Andrica-sejtés

(a) Az

A_{n}

függvény grafikonja az első 100 prímre.

(b) Az

A_{n}

függvény grafikonja az első 200 prímre.

(c) Az

A_{n}

függvény grafikonja az első 500 prímre.

Az Andrica-sejtés grafikus bizonyítása az első (a)100, (b)200, illetve (c)500 prímszámra. Az

A_{n}

függvény mindig 1 alatt marad.

A számelmélet területén a Dorin Andrica román matematikusról elnevezett Andrica-sejtés a prímszámok közötti hézagokról szóló sejtés.^[1]

A sejtés állítása szerint a

{\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1

egyenlőtlenség minden $n$ -re teljesül, ahol $p_{n}$ az n-edik prímszám. Ha $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$ jelöli az n-edik prímhézagot, akkor az Andrica-sejtés a következőképpen is megfogalmazható:

g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.

Empirikus bizonyítékok

Imran Ghory a legnagyobb prímhézagokra vonatkozó adatok felhasználásával igazolta a sejtést egészen 1,3002 · 10¹⁶-ig.^[2] A fenti prímhézag-egyenlőtlenség és a táblázatok segítségével a sejtés egészen 4 · 10¹⁸-ig bizonyított.

Az $A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}$ diszkrét függvény grafikonja a jobb oldalon látható. Az $A_{n}$ csúcsértékei n = 1, 2 és 4-nél találhatók; A₄ ≈ 0,670873..., aminél nincs nagyobb érték az első 10⁵ prím között. Mivel az Andrica-függvény értéke n növekedésével aszimptotikusan csökken, nagy n-eknél egyre nagyobb prímhézagra van szükség a különbség növeléséhez. Emiatt erősen valószínűnek tűnik, hogy a sejtés igaz, bár még nem sikerült bizonyítani.

Általánosításai

Az Andrica-sejtés egyszerű általánosítása a következő egyenlőség:

p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,

ahol $p_{n}$ az n-edik prímszám, x pedig bármely pozitív valós szám lehet.

Az x legnagyobb lehetséges értéke nyilvánvalóan $n=1$ -nél van, amikor x_max = 1. A sejtések szerint x-re a legkisebb megoldás x_min ≈ 0,567148... (A038458 sorozat az OEIS-ben), ami n = 30-nál teljesül.

Az általánosított Andrica-sejtést fel lehet írni egyenlőtlenség formájában is:

p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1

, ahol

x<x_{\min }.

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

↑ Andrica, D. (1986). „Note on a conjecture in prime number theory”. Studia Univ. Babes–Bolyai Math. 31, 44–48. o. ISSN 0252-1938.
↑ Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, Inc., 2005, p. 13.

Guy, Richard K.. Unsolved problems in number theory, 3rd, Springer-Verlag (2004). ISBN 978-0-387-20860-2

További információk

Andrica's Conjecture Archiválva 2007. július 11-i dátummal a Wayback Machine-ben at PlanetMath
Generalized Andrica conjecture at PlanetMath
Weisstein, Eric W.: Andrica's Conjecture (angol nyelven). Wolfram MathWorld

[1] Andrica, D. (1986). „Note on a conjecture in prime number theory”. Studia Univ. Babes–Bolyai Math. 31, 44–48. o. ISSN 0252-1938.

[2] Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, Inc., 2005, p. 13.

[1]

[2]