Konvolúció

A konvolúció egy olyan művelet, amit függvényeken és disztribúciókon is értelmeznek.

A $({-\infty },\infty )$ intervallumon értelmezett $f,g$ integrálható függvények konvolúcióján az $f*g:x\mapsto \int _{-\infty }^{\infty }f(t)g(x-t)dt$ integrállal definiált függvényt értik.

A konvolúciónak széles körű alkalmazásai vannak a valószínűségszámításban, a Fourier-sorok és a parciális differenciálegyenletek világában. Segítségével gyorsabban lehet számokat összeszorozni és egyes parciális differenciálegyenleteket megoldani.

A disztribúciókon így értelmezik a konvolúciót:

$(u*v)(\phi )=\lim _{k\rightarrow \infty }[(y,z)\mapsto \rho _{k}(y,z)\phi (y+z)].$

A függvénykonvolúció tulajdonságai

A konvolúció kommutatív, asszociatív és disztributív az összeadásra. Eredménye egy majdnem mindenütt értelmezett integrálható függvény, és $\int {f*g}\leqslant (\int f)(\int g).$

Jelölje ${\mathcal {F}}$ a Fourier-transzformációt:

${\mathcal {F}}(f*g)={\mathcal {F}}f{\mathcal {F}}g.$

A valószínűségszámításban azért szeretik alkalmazni ezt a műveletet, mert így meg lehet kapni a független valószínűségi változók összegének eloszlását. Így be lehet látni, hogy

• a $\mu$ és a $\lambda$ paraméterű független Poisson-eloszlások összege $\mu +\lambda$ paraméterű Poisson-eloszlás,
• a független normális eloszlások összege is normális eloszlás lesz $m_{1}+m_{2}$ várható értékkel és $\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}$ szórásnégyzettel.
• $n$ darab független $\lambda$ paraméterű exponenciális eloszlás összege $n$-edrendű, $\lambda$ paraméterű gammaeloszlás:

$h_{n}={\frac {\lambda ^{n}z^{n-1}e^{-\lambda z}}{(n-1)!}}.$

Diszkrét konvolúció

A legtöbb függvény diszkrét a digitális jelfeldolgozásban, a valószínűségszámításban és a képfeldolgozásban. A diszkrét konvolúció képzési szabálya:

$(f*g)(n)=\sum _{k\in D}f(k)g(n-k)$

ahol az összegzés a két függvény értelmezési tartományának egyesítésén megy. Korlátos értelmezési tartomány esetén $f$-et és $g$-t azonosan nullának tekintik az eredeti értelmezési tartományán kívül.

Két polinom, formális hatványsor vagy véges főrészű Laurent-sor szorzatának együtthatói megadhatók az együtthatókból álló, esetleg nullákkal kibővített sorok diszkrét konvolúciójával. Az eredményül kapott végtelen soroknak csak véges sok nem nulla tagja lehet.

A diszkrét konvolúció hatékonyan számítható gyors Fourier-transzformációval.

A disztribúciók konvolúciójának tulajdonságai

A disztribúciók definíciója

A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer folytonosan differenciálható függvények $C_{0}^{\infty }(\Omega )$ terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:

1. Van $K$ része $\Omega$, supp $\phi _{j}$, supp $\phi$ része $K$
2. Tetszőleges $\alpha$ indexvektor esetén $\partial ^{\alpha }\phi _{j}\to \partial ^{\alpha }\phi$ egyenletesen $\Omega$-n.

Tulajdonságok

• Két disztribúció nem mindig konvolválható.
• A konvolúció kommutatív és lineáris, de nem asszociatív. Sőt, még a létezés sem következik.
• Ha az $u$ és a $v$ disztribúciók konvolválhatók, akkor $u*v$ tartója része $u$ és $v$ tartójának Minkowski-összegének.

A deriválással való kapcsolata miatt vezetik be:

• Ha az $u$ és a $v$ disztribúciók konvolválhatók, akkor $u*v$ bármely parciális deriváltja megkapható az egyik disztribúció megfelelő parciális deriváltjának és a másik disztribúciónak a konvolúciójaként.

Elégséges feltételek a konvolúció létezéséhez

• Legyenek $f,g$ lokálisan integrálható függvények, és tekintsük a következő disztribúciókat: $v=\int _{\Omega }f\phi$, és $u=\int _{\Omega }g\phi ,$ ahol $\Omega$ $f$ és $g$ értelmezési tartománya.

Ekkor $u$ és $v$ konvolválható.

• Ha $u$ és $v$ egyike kompakt tartójú, akkor $u$ és $v$ konvolválható, és $(u*v)(\phi )=[(y,z)\mapsto \rho (z)\phi (y+z)],$

ahol $\rho (z)$ akárhányszor differenciálható, és $\rho (z)=1$ a kompakt tartó egy környezetében.

• Legyenek $u$ és $v$ disztribúciók. Legyen az $u$ tartója egy $H$ féltér része, és legyen $v$ tartója egy olyan $K$ valódi konvex körkúp része, aminek tengelye párhuzamos $H$ normálisával. Ekkor $(u*v)(\phi )=(u\times v)[(y,z)\mapsto \psi (y)\rho (z)\phi (y,z)],$

ahol

• • $\psi ,\rho$ akárhányszor differenciálható,
  • $\psi (y)=1$ $K$ egy környezetében, és $\psi (y)=0$ egy nagyobb $H$-eltolt féltérben
  • $\rho (z)=1$ egy nagyobb $K$-eltolt kúpban, és $\rho (z)=0$ egy még nagyobb $K$-eltolt kúpon kívül

Források

• Simon–Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek
• Gonda János: Véges testek
• Mogyoródi–Somogyi: Valószínűségszámítás jegyzet matematikus szakos hallgatóknak
• Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás
• Pál Lénárd: A valószínűségszámítás és a statisztika alapjai I–II.
• Bourbaki: Integration
• Kôsaku Yosida: Functional Analysis. Springer-Verlag, ISBN 3-540-58654-7.

További információk

• 2D konvolúciós kernelek (maszkok) gyűjteménye
• A konvolúcióról
• Még néhány szó a konvolúcióról (magyar)
• Interaktív animáció egy csökkenő exponenciális és egy Gauss-görbe konvolúciójáról. Gyakorlati példa: pozitronok élettartamspektruma.