Gyenge Goldbach-sejtés

A matematika, azon belül a számelmélet területén a gyenge Goldbach-sejtés, páratlan Goldbach-sejtés vagy 3-prím probléma a következő állítás:

Minden, 5-nél nagyobb páratlan szám kifejezhető három prímszám összegeként (ugyanabban az összegben egy prímszám egynél többször is felhasználható).

A sejtést azért nevezik „gyengének”, mert ha az erős Goldbach-sejtést (ami két prímszám összegét említi) sikerülne igazolni, ez is automatikusan bizonyítottá válna. Ez nyilvánvaló abból, hogy ha bármely 4-nél nagyobb páros szám felírható két páratlan prímszám összegeként, akkor a négynél nagyobb páros számokhoz 3-at adva megkapjuk a 7-nél nagyobb páratlan számokat (a 7 maga felírható, mint 2+2+3).

2013-ban Harald Helfgott publikálta a gyenge Goldbach-sejtésre adott bizonyítását.^[1] Jelenleg (2019) ez a bizonyítást széles körben igaznak tekinti a matematikusok közössége,^[2] bár nem jelent meg egyetlen recenzált szakértői folyóiratban sem.

Egyesek így fogalmazzák meg a sejtést:

Minden hétnél nagyobb páratlan szám kifejezhető három páratlan prímszám összegeként.^[3]

Ez a változat kizárja a 7 = 2+2+3 összeget, mivel ahhoz szükség van a páros prímszám 2-re. A 7-nél nagyobb páratlan számok esetében is valamivel erősebb állítás, hiszen kizárja az olyan összegeket, mint a 17 = 2+2+13, amiket a másik megfogalmazás megenged. Helfgott bizonyítása a sejtés mindkét változatára kiterjed. A sejtésnek ez a verziója is automatikusan következik az erős Goldbach-sejtésből.

Az eredmények idővonala

1923-ban Hardy és Littlewood megmutatták, hogy az általánosított Riemann-hipotézis elfogadása esetén a gyenge Goldbach-sejtés minden elegendően nagy páratlan számra igaz. 1937-ben Ivan Matvejevics Vinogradov kiküszöbölte az általánosított Riemann-hipotézistől való függést, és közvetlenül bizonyította (lásd Vinogradov-tétel), hogy minden elegendően nagy páratlan szám felírható három prímszám összegeként. Vinogradov eredeti bizonyítása a Siegel–Walfisz-tételre alapozott, ezért nem adott korlátot az „elegendően nagy”-ra; tanítványa, K. Borozdkin (1956) bizonyította, hogy a $\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{16.038}}\approx 3^{3^{15}}$ már elegendően nagy.^[4] Az egészrész 4 008 660 számjeggyel írható le tízes számrendszerben, tehát nyilvánvalóan lehetetlen egyenként ellenőrizni az ennél kisebb számokat.

1997-ben Deshouillers, Effinger, te Riele és Zinoviev által publikált eredmény szerint^[5] az általánosított Riemann-sejtésből következik a gyenge Goldbach-sejtés igaza minden számra. Az eredmény összefűzi az állítást, mely szerint a sejtés igaz minden 10²⁰-nál nagyobb számra a kisebb számokon végzett kiterjedt számítógépes kereséssel.^[6]

Olivier Ramaré 1995-ben megmutatta, hogy minden n ≥ 4 páros szám felírható legfeljebb hat prímszám összegeként, amiből következik, hogy minden n ≥ 5 páratlan szám pedig felírható legfeljebb hét prímszám összegeként. Leszek Kaniecki bizonyította, hogy a Riemann-sejtés igazsága esetén minden páratlan szám felírható legfeljebb öt prímszám összegeként.^[7] 2012-ben Terence Tao bizonyította ugyanezt a Riemann-sejtés nélkül; ez mindkét eredményt feljavítja.^[8]

2002-ben Liu Ming-csi (Hongkongi Egyetem) és Wang Tian-ze a gyenge Goldbach-sejtés „elegendően nagy” változatának bizonyítására vonatkozó korlátot levitte kb. $n>\mathrm {e} ^{3100}\approx 2\times 10^{1346}$ -ra. A kitevő itt is sokkal hatalmasabb annál, minthogy a számítógépes keresésnek értelme lenne – számítógépekkel az erős Goldbach-sejtést mintegy 10¹⁸-ig, a gyenge Goldbach-sejtést valamivel tovább tesztelték.

