A valószínűséggeneráló függvény a valószínűségszámításban a diszkrét valószínűségi változók eloszlásait jellemző függvény. Minden természetes számokat értékként felvevő eloszláshoz hozzárendelhető valószínűséggeneráló függvény, és minden valószínűséggeneráló függvényhez egyértelműen tartozik természetes számokat értékül adó eloszlás.
A hozzárendelés alapján a valószínűséggeneráló függvény segítségével lehet következtetni a valószínűségi változó tulajdonságaira. A valószínűségi változókon végzett műveleteknek megfelelnek a valószínűséggeneráló függvényeken végzett műveletek. Így kapcsolatban állnak a valószínűséggeneráló függvény deriváltjai és az eloszlás várható értéke, szórásnégyzete és további momentumai. A független változók összeadása az eloszlások konvolúciójának és a valószínűséggeneráló függvények szorzásának. A fontos műveletek egyszerűsítése lehetővé teszi olyan bonyolult sztochasztikus objektumok vizsgálatát, mint a Galton-Watson-folyamat.
A valószínűséggeneráló függvény kétféleképpen is definiálható, ezek azonban ekvivalensek. Az egyik a valószínűségeloszláson, a másik a valószínűségi változón alapul. Mindkét definícióban teljesül a
összefüggés. A továbbiakban
jelöli a természetes számokat, beleértve a nullát, avagy a nemnegatív egész számokat.
Valószínűségeloszlásokra[szerkesztés]
Legyen
valószínűségeloszlás az
halmazon, és valószínűségi függvénye
! Ekkor az
függvény, aminek definíciója
![{\displaystyle m_{P}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{P}(k)t^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a61957aa9673c4e76ba1310c9cda1007b0d8c3)
, illetve
valószínűséggeneráló függvénye.[1]
Valószínűségi változókra[szerkesztés]
Ha az
valószínűségi változó értékei
-ból valók, akkor a valószínűséggeneráló függvény egy
függvény, aminek definíciója
.[2]
Ez
, illetve
valószínűséggeneráló függvénye.
Ezzel egy valószínűségi változó valószínűséggeneráló függvénye megegyezik eloszlásának valószínűséggeneráló függvényével. Alternatívan, a várható érték segítségével is definiálható:
.[2]
Adva legyen egy Bernoulli-eloszlású
valószínűségi változó, azaz
. Ekkor
és
. Formálisan,
értékeit
-ból veszi fel, de
minden
számra. Ekkor
.
Ha
binomiális eloszlású az
és
paraméterekkel, azaz
, akkor
esetén a valószínűségek
![{\displaystyle P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc81dc7124369056f70e91635c9fc1cfb5e16b3f)
és
, ha
. A valószínűséggeneráló függvény a binomiális tétel miatt
.
Függvénytulajdonságok[szerkesztés]
A valószínűséggeneráló függvény hatványsor, aminek konvergenciasugara nagyobb, mint 1, azaz konvergens minden
esetén. Ehhez szükséges, hogy az együtthatók ne legyenek negatívak, és összegük 1 legyen. Ekkor
minden
esetén. Ekkor a vizsgált
szakaszon is teljesülnek a hatványsorok tulajdonságai: folytonosak, sőt végtelen sokszor differenciálhatók a
intervallumon.
Mivel minden
monom konvex és monoton növő, és ezek a tulajdonságok kúp kombinációkra is megmaradnak, azért a valószínűséggeneráló függvények is konvexek és monoton növők.
Nemcsak az eloszlásoknak van egyértelműen valószínűséggeneráló függvénye, hanem megfordítva, a valószínűséggeneráló függvény is egyértelműen meghatározza az eloszlást. Formálisan, ha
és
értékű valószínűségi változók, és
minden
esetén, ahol
, akkor
minden
esetén.
Ugyanis a Taylor-képlet szerint minden
esetén
.
Ez az összefüggés mutatja, hogy
generálja a
valószínűségeket, és a valószínűségi függvény rekonstruálható a valószínűséggeneráló függvényből.
