A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Két
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
mátrix
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
hasonló , ha létezik egy invertálható
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
P
{\displaystyle P}
B
=
P
−
1
A
P
{\displaystyle B=P^{-1}AP}
A
P
{\displaystyle P}
bázistranszformáció mátrixnak szokták nevezni, mivel hasonló mátrixok ugyanazt a lineáris leképzést reprezentálják, csak különböző bázishoz viszonyítva.
A hasonlóságot helyenként
A
≅
B
{\displaystyle A\cong B}
A
∼
B
{\displaystyle A\sim B}
A hasonlóság egy ekvivalenciareláció :
Reflexív : minden mátrix saját magához hasonló
A
≅
A
{\displaystyle A\cong A}
Bizonyítás :
A
=
I
n
−
1
A
I
n
{\displaystyle A=I_{n}^{-1}AI_{n}}
I
n
{\displaystyle I_{n}}
egységmátrixot jelöli.Szimmetrikus : ha
A
≅
B
{\displaystyle A\cong B}
B
≅
A
{\displaystyle B\cong A}
Bizonyítás :
B
=
P
−
1
A
P
→
P
B
=
A
P
→
P
B
P
−
1
=
A
{\displaystyle B=P^{-1}AP\rightarrow PB=AP\rightarrow PBP^{-1}=A}
Tranzitív : ha
A
≅
B
{\displaystyle A\cong B}
B
≅
C
{\displaystyle B\cong C}
A
≅
C
{\displaystyle A\cong C}
Bizonyítás :
B
{\displaystyle B}
B
=
P
1
−
1
A
P
1
{\displaystyle B=P_{1}^{-1}AP_{1}}
C
{\displaystyle C}
C
=
P
2
−
1
B
P
2
{\displaystyle C=P_{2}^{-1}BP_{2}}
C
{\displaystyle C}
C
=
P
2
−
1
P
1
−
1
A
P
1
P
2
{\displaystyle C=P_{2}^{-1}P_{1}^{-1}AP_{1}P_{2}}
P
=
P
1
P
2
{\displaystyle P=P_{1}P_{2}}
Ha két mátrix
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
≅
B
{\displaystyle A\cong B}
A rangok azonosak:
r
a
n
g
A
=
r
a
n
g
B
{\displaystyle \mathrm {rang} A=\mathrm {rang} B}
Bizonyítás : a kifejezés
B
=
P
−
1
A
P
{\displaystyle B=P^{-1}AP}
P
B
=
A
P
{\displaystyle PB=AP}
P
{\displaystyle P}
n
{\displaystyle n}
r
a
n
g
(
P
B
)
=
r
a
n
g
(
A
P
)
r
a
n
g
B
=
r
a
n
g
A
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {rang} (PB)&=\mathrm {rang} (AP)\\\mathrm {rang} B&=\mathrm {rang} A\end{aligned}}}
A determinánsok azonosak:
det
A
=
det
B
{\displaystyle \det A=\det B}
Bizonyítás :
det
B
=
det
(
P
−
1
A
P
)
=
det
P
−
1
det
A
det
P
=
(
det
P
)
−
1
det
A
det
P
=
det
A
{\displaystyle {\begin{aligned}\det B&=\det(P^{-1}AP)\\&=\det P^{-1}\det A\det P=(\det P)^{-1}\det A\det P\\&=\det A\end{aligned}}}
A nyomok azonosak:
t
r
A
=
t
r
B
{\displaystyle \mathrm {tr} A=\mathrm {tr} B}
Bizonyítás :
t
r
B
=
t
r
(
P
−
1
A
P
)
=
t
r
(
P
P
−
1
A
)
=
t
r
(
I
n
A
)
(A nyomok ciklikus tulajdonsága)
=
t
r
A
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {tr} B&=\mathrm {tr} (P^{-1}AP)\\&=\mathrm {tr} (PP^{-1}A)=\mathrm {tr} (I_{n}A){\text{ (A nyomok ciklikus tulajdonsága)}}\\&=\mathrm {tr} A\end{aligned}}}
p
B
(
t
)
=
det
(
t
I
n
−
B
)
=
det
(
P
−
1
t
I
n
P
−
P
−
1
A
P
)
=
det
(
P
−
1
(
t
I
n
−
A
)
P
)
=
det
P
−
1
det
(
t
I
n
−
A
)
det
P
=
(
det
P
)
−
1
det
(
t
I
n
−
A
)
det
P
=
det
(
t
I
n
−
A
)
=
p
A
(
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}p_{B}(t)&=\det(tI_{n}-B)\\&=\det(P^{-1}tI_{n}P-P^{-1}AP)\\&=\det(P^{-1}(tI_{n}-A)P)\\&=\det P^{-1}\det(tI_{n}-A)\det P=(\det P)^{-1}\det(tI_{n}-A)\det P\\&=\det(tI_{n}-A)=p_{A}(t)\end{aligned}}}
Sajátértékek és a hozzátartozó algebrai multiplicitások azonosak. Bizonyítás : mivel karakterisztikus polinomok azonosak, ezért a karakterisztikus egyenleteknek is azonosnak kell lenniük. Ebből következtethető, hogy a sajátértékek is azonosak.Jordan-féle normálformák azonosak.A két
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
A
=
[
2
3
0
4
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3\\0&4\end{bmatrix}}}
B
=
[
3
4
1
4
3
]
{\displaystyle B={\begin{bmatrix}3&4\\{\frac {1}{4}}&3\end{bmatrix}}}
P
=
[
3
0
1
4
]
{\displaystyle P={\begin{bmatrix}3&0\\1&4\end{bmatrix}}}
B
=
P
−
1
A
P
=
[
1
3
0
−
1
12
1
4
]
[
2
3
0
4
]
[
3
0
1
4
]
=
[
3
4
1
4
3
]
{\displaystyle {\begin{aligned}B&=P^{-1}AP={\begin{bmatrix}{\frac {1}{3}}&0\\-{\frac {1}{12}}&{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&3\\0&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&0\\1&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\{\frac {1}{4}}&3\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
Rang
r
a
n
g
A
=
2
{\displaystyle \mathrm {rang} A=2}
r
a
n
g
B
=
2
{\displaystyle \mathrm {rang} B=2}
Determináns
det
A
=
2
⋅
4
−
3
⋅
0
=
8
{\displaystyle \det A=2\cdot 4-3\cdot 0=8}
det
B
=
3
⋅
3
−
4
⋅
1
4
=
8
{\displaystyle \det B=3\cdot 3-4\cdot {\frac {1}{4}}=8}
Nyom
t
r
A
=
2
+
4
=
6
{\displaystyle \mathrm {tr} A=2+4=6}
t
r
B
=
3
+
3
=
6
{\displaystyle \mathrm {tr} B=3+3=6}
Karakterisztikus polinom
p
A
(
t
)
=
(
2
−
t
)
(
4
−
t
)
−
3
⋅
0
=
t
2
−
6
t
+
8
{\displaystyle p_{A}(t)=(2-t)(4-t)-3\cdot 0=t^{2}-6t+8}
p
B
(
t
)
=
(
3
−
t
)
(
3
−
t
)
−
4
⋅
1
4
=
t
2
−
6
t
+
8
{\displaystyle p_{B}(t)=(3-t)(3-t)-4\cdot {\frac {1}{4}}=t^{2}-6t+8}