2012-ben és 2013-ban Harald Helfgott perui matematikus megjelentetett két tanulmányt, melyek a Hardy–Littlewood-féle körmódszerben szereplő nagyobb és kisebb ívek (major and minor arcs) becsléseit olyan mértékben megjavították, ami már elegendő volt a gyenge Goldbach-sejtés feltétel nélküli bizonyításához.^[9]^[10]^[1]^[11] Itt az ${\mathfrak {M}}$ -mel jelölt nagyobb ívek az $\left(a/q-cr_{0}/qx,a/q+cr_{0}/qx\right)$ intervallumok uniói az $a/q,q<r_{0}$ racionálisok körül, ahol $c$ konstans. Az ${\mathfrak {m}}$ -mel jelölt kisebb ívek definíciójuk szerint ${\mathfrak {m}}=(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\setminus {\mathfrak {M}}$ .

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Goldbach's weak conjecture című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

↑ ^a ^b Helfgott, Harald A. (2013). "The ternary Goldbach conjecture is true". arXiv:1312.7748 [math.NT].
↑ Alexander von Humboldt-Professur - Harald Andrés Helfgott. www.humboldt-professur.de . [2018. június 17-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2018. június 17.)
↑ Weisstein, Eric W.: Goldbach Conjecture (angol nyelven). Wolfram MathWorld
↑ Helfgott, Harald Andrés (2015). "The ternary Goldbach problem". arXiv:1501.05438 [math.NT].
↑ (1997) „A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis”. Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society 3 (15), 99–104. o. DOI:10.1090/S1079-6762-97-00031-0.
↑ Yannick Saouter (1998). „Checking the odd Goldbach Conjecture up to 10²⁰” (PDF). Math. Comp. 67 (222), 863–866. o. DOI:10.1090/S0025-5718-98-00928-4.
↑ Kaniecki, Leszek (1995). „On Šnirelman's constant under the Riemann hypothesis”. Acta Arithmetica 72 (4), 361–374. o. DOI:10.4064/aa-72-4-361-374.
↑ Tao, Terence (2014). „Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes”. Math. Comp. 83, 997–1038. o. DOI:10.1090/S0025-5718-2013-02733-0.
↑ Helfgott, Harald A. (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem". arXiv:1305.2897 [math.NT].
↑ Helfgott, Harald A. (2012). "Minor arcs for Goldbach's problem". arXiv:1205.5252 [math.NT].
↑ Sablon:Cite arxiv

[:0-1] Helfgott, Harald A. (2013). "The ternary Goldbach conjecture is true". arXiv:1312.7748 [math.NT].

[2] Alexander von Humboldt-Professur - Harald Andrés Helfgott. www.humboldt-professur.de . [2018. június 17-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2018. június 17.)

[3] Weisstein, Eric W.: Goldbach Conjecture (angol nyelven). Wolfram MathWorld

[4] Helfgott, Harald Andrés (2015). "The ternary Goldbach problem". arXiv:1501.05438 [math.NT].

[5] (1997) „A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis”. Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society 3 (15), 99–104. o. DOI:10.1090/S1079-6762-97-00031-0.

[6] Yannick Saouter (1998). „Checking the odd Goldbach Conjecture up to 10²⁰” (PDF). Math. Comp. 67 (222), 863–866. o. DOI:10.1090/S0025-5718-98-00928-4.

[7] Kaniecki, Leszek (1995). „On Šnirelman's constant under the Riemann hypothesis”. Acta Arithmetica 72 (4), 361–374. o. DOI:10.4064/aa-72-4-361-374.

[8] Tao, Terence (2014). „Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes”. Math. Comp. 83, 997–1038. o. DOI:10.1090/S0025-5718-2013-02733-0.

[9] Helfgott, Harald A. (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem". arXiv:1305.2897 [math.NT].

[10] Helfgott, Harald A. (2012). "Minor arcs for Goldbach's problem". arXiv:1205.5252 [math.NT].

[11] Sablon:Cite arxiv

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]