Valószínűségi változók összege és eloszlások konvolúciója[szerkesztés]
Ha
és
független valószínűségi változók, melyek értéküket
-ból veszik fel, akkor az
valószínűségi változó valószínűséggeneráló függvénye
,
mivel
és
függetlensége miatt
és
is független.
Ez az eredmény általánosítható véges összegre is: Ha
független valószínűségi változók, és értékük
-beli, akkor az
valószínűségi változóra
.
Következik, hogy ha
valószínűségi mértékek, akkor konvolúciójuk,
valószínűséggeneráló függvénye
.
Példa:
Legyen
független Bernoulli-eloszlású valószínűségi változó, ugyanazzal a
paraméterrel. Ekkor összegük binomiális eloszlás a
és
paraméterekkel, tehát
. A Bernoulli-eloszlások és a binomiális eloszlás valószínűséggeneráló függvénye
.
Egy
értékű
valószínűségi változóra és
-ra teljesül, hogy
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[{\binom {X}{k}}\right]={\dfrac {\lim _{t\uparrow 1}m_{X}^{(k)}(t)}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d537a35aca0bbb822503b16f5bac4ab7eb1d4a)
illetve
.
Az egyenlőségek két oldala véges, ha
véges.
Eszerint egy
értékű valószínűségi változó várható értéke és szórásnégyzete:
,
.
Lényeges, hogy itt a bal oldali határértéket vegyük figyelembe, mivel a hatványsorok nem feltétlenül differenciálhatók a peremen.
Példa:
Legyen
binomiális eloszlású valószínűségi változó, azaz
. Ekkor
![{\displaystyle m_{X}(t)=(pt+1-p)^{n},\quad m'_{X}(t)=np(pt+1-p)^{n-1}{\text{ és }}m''_{X}(t)=n(n-1)p^{2}(pt+1-p)^{n-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724062f5a99fb36dcdd752a5c70bd2c14b85a7d2)
Mindkét derivált polinom, így kiértékelhetők a
helyen, ami megegyezik a bal határértékkel. Ezzel
.
A fenti eredményekkel
.
Valószínűségi változók lineáris transzformációja[szerkesztés]
A lineáris transzformációk hatása a valószínűséggenerátor függvényre:
. Így több diszkrét valószínűségi változó helyett is vizsgálható egész értékűre transzformált formája.
Példa:
Ha
Bernoulli-eloszlású valószínűségi változó, azaz
, akkor
esetén az
valószínűségi változó eloszlása kétpontos, értékkészlete
. Valószínűséggeneráló függvénye
.
A valószínűséggeneráló függvény pontonkénti konvergenciája közvetlenül kapcsolatba hozható a valószínűségbeli konvergenciával:
- Legyenek
valószínűségi változók, és valószínűséggeneráló függvényeik
! Ekkor az
-ek pontosan akkor konvergálnak eloszlásban egy
valószínűségi változóhoz, ha az
valószínűséggeneráló függvények pontonként konvergálnak egy
valószínűséggeneráló függvényhez minden
esetén, ahol
.[3]
Hasonló teljesül a valószínűségeloszlások gyenge konvergenciájára és a valószínűséggeneráló függvények pontonként konvergenciájára.
Véletlen összegek valószínűséggeneráló függvényei[szerkesztés]
Véletlen darabszámú összeg is kiszámítható valószínűséggeneráló függvénnyel. Legyenek
független, azonos eloszlású valószínűségi változók
értékekkel, és legyen
szintén
értékű, az
valószínűségi változóltól független valószínűségi változó! Ekkor az
valószínűségi változó valószínűséggeneráló függvénye
.
Ez az összefüggés hasznos például a Galton-Watson-folyamat elemzésére. A fenti összefüggések alapján a várható érték láncszabállyal számítható:
,
ami megfelel a Wald-formulának.
A szórásra teljesül, hogy:
,
ami a Blackwell-Girshick-egyenlőség. A szorzásszabállyal és a fenti eredmények felhasználásával következik.
