Szerkesztő:05storm26/Lambert féle W függvény

A W(x) grafikonja W > −4 és z < 6-ra. A felső rész: W ≥ −1 a W₀ függvény, az alsó rész: W ≤ −1 a W₋₁ függvény.

A matematikában a Lambert-féle W függvény, másnéven az omega függvény vagy a logaritmus-szorzat függvény, egy függvény amely az inverze a z = f(W) = We^W függvénynek, ahol e^W az exponenciális függvény és W egy komplex szám. Tehát a definíció:

$z=W(z)e^{W(z)}$

ahol z egy komplex szám.

Mivel az ƒ$\scriptstyle (\cdot )$ függvény nem injektív így W többértékű (kivéve 0-ban). Ha leszűkítjük a függvényt a valós számok halmazára, akkor mind a függvényérték mind az argumentum valós szám lesz, és a függvény csak a −1/e-nél nagyobb argumentumra értelmezhető és kétértékű a ]−1/e-;0[ intervallumon. A W ≥ −1 kikötéssel egy egyértékű függvényt kapunk amit W₀(x)-vel jelölnek. Adott hogy W₀(0)=0 és W₀(-1/e)=-1. A függvény "alsó részét" ami kielégíti a W ≤ −1 egyenlőtlenséget W₋₁(x)-el jelölik. Ez a függvény csökken, W₋₁(−1/e) = −1-től, W₋₁(0⁻) = −∞ -ig.

A Lambert-féle W nem fejezhető ki elemi függvényekkel. A függvény használatos a kombinatorikában, illetve bizonyos egyenletek megoldásakor amelyek tartalmaznak exponenciális függvényt. Szinten megjelenik bizonyos differenciál egyenletek megoldásakor mint pl.: y'(t) = a y(t − 1).

Jelölések

A függvény két fő része a $W_{0}$ és a $W_{-1}$

A Lambert-féle W függvényt Johann Heinrich Lambert után nevezték el. A "fő" W₀ -et Wp-ként jelöli a Digital Library of Mathematical Functions a W₋₁ -t pedig Wm-el jelölik ugyanitt.

Az itt alkalmazott jelölések (a W₀ és a W₋₁) Corlesstől, Gonnettől, Hare-től, Jeffrey-től és Knuthtól származnak.

Történe

Lambert Lambert's Transcendental Equation 1758-ös műve vezetett Leonhard Euler 1783-as munkájához amiben a we^w-t vizsgálta. Az első említése a we^w inverzének 1925-ből Pólyától és Szegőtől származik. A Lambert-féle W függvényt kb. minden évtizedben "újrafelfedezték" különböző helyzetekben de a fontosságát csak az 1990-es években ismerték el. Az utolsó újrafelfedezés során felismerték hogy a függvény pontos megoldást szolgáltat a kvantummechanikaiduplapotenciálgödör Dirac delta modelljére. Corless és a Maple fejlesztői átnézve a tudományos irodalmat azt találták hogy a függvény sorkszor felbukkan a természetben.

Analízis

Derivált

Implicit deriválással, bizonyítható, hogy a különböző részei(alsó, felső) W-nak kielégítik a következő differenciálegyenletet:

$z(1+W){\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}=W\quad {\text{for }}z\neq -1/e.$

(W nem differenciálható a z = −1/e pontban.) Így W deriváltjára a következőt kapjuk:

${\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \{0,-1/e\}.$

Továbbá:

$\left.{\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}\right|_{z=0}=1.$

Primitív függvény

A W(x) függvény, és egyéb kifejezések amelyek tartalmazzák W(x)-t, integrálhatóak, a w = W(x) helyettesítéssel, x = w e^w:

$\int W(x)\,{\rm {d}}x=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.$

Aminek a következménye (felhasználva, hogy $W(e)=1$):

$\int _{0}^{e}W(x)\,{\rm {d}}x=e-1$

Sorfejtés

A $W_{0}$ Taylor sora 0 körül megadható a Lagrange inverziós tételének segítségével:

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots$

A konvergenciasugár 1/e, ahogy a hányadoskritériumból látható. A fenti sor által definiált függvény kiterjeszthető holomof függvénnyé a komplex számok halmzán, kivéve a ]−∞, −1/e] intervallumot.

