Feltételes függetlenség

A valószínűségszámításban a feltételes függetlenség az események, halmazrendszerek, valószínűségi változók függetlenségének általánosítása a feltételes valószínűség és feltételes várható érték segítségével. A feltételes függetlenséget felhasználják például valószínűségi változók felcserélhető családjainak definiálásához.

Definíció

Adva legyen az $(\Omega ,\Sigma ,P)$ valószínűségi mező, és a $\Sigma$ eseménytéren egy ${\mathcal {A}}$ σ-algebra. Legyen $P(\cdot |{\mathcal {A}})$ az ${\mathcal {A}}$-ra vonatkozó feltételes valószínűség.

A $\Sigma$ $({\mathcal {A}}_{i})_{i\in I}$ rész-σ-algebráinak egy $({\mathcal {A}}_{i})_{i\in I}$ családja feltételesen független ${\mathcal {A}}$-tól, ha $I$ minden véges $J$ részhalmazára és tetszőleges $A_{j}\in {\mathcal {A}}_{j}$ választása esetén, minden $j\in J$-re teljesül, hogy

$P\left(\bigcap _{j\in J}A_{j}|{\mathcal {A}}\right)=\prod _{j\in J}P(A_{j}|{\mathcal {A}})$.

A feltételes valószínűség tulajdonságai alapján az identitás P-majdnem biztos.

Az $(X_{i})_{i\in I}$ valószínűségi változók családja feltételesen független az ${\mathcal {A}}$-tól, ha az $(\sigma (X_{i}))_{i\in I}$ generált σ-algebrák feltételesen függetlenek ${\mathcal {A}}$-tól.

Megjegyzések és tulajdonságok

A független azonos eloszlás feltételes értelmezéséhez: Valószínűségi változók egy családja feltételesen független azonos eloszlású, hogyha a család feltételesen független ${\mathcal {A}}$-tól és az $P(\{X_{i}\in \cdot \}|{\mathcal {A}})$ feltételes eloszlások ugyanolyanok.

Például ${\mathcal {A}}$ minden rész-σ-algebrája feltételesen független ${\mathcal {A}}$-tól, és σ-algebrák minden független családja függetken a triviális σ-algebrától.

Források

• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6