Ha
dimenziós valószínűségi vektorváltozó, ami értékeit
-ból veszi fel, akkor valószínűséggeneráló függvénye
![{\displaystyle m_{X}(t):=m_{X}(t_{1},\dots ,t_{k})=\operatorname {E} \left(\prod _{i=1}^{k}t_{i}^{X_{i}}\right)=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{k}=0}^{\infty }f_{P}(x_{1},\ldots ,x_{k})t_{1}^{x_{1}}\dots t_{k}^{x_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5141b718b296073be20d61f37ab98896961ce9d5)
ahol
.
Várható érték, szórásnégyzet, kovariancia[szerkesztés]
Az egydimenziós esethez hasonlóan
![{\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})={\frac {\partial m_{X}}{\partial t_{i}}}(1,\dots ,1)\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f10af125057457e149fb207ba4c86d306683b3)
és
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})={\frac {\partial ^{2}m_{X}}{{\partial t_{i}}^{2}}}(1,\dots ,1)+{\frac {\partial m_{X}}{\partial t_{i}}}(1,\dots ,1)\left(1-{\frac {\partial m_{X}}{\partial t_{i}}}(1,\dots ,1)\right)\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ff6887e651b68e5586a45b3cfbfae5f137012c)
továbbá
![{\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})={\frac {\partial ^{2}m_{X}}{\partial t_{i}\partial t_{j}}}(1,\dots ,1)-{\frac {\partial m_{X}}{\partial t_{i}}}(1,\dots ,1)\cdot {\frac {\partial m_{X}}{\partial t_{j}}}(1,\dots ,1)\quad \forall i,j\in \{1,\dots ,k\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95ac1ff59aa0c7f7a8d68801ec2536b63488e06)
A táblázatban bemutatjuk a leggyakrabban használt diszkrét eloszlások valószínűséggeneráló függvényeit. Jegyezzük meg, hogy a binomiális eloszlás generátorfüggvénye a Bernoulli-eloszlás hatványa, mivel a binomiális eloszlás előáll független Bernoulli-eloszlások összegeként. Ugyanez teljesül a geometriai eloszlásra és a negatív binomiális eloszlásra is.
Eloszlás
|
Valószínűséggeneráló függvény,
|
Bernoulli-eloszlás |
|
Kétpontos eloszlás |
|
Binomiális eloszlás ![{\displaystyle B(n,p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58280f6b0f1a1b474a7047c07943f908e775aa71) |
|
Geometriai eloszlás ![{\displaystyle G(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4869410613bbcf59824b18671290d960b4d1c56a) |
|
Negatív binomiális eloszlás ![{\displaystyle NB(r,p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa71220b79ef4c303baa34b68622c05ce8eb4ac6) |
|
Diszkrét egyenletes eloszlás -en |
|
Logaritmikus eloszlás |
|
Poisson-eloszlás ![{\displaystyle P_{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/330591f9b6fffc93ca78514576fd0d8cfac6f0c7) |
|
Általánosított binomiális eloszlás ![{\displaystyle GB(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/621e193b4c949083077c86f196106288d6c8540a) |
|
Többváltozós eloszlás |
|
Multinomiális eloszlás |
|
Kapcsolat más generátorfüggvényekkel[szerkesztés]
A
valószínűségi függvényű
valószínűségi változó valószínűséggeneráló függvénye a generátorfüggvény speciális esete, ahol
minden
esetén. A valószínűségszámításban további három generátorfüggvényt használnak nemcsak diszkrét valószínűségi változókra.
A momentumgeneráló függvény definíciója
. Eszerint
.
A karakterisztikus függvényt úgy értelmezik, mint
. Eszerint
.
A momentumgeneráló függvény logaritmusa a kumulánsgeneráló függvény, amiből a kumuláns fogalmát származtatják.
- Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, S. 370 ff.
- Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013)
- Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005)
- Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009)
- Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003)
- ↑ Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7
- ↑ a b Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7
- ↑ Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6