A karakterisztikus függvény a valószínűségszámításban egy speciális, komplex értékű függvény, ami véges mértékekhez vagy szűkebb értelemben valószínűségi mértékekhez , illetve eloszlásokhoz rendelhető hozzá. A hozzárendelés bijektív , a karakterisztikus függvény meghatározza az eloszlást.
Jelentőségét az adja, hogy a valószínűségeloszlások egyes tulajdonságait könnyebb megismerni a karakterisztikus függvényből, mint az eloszlásból vagy más függvényekből. Így a valószínűségi mértékek konvolúciójára a karakterisztikus függvények szorzatából lehet következtetni.
Legyen
μ
{\displaystyle \mu }
(
R
,
B
(
R
)
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}
μ
{\displaystyle \mu }
φ
μ
:
R
→
C
{\displaystyle \varphi _{\mu }\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }
komplex értékű függvény:
φ
μ
(
t
)
:=
∫
R
exp
(
i
t
x
)
d
μ
(
x
)
{\displaystyle \varphi _{\mu }(t):=\int _{\mathbb {R} }\exp(\mathrm {i} tx)\mathrm {d} \mu (x)}
Ha
μ
=
P
{\displaystyle \mu =P}
X
{\displaystyle X}
P
X
{\displaystyle P_{X}}
φ
X
(
t
)
=
E
(
exp
(
i
t
X
)
)
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} (\exp(\mathrm {i} tX))}
Speciális esetek:
φ
X
(
t
)
=
∫
−
∞
∞
f
X
(
x
)
exp
(
i
t
x
)
d
x
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\exp(\mathrm {i} tx)\,\mathrm {d} x}
Ha
P
X
{\displaystyle P_{X}}
p
X
{\displaystyle p_{X}}
φ
X
(
t
)
=
∑
k
=
1
∞
exp
(
i
t
x
k
)
p
X
(
x
k
)
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }\exp(\mathrm {i} tx_{k})p_{X}(x_{k})}
Ha
X
{\displaystyle X}
Poisson-eloszlású , akkor
P
X
{\displaystyle P_{X}}
p
λ
(
k
)
=
λ
k
k
!
e
−
λ
ha
k
∈
N
{\displaystyle p_{\lambda }(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }\quad {\text{ha}}\quad k\in \mathbb {N} }
A valószínűségi függvényt használó kifejezéssel
φ
X
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
exp
(
i
t
k
)
λ
k
k
!
e
−
λ
=
e
−
λ
∑
k
=
0
∞
(
λ
e
i
t
)
k
k
!
=
e
λ
(
e
i
t
−
1
)
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }\exp(\mathrm {i} tk){\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left(\lambda e^{it}\right)^{k}}{k!}}=\mathrm {e} ^{\lambda (e^{it}-1)}}
Ha
Y
{\displaystyle Y}
λ
{\displaystyle \lambda }
exponenciális eloszlású valószínűségi változó,
P
Y
{\displaystyle P_{Y}}
f
λ
(
x
)
=
{
λ
e
−
λ
x
x
≥
0
0
x
<
0
{\displaystyle f_{\lambda }(x)={\begin{cases}\displaystyle \lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}
Ezzel
φ
Y
(
t
)
=
∫
0
∞
e
i
t
x
λ
e
−
λ
x
d
x
=
λ
∫
0
∞
e
x
(
i
t
−
λ
)
d
x
=
λ
λ
−
i
t
{\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\int _{0}^{\infty }e^{\mathrm {i} tx}\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\mathrm {d} x=\lambda \int _{0}^{\infty }e^{x(\mathrm {i} t-\lambda )}\mathrm {d} x={\frac {\lambda }{\lambda -\mathrm {i} t}}}
További példák majd táblázatban lesznek megadva.
Egy (–1,1) szakaszon folytonos egyenletes eloszlású valószínűségi változó karakterisztikus függvénye a sinc függvény . Mivel ez az eloszlás szimmetrikus, azért karakterisztikus függvénye valós értékű. Nem szimmetrikus eloszlások esetén nem ez a helyzet. Minden véges mértéknek, így minden valószínűségi mértéknek és eloszlásnak van karakterisztikus függvénye. Az integrál mindig konvergens, mivel
|
e
i
t
x
|
=
1
{\displaystyle \left|e^{\mathrm {i} tx}\right|=1}
A karakterisztikus függvény mindig korlátos, teljesül, hogy
|
φ
X
(
t
)
|
≤
φ
X
(
0
)
=
1
{\displaystyle \left|\varphi _{X}(t)\right|\leq \varphi _{X}(0)=1}
A
φ
X
{\displaystyle \varphi _{X}}
X
{\displaystyle X}
φ
X
(
−
t
)
=
φ
X
(
t
)
¯
{\displaystyle \varphi _{X}(-t)={\overline {\varphi _{X}(t)}}}
A karakterisztikus függvények egyenletesen folytonosak .
