Normális eloszlás

Az X valószínűségi változó normális eloszlást követ – vagy rövidebben: normális eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye

f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot e^{-{\frac {(x-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}},

ahol a két paraméter, m és σ ∈ R, valamint σ > 0. A normális eloszlást szokták Gauss-eloszlásnak vagy néha normál eloszlásnak is nevezni.

Azt, hogy az X valószínűségi változó normális eloszlást követ, a következő módon szoktuk jelölni:

X\sim {\mathcal {N}}(m,\sigma ^{2}).

Speciálisan, ha X ~ N(0, 1), akkor X-et standard normális eloszlásúnak (vagy sztenderd normális eloszlásúnak) nevezzük.

A fenti sűrűségfüggvény grafikonját alakja miatt szokás haranggörbének nevezni.

A normális eloszlást jellemző függvények

F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot e^{-{\frac {(t-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dt\left(=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)dt\right)

\varphi (t)=e^{itm-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}

Maximumhelye m (de nem emiatt lesz az eloszlás várható értéke is m, az egybeesés a szimmetriának köszönhető).
Szimmetrikus a maximumhelyére vonatkozóan.

\mathbf {E} (X)=m

\mathbf {D} (X)=\sigma

\mathrm {E} \left(X^{p}\right)={\begin{cases}0&{\text{ha }}p{\text{ páratlan,}}\\\sigma ^{p}\,(p-1)!!&{\text{ha }}p{\text{ páros.}}\end{cases}}

\operatorname {E} \left(|X|^{p}\right)=\sigma ^{p}\,(p-1)!!\cdot \left.{\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}&{\text{ha }}p{\text{ páratlan}}\\1&{\text{ha }}p{\text{ páros}}\end{cases}}\right\}=\sigma ^{p}\cdot {\frac {2^{\frac {p}{2}}\Gamma \left({\frac {p+1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}

\beta _{1}(X)=0\,

\beta _{2}(X)=0\,

Ha X ~ N(m, σ²), akkor bármilyen nullától különböző valós a és bármilyen valós b szám esetén az Y = aX + b valószínűségi változó is normális eloszlást követ, pontosabban Y ~ N(am + b, a²σ²).
Az eloszlás eme tulajdonságán alapul a standardizálás módszere: ha X ~ N(m, σ²), akkor (X–m)/σ ~ N(0, 1).
Normális eloszlású független valószínűségi változók összege is normális eloszlású. Pontosabban ha X₁ ~ N(m₁, σ₁²) és X₂ ~ N(m₂, σ₂²) független valószínűségi változók, akkor X₁ + X₂ ~ N(m₁ + m₂, σ₁² + σ₂²).

Fordítva: ha X₁ és X₂ független valószínűségi változó, és X₁ + X₂ normális eloszlású, akkor X₁ is és X₂ is normális eloszlású.

1989-ben a Német Szövetségi Bank olyan 10 márkás bankjegyet bocsátott ki, melyen Gauss képe mellett a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének grafikonja és képlete is látható.^[1] Ez a bankjegy 2001-ig volt forgalomban, amikor is Németország áttért az euróra.

↑ The Gaussian Distribution. The National Curve Bank. (Hozzáférés: 2022. január 26.)

Fazekas István (szerk.): Bevezetés a matematikai statisztikába (Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2000)
Lukács Ottó: Matematikai statisztika (Műszaki, 2002) ISBN 963-16-3036-6

A Wikimédia Commons tartalmaz Normális eloszlás témájú médiaállományokat.