fekszenek, más szóval komplanárisak.
Az előjeles térfogat negatív, ha α > 90°. Ekkor a vektoriális szorzat és a vetített magasság iránya ellentétes, mert a vektorok balsodrású rendszert képeznek.
Algebrai tulajdonságok levezetése[szerkesztés]
Kifejezése Levi-Civita-szimbólumokkal:
Először a skalárszorzatot ábrázoljuk összegként:
![{\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=\sum _{i=1}^{3}({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}\cdot c_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf52e5dca347e330d392bef2bf179884bb99ba3)
majd a vektoriális szorzatot:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}\cdot c_{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}c_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6824c660887f43664e55b0011956eaa889103e7c)
A totálisan antiszimmetrikus
epszilontenzor egyenlő
-vel, illetve megegyezik
-vel. Így a vegyes szorzat:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}c_{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{kij}a_{j}b_{k}c_{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{jki}a_{j}b_{k}c_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5ab8068eff9ea2282c6a7616045384154ef0a98)
A szummajelek felcserélésével és zárójelek ügyes beszúrásával:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\right)c_{i}=\sum _{k=1}^{3}\left(\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{kij}c_{i}a_{j}\right)b_{k}=\sum _{j=1}^{3}\left(\sum _{k=1}^{3}\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{jki}b_{k}c_{i}\right)a_{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0370cc8463c72ec672b9e331f5f3af20f167eb3)
A Levi-Civita-szimbólumokról áttérve a vektoriális szorzatra:
![{\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=({\vec {c}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}=({\vec {b}}\times {\vec {c}})\cdot {\vec {a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef50ad35d6115691191bd437ea9db65200eed9e)
Ismételt vektoriális szorzás[szerkesztés]
Ha egy vektoriális szorzatot megszorzunk még egy vektorral, akkor hármas vektoriális szorzatot kapunk.[1] A Graßmann-azonosság, más néven Graßmann kifejtési tétele szerint:[2][3]
![{\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})\,{\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,{\vec {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a4098b81750ee3ba3c44d2adb9002de51d48db)
illetve
![{\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})\,{\vec {b}}\ -({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})\,{\vec {a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0668eeb4f77e84ac5cc3c82aaa44829595f5ebd)
ahol a szorzópontok a skaláris szorzatot jelölik. A fizikában gyakran az
![{\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}\,({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-{\vec {c}}\,({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ca97ddeda9322aaff32164cb383a2f99943535)
írásmódot használják, és gyakran BAC-CAB-formulának nevezik. Indexes írásmóddal:
.
ahol
a Levi-Civita-szimbólum, és
a Kronecker-delta.
Ismételt vegyes szorzás[szerkesztés]
Két vektorhármas,
és
ismételt vegyes szorzata
![{\displaystyle {\begin{aligned}\,[({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}][({\vec {u}}\times {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}]=\;&{\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\vec {u}}&{\vec {v}}&{\vec {w}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}({\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}})^{\top }\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\vec {u}}&{\vec {v}}&{\vec {w}}\end{vmatrix}}\\=\;&{\begin{vmatrix}{\begin{pmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{pmatrix}}^{\top }{\begin{pmatrix}{\vec {u}}&{\vec {v}}&{\vec {w}}\end{pmatrix}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {u}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {w}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {u}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {v}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {w}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {u}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {v}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {w}}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f9e3ee17ebb6d349b56aabdf82d4581d9b0451)
mivel a transzponálás nem változtatja meg a determinánst, másrészt a determinánsok szorzástétele miatt mátrixok szorzásakor a szorzatmátrix determinánsa a determinánsok szorzata. Ha a két vektorhármas megegyezik:
![{\displaystyle [({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}]^{2}={\begin{vmatrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\end{vmatrix}}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e35ab3efd060538297497ab0d1297c5306e8469)
és így a Gram-determináns pozitív definit. Ahogy az egyszeres vegyes szorzatnál, úgy ennél is ez a determináns kritérium a tényezők lineáris függetlenségére. A determináns megadja a paralelepipedon térfogatának négyzetét. Ha egy lineáris transzformáció egy paralelepipedont egy másikra képez, akkor a Gram-determináns megadja, hogy hányszorosára változott a térfogatuk. A Gram-determinánsos kifejezés előnye, hogy magasabb dimenziókra is általánosítható.[4]
Az integrálszámítás térfogateleme[szerkesztés]
A térfogati integrál
térfogateleme függ az alkalmazott koordináta-rendszertől. Descartes-féle koordinátákban:
.
Egy másik koordináta-rendszerben, ahol a koordináták
, a helyi bázisvektorok vegyes szorzataként számítható. Az
és
bázisvektorok az adott pontban a koordinátavonalak érintővektorai, melyek a következő koordinátatranszformációból adódnak:
![{\displaystyle {\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x(x',y',z')\\y(x',y',z')\\z(x',y',z')\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1626c6ad1625ca1594e24359f9dcaa6537baa29f)
az
koordináták szerinti parciális deriváltjaként:
.
Egy bázisvektor koordinátái alkotják a Jacobi-mátrix egyik oszlopát. Így e három vektor vegyes szorzatát a funkcionáldetermináns adja meg.
A transzformációs tétel alapján a térfogatelem:
.
Példa: Gömbkoordináták[szerkesztés]
Áttérés a gömbkoordinátákra:
![{\displaystyle {\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\sin \theta \cos \varphi \\r\sin \theta \sin \varphi \\r\cos \theta \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/495694c012df142c187ec567ea13d5a8aa3b9212)
így a helyi bázisvektorok a megfelelő pontokban:
![{\displaystyle {\vec {b}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial r}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}={\begin{pmatrix}r\cos \theta \cos \varphi \\r\cos \theta \sin \varphi \\-r\sin \theta \end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}_{3}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}={\begin{pmatrix}-r\sin \theta \sin \varphi \\r\sin \theta \cos \varphi \\0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348c105ab91afe4df5741ab4bc807b729c8198c1)
Tehát a funkcionáldetermináns:
![{\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}=\det {\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}=r^{2}\sin \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d31f3327cee4d5c1eb9fe089a2ec2f0effb34e)
amiből adódik a térfogatelem:
:
![{\displaystyle \mathrm {d} V=\left|\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005e36b7803379b19df108b239a19ed58ef6079a)
- Wolfgang Gawronski: Grundlagen der Linearen Algebra. Aula-Verlag, Wiesbaden 1996, ISBN 3-89104-566-2
- K. Endl / W. Luh. Analysis. Akademische Verlagsgesellschaft (1972)
- K. Endl / W. Luh. Analysis. Akademische Verlagsgesellschaft (1973)
Ez a szócikk részben vagy egészben a Spatprodukt című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.