Érdekes kérdés, hogy mely függvények lehetnek karakterisztikus függvények. Pólya tétele elégséges kritériumokat ad: Legyen az
f
:
R
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }
f
:
R
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to [0,1]}
konvex az
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
folytonos páros függvény,
f
(
0
)
=
1
{\displaystyle f(0)=1}
Ekkor van valószínűségi mérték, aminek
f
{\displaystyle f}
Szükséges és elégséges kritériumot Bochner tétele ad: Egy folytonos :
f
:
R
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }
f
{\displaystyle f}
f
(
0
)
=
1
{\displaystyle f(0)=1}
φ
a
X
+
b
(
t
)
=
e
i
t
b
φ
X
(
a
t
)
{\displaystyle \varphi _{aX+b}(t)=e^{\mathrm {i} tb}\varphi _{X}(at)}
a
,
b
∈
R
.
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \,.}
Ha
φ
X
{\displaystyle \varphi _{X}}
X
{\displaystyle X}
f
X
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
e
−
i
t
x
φ
X
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\mathrm {i} tx}\varphi _{X}(t)\,\mathrm {d} t\,.}
E
(
X
k
)
=
φ
X
(
k
)
(
0
)
i
k
{\displaystyle \operatorname {E} (X^{k})={\frac {\varphi _{X}^{(k)}(0)}{\mathrm {i} ^{k}}}}
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
E
(
|
X
|
k
)
<
∞
{\displaystyle \operatorname {E} (|X|^{k})<\infty }
Speciálisan
E
(
X
)
=
φ
X
′
(
0
)
i
,
{\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {\varphi _{X}'(0)}{\mathrm {i} }}\,,}
E
(
X
2
)
=
−
φ
X
″
(
0
)
.
{\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=-\varphi _{X}''(0)\,.}
Ha egy
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
E
(
|
X
|
n
)
{\displaystyle \operatorname {E} (|X|^{n})}
várható érték véges, akkor
φ
X
{\displaystyle \varphi _{X}}
n
{\displaystyle n}
0
{\displaystyle 0}
φ
X
(
t
)
=
∑
k
=
0
n
φ
X
(
k
)
(
0
)
k
!
t
k
+
R
n
+
1
(
t
)
=
∑
k
=
0
n
(
i
t
)
k
k
!
E
(
X
k
)
+
R
n
+
1
(
t
)
.
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {\varphi _{X}^{(k)}(0)}{k!}}t^{k}+R_{n+1}(t)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {(\mathrm {i} t)^{k}}{k!}}\operatorname {E} (X^{k})+R_{n+1}(t)\,.}
Speciálisan, ha
E
(
X
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {E} (X)=0}
Var
(
X
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=1}
φ
X
(
t
)
=
1
−
1
2
t
2
+
R
3
(
t
)
ahol
lim
t
→
0
R
3
(
t
)
t
2
=
0
.
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=1-{\frac {1}{2}}t^{2}+R_{3}(t)\quad {\text{ahol}}\quad \lim \limits _{t\rightarrow 0}{\frac {R_{3}(t)}{t^{2}}}=0\,.}
Ha
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
Y
=
X
1
+
X
2
{\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}}
φ
Y
(
t
)
=
φ
X
1
(
t
)
φ
X
2
(
t
)
,
{\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\varphi _{X_{1}}(t)\,\varphi _{X_{2}}(t)\,,}
mivel a függetlenség miatt
φ
Y
(
t
)
=
E
(
e
i
t
(
X
1
+
X
2
)
)
=
E
(
e
i
t
X
1
e
i
t
X
2
)
=
E
(
e
i
t
X
1
)
E
(
e
i
t
X
2
)
=
φ
X
1
(
t
)
φ
X
2
(
t
)
.
{\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} \left(e^{\mathrm {i} t(X_{1}+X_{2})}\right)=\operatorname {E} \left(e^{\mathrm {i} tX_{1}}e^{\mathrm {i} tX_{2}}\right)=\operatorname {E} \left(e^{\mathrm {i} tX_{1}}\right)\operatorname {E} \left(e^{\mathrm {i} tX_{2}}\right)=\varphi _{X_{1}}(t)\,\varphi _{X_{2}}(t)\,.}
[ szerkesztés ] Legyenek
(
X
i
)
i
∈
N
{\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}
N
{\displaystyle N}
N
0
{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
S
:=
∑
i
=
1
N
X
i
{\displaystyle S:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}
az
N
{\displaystyle N}
m
N
(
t
)
{\displaystyle m_{N}(t)}
valószínűséggeneráló függvényéből és
X
1
{\displaystyle X_{1}}
φ
S
(
t
)
=
m
N
(
φ
X
1
(
t
)
)
{\displaystyle \varphi _{S}(t)=m_{N}(\varphi _{X_{1}}(t))}
Ha
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
φ
X
(
t
)
=
φ
Y
(
t
)
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\varphi _{Y}(t)}
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
X
=
d
Y
{\displaystyle X{\overset {d}{=}}Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Ebből lehet következtetni Lévy folytonossági tételére : Az
(
X
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
lim
n
→
∞
φ
X
n
(
t
)
=
φ
X
(
t
)
{\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }\varphi _{X_{n}}(t)=\varphi _{X}(t)}
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
a centrális határeloszlás tételéhez lehet felhasználni.