Nagy x értékekre, W₀ asszimptótikusan egyenlő:

$W_{0}(x)=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}(-2+L_{2})}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}(6-9L_{2}+2L_{2}^{2})}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3})}{12L_{1}^{4}}}+\cdots$

$W_{0}(x)=L_{1}-L_{2}+\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }\left[{\begin{matrix}\ell +m\\\ell +1\end{matrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-\ell -m}L_{2}^{m}$

ahol, $L_{2}=\ln \ln x$ és $\left[{\begin{matrix}\ell +m\\\ell +1\end{matrix}}\right]$ a nemnegatív Stirling szám. Csak az első két tagot megtartva a kifejtésből:

$W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+o(1).$

A másik valós rész a, $W_{-1}$, a ]−∞, −1/e] intervallumon, hasonló közelítéssel rendelkezik ahogy x tart 0-ba tehát: $L_{1}=\ln(-x)$ and $L_{2}=\ln(-\ln(-x))$.

Egész és komplex hatványa a függvénynek

Egész hatványai a $W_{0}$ függvénynek szintén felírhatóak egyszerű Taylor (vagy Laurent) sorként a $0$ pont körül:

$W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2(-n)^{n-3}}{(n-2)!}}\ x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\frac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots$

Általánosabban, $r\in \mathbb {Z} ,$-re, a Lagrange inverziós formula megadja hogy:

$W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r(-n)^{n-r-1}}{(n-r)!}}\ x^{n},$

vagyis, a Laurent sor mértéke r.

Iletve:

$\left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=\exp(-rW_{0}(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r(n+r)^{n-1}}{n!}}\ (-x)^{n},$

ami igaz bármely $r\in \mathbb {C}$-re és $|x|<e^{-1}$-re.

Nevezetes értékek

Bármely nemnulla x algebrai számra, W(x) transzcendens szám. Ezt indirekt módon bizonyíthatjuk: Ha W(x) nemnulla algebrai szám lenne (megjegyzét: vagyis x és W(x) sem nulla), akkor a Lindemann–Weierstrass tétel, alapján e^W(x) transzcendens, ami implikálja hogy x=W(x)e^W(x) szintén transzcendens, ami ellentmond annak hogy x algebrai.

$W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}{\rm {i}}$

$W\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a\quad \left({\frac {1}{e}}\leq a\leq e\right)$

$W\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1$

$W\left(0\right)=0\,$

$W\left(1\right)=\Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\,dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1\approx 0.56714329\dots \,$ (az Omega konstans)

$W\left(e\right)=1\,$

$W\left(-1\right)\approx -0.31813-1.33723{\rm {i}}\,$

$W'\left(0\right)=1\,$

Egyéb formulák

Számos hasznos integrálformula létezik ami W-t tartalmazza. Néhány ezek közül:

$\int _{0}^{\pi }W{\bigl (}2\cot ^{2}(x){\bigr )}\sec ^{2}(x)\;\mathrm {d} x=4{\sqrt {\pi }}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\mathrm {d} x=2{\sqrt {2\pi }}$

$\int _{0}^{\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\;\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}$

A második azonosság levezethető a

$u=W(x)$

helyettesítéssel ami így a következőket adja:

$x=ue^{u}$

${\frac {dx}{du}}=(u+1)e^{u}$

Vagyis:

$\int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\mathrm {d} u$

$=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}\mathrm {d} u$

$=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}\mathrm {d} u$

$=\int _{0}^{\infty }u^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}\mathrm {d} u+\int _{0}^{\infty }u^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}\mathrm {d} u$

$=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\frac {1}{2}}e^{-w}\mathrm {d} w+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-w}\mathrm {d} w$ (helyettesítve $u=2w$-t)

$=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\frac {1}{2}}e^{-w}\mathrm {d} w+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\frac {1}{2}}}e^{-w}\mathrm {d} w$

$=2{\sqrt {2}}\Gamma ({\frac {3}{2}})+{\sqrt {2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})$

$=2{\sqrt {2}}({\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }})+{\sqrt {2}}({\sqrt {\pi }})$

$=2{\sqrt {2\pi }}$

A harmadik azonosság levezethető a másodikból a $u={\frac {1}{x^{2}}}$ helyettesítéssel.

