Szerkesztő:Cvbncv/Állapotsűrűség

A szilárdtestfizikában az állapotsűrűség a szilárdtestek elektromos sávszerkezetét leíró sávelmélet része, tulajdonképpen a betölthető kvantumállapotok energia (illetve hullámszám) szerinti sűrűségfüggvénye. Azt írja le, hogy a vizsgálat anyagban egy adott energián mennyi a betölthető állapotok száma. A leggyakrabban a szilárdtestben az elektronok számára betölthető energiasávok leírására alkalmazzák, de megadható például a szilárdtestbeli rácsrezgések jellemzésére szolgáló fononok állapotsűrűsége is.

A betölthető energiákon az állapotsűrűség értéke nullánál nagyobb. A szilárdtestekben ezen betölthető állapotok gyakran sávokká állnak össze: ezeket nevezzük megengedett sávoknak, pontosabban vezetési illetve vegyértéksávoknak (utóbbi elnevezések aszerint alkalmazandók egy megengedett energiasávra, hogy rendre a Fermi-szint felett, vagy alatt helyezkednek-e el). A sávszerkezet azon energiatartományait, melyeken az állapotsűrűség nulla, vagy igen kicsi, tiltott sávoknak nevezzük. A szilárdtestek energiasávjaitól eltér az izolált rendszerek, például atomok és molekulák állapotsűrűsége: ezek energiaspektruma vonalas, így bennük az állapotsűrűség csak diszkrét értékek kis környezetében különbözik nullától.

A sávelmélet fontos fogalmaként az állapotsűrűség alapvető jellemzője a szilárdtesteknek, például elektromos vezetési, illetve optikai tulajdonságok magyarázatának alapjául szolgálhat.

Jelölése gyakran D(E), ρ(E), g(E), vagy az angol density of states kifejezés alapján még olykor magyar nyelvű szakirodalomban is DOS(E).

Fizikai meghatározása

Az állapotsűrűséget jellemzően az állapotszámból származtatják, mely utóbbi azt adja meg, hogy egységnyi térfogatban mennyi az állapotok száma egy adott energiaszint alatt. Az állapotsűrűség az állapot független változó szerinti deriváltja, így például $\Omega (E)$ energia-állapotszám esetén az energia-állapotsűrűség:

$D(E)={\frac {d\Omega (E)}{dE}}$ ,

amely azt fejezi ki, hogy mennyi állapot található az E energia körüli szűk $[E;E+dE]$ energiatartományban.

Összetett rendszerek állapotsűrűsége gyakran csak közelítésekkel lehetséges. Vannak azonban egyszerű gyakorlati példák, melyekben az állapotsűrűség néhány feltétel mellett analitikus megadható. Az alábbi példák ilyen gyakorlati eseteket mutatnak be.

1. példa: fononok hullámszámtérbeli állapotsűrűsége

Amikor egy kristály olyan makroszkopikus jellemzőit szeretnék megadni, melyek a rácsrezgésekkel kapcsolatosak, gyakran célszerű ezt az egyedi rácsrezgések járulékainak összegzésével kifejezni. Ehhez hasznos a rácsrezgéseket leíró kvázirészecskék, a fononok állapotsűrűségének meghatározása, ugyanis ez adja meg, hogy adott energiájú (illetve ennek megfelelő hullámhosszú) fononból az összegzéskor mennyit kell figyelembe venni. A fononok összegzése a Brillouin-zónában megengedett összes $\mathbf {q}$ hullámszámra történik.

Ha egy háromdimenziós kristályt a primitív rácsvektorai irányában rendre $N_{1},N_{2}$ , illetve $N_{3}$ primitív cella épít fel, akkor a reciproktérben a rácsrezgések számára megengedett hullámszámvektorok a periodikus határfeltétel miatt rendre $b_{1}/N_{1},b_{2}/N_{2}$ , és $b_{3}/N_{3}$ hullámszámnyi, egyenlő távolságban fognak egymástól elhelyezkedni.

