Kogrediencia (mátrixok)

A lineáris algebrában a egy adott test feletti A és B mátrixok kogrediensek (más szóhasználatban kongruensek), ha létezik olyan invertálható C mátrix, melyre B = C^TAC, ahol T a transzponáltat jelöli. A kogrediencia ekvivalenciareláció.

A kogrediencia fogalma a bilineáris formák illetve kvadratikus alakok elméletében jelenik meg. A kogrediencia ezen operátorokhoz tartozó Gram-mátrixok bázistranszformációra vonatkozó viselkedését írja le. Pontosabban két mátrix akkor és csak akkor kogrediens, ha ugyanazt a bilineáris formát reprezentálják különböző bázisokban.

Sylvester tehetetlenségi tétele szerint a valós számok teste fölött bármely két kogrediens szimmetrikus mátrixnak azonos számú pozitív, negatív illetve zéró sajátértéke van. Következésképpen egy kvadratikus alak különböző előjelű sajátértékeinek száma invariáns, azaz független a reprezentáló szimmetrikus mátrixtól.^[1]

Jegyzetek

↑ Sylvester, J J (1852). „A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares”. Philosophical Magazine IV, 138–142. o. (Hozzáférés: 2007. december 30.)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Matrix congruence című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK (5. fejezet: Bilineáris függvények)

Kapcsolódó szócikkek

Hasonlóság (mátrixok)

[sylvester-1] Sylvester, J J (1852). „A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares”. Philosophical Magazine IV, 138–142. o. (Hozzáférés: 2007. december 30.)

[1]