Alkalmazások

Sok egyenlet ami exponenciális függvényt tartalmaz megoldható a W függvénnyel. Az általános stratégia az, hogy minden ismeretlent egy oldalra viszünk, hogy az egyenletnek Y = Xe^X alakja legyen, ahonnan a W függvény megadja X értékeit.

Vagyis:

$Y=Xe^{X}\;\Longleftrightarrow \;X=W(Y)$

Példák

1. példa

${\begin{aligned}2^{t}&=5t\\1&={\frac {5t}{2^{t}}}\\1&=5t\,e^{-t\ln 2}\\{\frac {1}{5}}&=t\,e^{-t\ln 2}\\{\frac {-\,\ln 2}{5}}&=(-\,t\,\ln 2)\,e^{(-t\ln 2)}\\W\left({\frac {-\ln 2}{5}}\right)&=-t\ln 2\\t&=-{\frac {W\left({\frac {-\ln 2}{5}}\right)}{\ln 2}}\end{aligned}}$

Általánosságban a

$~p^{ax+b}=cx+d$

egyenlet, ahol

$p>0{\text{ and }}c,a\neq 0$

átalakítható a következő helyettesítéssel:

$-t=ax+{\frac {ad}{c}}$

A helyettesítés után:

$tp^{t}=R=-{\frac {a}{c}}p^{b-{\frac {ad}{c}}}$

ami, a következő megoldásokat adja:

$t={\frac {W(R\ln p)}{\ln p}}$

vagyis a végső megoldás:

$x=-{\frac {W(-{\frac {a\ln p}{c}}\,p^{b-{\frac {ad}{c}}})}{a\ln p}}-{\frac {d}{c}}$

2. példa

$x^{x}=z\,$

$\Rightarrow x\ln x=\ln z\,$

$\Rightarrow e^{\ln x}\cdot \ln x=\ln z\,$

$\Rightarrow \ln x=W(\ln z)\,$

$\Rightarrow x=e^{W(\ln z)}\,,$

vagyis,

$x={\frac {\ln z}{W(\ln z)}},$

mert

$\ln z=W(\ln z)e^{W(\ln z)}\,$

a definíció szerint.

3. példa

Amikor egy komplex végtelen tetráció

$z^{z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}\!$

konvergál, a W függvény megadja a határértéket:

$c={\frac {W(-\ln(z))}{-\ln(z)}}$

ahol ln(z) jelöli a komplex logaritmust. Ez bizonyítható azzal a megfigyeléssel hogy:

$z^{c}=c$

ha c létezik, vagyis

$z=c^{\frac {1}{c}}$

$\Rightarrow z^{-1}=c^{-{\frac {1}{c}}}$

$\Rightarrow {\frac {1}{z}}=\left({\frac {1}{c}}\right)^{\left({\frac {1}{c}}\right)}$

$\Rightarrow -\ln(z)=\left({\frac {1}{c}}\right)\ln \left({\frac {1}{c}}\right)$

$\Rightarrow -\ln(z)=e^{\ln \left({\frac {1}{c}}\right)}\ln \left({\frac {1}{c}}\right)$

$\Rightarrow \ln \left({\frac {1}{c}}\right)=W(-\ln(z))$

$\Rightarrow {\frac {1}{c}}=e^{W(-\ln(z))}$

$\Rightarrow {\frac {1}{c}}={\frac {-\ln(z)}{W(-\ln(z))}}$

$\Rightarrow c={\frac {W(-\ln(z))}{-\ln(z)}}$

ami az elvárt eredmény.

4. példa

A

$x\log _{b}\left(x\right)=a$

megoldásai

$x=e^{W(a\ln b)}.$

alakúak.

5. példa

Az áramerősség egy összetett ellenállás/dióda kapcsolásban leírható a W függvény segítségével. Lást dióda modellezés.

6. példa

A

${\dot {y}}(t)=ay(t-1)$

differenciálegyenlet, karakterisztikus egyenlete $\lambda =ae^{-\lambda }$, ami $\lambda =W_{k}(a)$ -hoz vezet és $y(t)=e^{W_{k}(a)t}$-hoz. Ha$a\geq e^{-1}$, csak $W_{0}(a)$ -t kell figyelembe venni.