Makroszkopikus testekben igen sok ilyen cella van, azaz $N_{1},N_{2}$ és $N_{3}$ értéke igen nagy, következésképpen a megengedett $\mathbf {q}$ hullámszámok igen sűrűn helyezkednek el. Emiatt az összegzésről integrálra lehet áttérni számottevő hiba nélkül. Az integrálra való áttéréshez fejezzük ki az egy $\mathbf {q}$ hullámszámra eső reciproktérbeli térfogatot az alábbiak szerint a paralelepipedon alakú térfogat élvektorainak vegyes szorzataként:

$\Delta \mathbf {q} ={\frac {\mathbf {b} _{1}}{N_{1}}}\cdot \left({\frac {\mathbf {b} _{1}}{N_{1}}}\times {\frac {\mathbf {b} _{1}}{N_{1}}}\right)$ .

Bevezetve a $N=N_{1}N_{2}N_{3}$ jelölést, illetve felhasználva a primitív cella reciproktérbeli $\upsilon _{r}=\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}$ térfogatát, a fentiek átírhatók:

$\Delta \mathbf {q} ={\frac {1}{N}}(\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3})={\frac {\upsilon _{r}}{N}}$ .

Felhasználva a reciproktérbeli és a direkttérbeli primitívcella-térfogat közötti ${\textstyle \upsilon _{r}={\frac {(2\pi )^{3}}{\upsilon }}}$ összefüggést, az alábbi adódik:

$\Delta \mathbf {q} ={\frac {(2\pi )^{3}}{V}}$ ,

mely segítségével az állapotok integrálása az alábbi formában történhet:

${\frac {V}{(2\pi )^{3}}}\int \operatorname {d} \!\mathbf {q}$ .

Ha az integrandus csak a fononenergiától függ, célszerű az összegzésben az állapotsűrűséget alkalmazni. A fentiek alapján integrálásra áttérve, három dimenzióban a $g(\omega )$ állapotsűrűség az alábbiak szerint definiálható:

$g(\omega )=\int {\frac {\operatorname {d} \!\mathbf {q} }{(2\pi )^{3}}}\delta (\omega -\omega (\mathbf {q} ))$ .

A reciproktérben megadható egy olyan felület, egy adott $\mathbf {q}$ -nál kisebb hullámszámú állapotok egy origó központú, $\mathbf {q}$ sugarú gömb belsejében helyezkednek el, így a $\mathbf {q}$ -hoz tartozó állapotszám a gömb belsejébe eső megengedett állapotoknak megfelelő reciproktérbeli pontok számával lesz egyenlő. A

2. példa: elektronok energia-állapotsűrűsége

Összetett esetek

Kapcsolata a diszperziós relációval

Dimenziófüggése

Bővebben: Kvantumbezárás és Van Hove-szingularitás

Háromdimenziós szilárdtestek esetén láthattuk, hogy az elektronok energia-állapotsűrűsége

Jegyzetek

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Density of states című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

Szakkönyvek

Charles Kittel: Bevezetés a szilárdtest-fizikába. Budapest: Műszaki Könyvkiadó. 1981.
Sólyom Jenő: A modern szilárdtest-fizika alapjai I: Szerkezet és dinamika. Budapest: ELTE Eötvös Kiadó. 2009. ISBN 9789632840970
Sólyom Jenő: A modern szilárdtest-fizika alapjai II: Fémek, félvezetők, szupravezetők. Budapest: ELTE Eötvös Kiadó. 2010. ISBN 9789633120286

Tananyagok, ismeretterjesztő weblapok

Bácsi Ádám, Kanász-Nagy Márton, Kézsmárki István. Szilárdtest-fizika gyakorlat (PDF), 69–78, 122–138. o. (2015. augusztus 5.). Hozzáférés ideje: 2017. augusztus 28.
Szilárdtestfizika. fizipedia.bme.hu | Fizipedia. (Hozzáférés: 2017. augusztus 28.)
Szunyogh László: Szilárdtestek elektronszerkezete (PDF) pp. 10. (Hozzáférés: 2017. augusztus 28.)
II. Fizikus Szilárdtestfizika gyakorlat 10-11. (2005. IV. 27 - V.4.). ELTE jegyzet. (Hozzáférés: 2017. augusztus 28.) A fononokra és elektronokra vonatkozó állapotsűrűség-levezetések tömören.