Eloszlás
φ
X
(
t
)
{\displaystyle \varphi _{X}(t)}
Diszkrét eloszlások
Binomiális eloszlás
X
∼
Bin
(
n
,
p
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p)}
φ
X
(
t
)
=
(
p
e
i
t
+
1
−
p
)
n
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\left(pe^{\mathrm {i} t}+1-p\right)^{n}}
Poisson-eloszlás
X
∼
Poi
(
λ
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Poi} (\lambda )}
φ
X
(
t
)
=
e
λ
(
e
i
t
−
1
)
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{\lambda \left(e^{\mathrm {i} t}-1\right)}}
Negatív binomiális eloszlás
X
∼
NegBin
(
r
,
p
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {NegBin} (r,p)}
φ
X
(
t
)
=
(
1
−
p
e
i
t
1
−
p
)
−
r
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\left({\frac {1-pe^{\mathrm {i} t}}{1-p}}\right)^{-r}}
Abszolút folytonos eloszlások
X
∼
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle X\sim N(0,1)}
Standard normális eloszlás
φ
X
(
t
)
=
e
−
t
2
2
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}
X
∼
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}
Normális eloszlás
φ
X
(
t
)
=
e
i
t
μ
e
−
σ
2
t
2
2
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{\mathrm {i} t\mu }e^{-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}}
X
∼
U
(
a
,
b
)
{\displaystyle X\sim U(a,b)}
Folytonos egyenletes eloszlás
φ
X
(
t
)
=
e
i
b
t
−
e
i
a
t
i
(
b
−
a
)
t
{\displaystyle \varphi _{X}(t)={\frac {e^{\mathrm {i} bt}-e^{\mathrm {i} at}}{\mathrm {i} (b-a)t}}}
X
∼
C
(
0
,
1
)
{\displaystyle X\sim \;C(0,1)}
Standard Cauchy-eloszlás
φ
X
(
t
)
=
e
−
|
t
|
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{-|t|}}
X
∼
G
(
p
,
b
)
{\displaystyle X\sim \;G(p,b)}
Gamma-eloszlás
φ
X
(
t
)
=
(
b
b
−
i
t
)
p
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\left({\frac {b}{b-\mathrm {i} t}}\right)^{p}}
Valószínűségi vektorváltozókra is definiálható a karakterisztikus függvény. Legyen
X
=
(
X
1
,
…
,
X
ℓ
)
{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dotsc ,X_{\ell })}
ℓ
{\displaystyle \ell }
φ
X
(
t
)
=
φ
X
(
t
1
,
…
,
t
l
)
=
E
(
e
i
⟨
t
,
X
⟩
)
=
E
(
∏
j
=
1
ℓ
e
i
t
j
X
j
)
{\displaystyle \varphi _{\mathbf {X} }(t)=\varphi _{\mathbf {X} }(t_{1},\dots ,t_{l})=\operatorname {E} (e^{i\langle t,\mathbf {X} \rangle })=\operatorname {E} \left(\prod _{j=1}^{\ell }e^{it_{j}X_{j}}\right)}
az
X
=
(
X
1
,
…
,
X
ℓ
)
{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dotsc ,X_{\ell })}
⟨
t
,
X
⟩
=
∑
j
=
1
ℓ
t
j
X
j
{\displaystyle \langle t,\mathbf {X} \rangle =\sum \limits _{j=1}^{\ell }t_{j}X_{j}}
skaláris szorzás .
Tetszőleges mértékek esetén kompakt tartójú, korlátos, mérhető, valós értékű függvényekre értelmezhető a karakterisztikus függvény, mint
φ
X
(
f
)
=
E
(
exp
(
i
∫
f
d
X
)
)
{\displaystyle \varphi _{X}(f)=\operatorname {E} \left(\exp \left(i\int f\mathrm {d} X\right)\right)}
ahol
X
{\displaystyle X}
A valószínűségszámítás további fontos generátorfüggvényei a valószínűséggeneráló függvény és a momentumgeneráló függvény.
Egy
N
0
{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}
X
{\displaystyle X}
m
X
(
t
)
=
E
(
t
X
)
{\displaystyle m_{X}(t)=\operatorname {E} (t^{X})}
m
X
(
e
i
t
)
=
φ
X
(
t
)
{\displaystyle m_{X}(e^{it})=\varphi _{X}(t)}
Egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye
M
X
(
t
)
:=
E
(
e
t
X
)
{\displaystyle M_{X}(t):=\operatorname {E} (e^{tX})}
M
i
X
(
t
)
=
M
X
(
i
t
)
=
φ
X
(
t
)
{\displaystyle M_{iX}(t)=M_{X}(it)=\varphi _{X}(t)}
A kumulánsgeneráló függvény a momentumgeneráló függvény logaritmusa . Belőle származtatják a kumulánsokat .
Eugen Lukacs: Characteristic functions . Griffin, London 1960 (2., erweiterte Auflage 1970), ISBN 0-85264-170-2
Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8 Ez a szócikk részben vagy egészben a Charakteristische Funktion (Stochastik)
![{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804bc4294f8fbfa876c763dc1f27702951e750f6)