Általánosítás

A hagyományos W függvény megadja a pontos megoldásait a transzcentens algbrai egyenleteknek amik a következő formályúak vagy ilyen formára hozhatóak:

$e^{-cx}=a_{o}(x-r)~~\quad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

ahol a₀, c ér r valós konstansok. A megoldás $x=r+{\frac {1}{c}}W\!\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{o}}}\right)\,$. A Lambert-féle W függvény általánosításai tartalmazzák a következőket:

• An application to general relativity and quantum mechanics (quantum gravity) in lower dimensions, in fact a previously unknown link (unknown prior to ) between these two areas, where the right-hand-side of (1) is now a quadratic polynomial in x:

$e^{-cx}=a_{o}(x-r_{1})(x-r_{2})~~\qquad \qquad (2)$

and where r₁ and r₂ are real distinct constants, the roots of the quadratic polynomial. Here, the solution is a function has a single argument x but the terms like r_i and a_o are parameters of that function. In this respect, the generalization resembles the hypergeometric function and the Meijer G-function but it belongs to a different class of functions. When r₁ = r₂, both sides of (2) can be factored and reduced to (1) and thus the solution reduces to that of the standard W function. Eq. (2) expresses the equation governing the dilaton field, from which is derived the metric of the R=T or lineal two-body gravity problem in 1+1 dimensions (one spatial dimension and one time dimension) for the case of unequal (rest) masses, as well as, the eigenenergies of the quantum-mechanical double-well Dirac delta function model for unequal charges in one dimension.

• Analytical solutions of the eigenenergies of a special case of the quantum mechanical three-body problem, namely the (three-dimensional) hydrogen molecule-ion. Here the right-hand-side of (1) (or (2)) is now a ratio of infinite order polynomials in x:

$e^{-cx}=a_{o}{\frac {\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}\qquad \qquad \qquad (3)$

where r_i and s_i are distinct real constants and x is a function of the eigenenergy and the internuclear distance R. Eq. (3) with its specialized cases expressed in (1) and (2) is related to a large class of delay differential equations.

Applications of the Lambert "W" function in fundamental physical problems are not exhausted even for the standard case expressed in (1) as seen recently in the area of atomic, molecular, and optical physics.

Grafikon

• Plots of the Lambert W function on the complex plane
• 
  z = Re(W₀(x + i y))
• 
  z = Im(W₀(x + i y))
• 
• 

Közelítő eljárások a kiszámítására

A W függvény közelíthető Newton módszerrel, egymást követő közelítésekkel $w=W(z)$ (vagyis $z=we^{w}$):

$w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.$

A W függvény szintén közelíthető Halley módszerrel,

$w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}$

Forrás

• (1996) „On the Lambert W function”. Advances in Computational Mathematics, Berlin, New York 5, 329–359. o, Kiadó: Springer-Verlag. DOI:10.1007/BF02124750. ISSN 1019-7168. 
• Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A. (2002). „Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2”. IEEE Trans. Signal Processing 50 (9). 
• Francis et al. (2000). „Quantitative General Theory for Periodic Breathing”. Circulation 102 (18), 2214. o.  (Lambert function is used to solve delay-differential dynamics in human disease.)
• Hayes, B. (2005). „Why W?”. American Scientist 93, 104–108. o. 
• Sablon:Dlmf
• (2005) „A New Elementary Function for Our Curricula?” (PDF). Australian Senior Mathematics Journal 19 (2), 8–26. o, Kiadó: Australian Association of Mathematics Teachers. ISSN 0819-4564. ERIC EJ720055. 
• Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010); (2012) „Lambert W function for applications in physics”. Computer Physics Communications 183, 2622–2628. o. DOI:10.1016/j.cpc.2012.07.008. 

Külső linkek

• National Institute of Science and Technology Digital Library - Lambert W
• MathWorld - Lambert W-Function
• Computing the Lambert W function
• Corless et al. Notes about Lambert W research
• Extreme Mathematics. Monographs on the Lambert W function, its numerical approximation and generalizations for W-like inverses of transcendental forms with repeated exponential towers.
• GPL C++ implementation with Halley's and Fritsch's iteration.
• Special Functions of the GNU Scientific Library - GSL