Normális eloszlás
Az X valószínűségi változó normális eloszlást követ – vagy rövidebben: normális eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye
ahol a két paraméter, m és σ ∈ R, valamint σ > 0. A normális eloszlást szokták Gauss-eloszlásnak vagy néha normál eloszlásnak is nevezni.
Azt, hogy az X valószínűségi változó normális eloszlást követ, a következő módon szoktuk jelölni:
Speciálisan, ha X ~ N(0, 1), akkor X-et standard normális eloszlásúnak (vagy sztenderd normális eloszlásúnak) nevezzük.
A fenti sűrűségfüggvény grafikonját alakja miatt szokás haranggörbének nevezni.
A normális eloszlást jellemző függvények
[szerkesztés]Sűrűségfüggvényének tulajdonságai
[szerkesztés]- Maximumhelye m (de nem emiatt lesz az eloszlás várható értéke is m, az egybeesés a szimmetriának köszönhető).
- Szimmetrikus a maximumhelyére vonatkozóan.
A normális eloszlást jellemző számok
[szerkesztés]Normális eloszlású valószínűségi változó néhány fontosabb tulajdonsága
[szerkesztés]- Ha X ~ N(m, σ²), akkor bármilyen nullától különböző valós a és bármilyen valós b szám esetén az Y = aX + b valószínűségi változó is normális eloszlást követ, pontosabban Y ~ N(am + b, a²σ²).
Az eloszlás eme tulajdonságán alapul a standardizálás módszere: ha X ~ N(m, σ²), akkor (X–m)/σ ~ N(0, 1). - Normális eloszlású független valószínűségi változók összege is normális eloszlású. Pontosabban ha X1 ~ N(m1, σ1²) és X2 ~ N(m2, σ2²) független valószínűségi változók, akkor X1 + X2 ~ N(m1 + m2, σ1² + σ2²).
- Fordítva: ha X1 és X2 független valószínűségi változó, és X1 + X2 normális eloszlású, akkor X1 is és X2 is normális eloszlású.
Megjelenése máshol
[szerkesztés]1989-ben a Német Szövetségi Bank olyan 10 márkás bankjegyet bocsátott ki, melyen Gauss képe mellett a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének grafikonja és képlete is látható.[1] Ez a bankjegy 2001-ig volt forgalomban, amikor is Németország áttért az euróra.
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ The Gaussian Distribution. The National Curve Bank. (Hozzáférés: 2022. január 26.)
Források
[szerkesztés]- Fazekas István (szerk.): Bevezetés a matematikai statisztikába (Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2000)
- Lukács Ottó: Matematikai statisztika (Műszaki, 2002) ISBN 963-16-3036-6
További információk
[szerkesztés]- A standard normális eloszlású változó eloszlásfüggvényének táblázata
- Interaktív Java szimuláció a normális (és további 10 folytonos) eloszlás tanulmányozásához. Szerzők: Kyle Siegrist & Dawn Duehring
- Interaktív Java szimuláció kockadobásokról 1-30 kockával. A pontösszegek hisztogramjai a centrális határeloszlás-tételt szemléltetik. Szerzők: Kyle Siegrist & Dawn Duehring
- Interaktív Flash szimuláció a Galton-deszkáról. A centrális határeloszlás-tételt szemlélteti Archiválva 2012. november 20-i dátummal a Wayback Machine-ben kétkimenetelű kísérletekkel. Szerző: Duncan Keith
- Interaktív Java szimuláció a kétdimenziós normális eloszlásról. Szerzők: Kyle Siegrist & Dawn Duehring
- Interaktív Flash szimuláció a standard normális eloszlásértékekről (magyarított). Szerző: Jim Reed
- Online kalkulátor Normális eloszlás. Szerző: René Vápeník