Az A eseménynek a B eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége megadja az A esemény bekövetkezésének a valószínűségét, feltéve hogy a B esemény már bekövetkezett vagy bekövetkezik. Jelölése P(A | B), szóban: A feltéve B.
Ha A és B események, és B valószínűsége pozitív, akkor
![{\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74346f47e810fdf631bb0e83a97c014bec83b06)
ahol
annak a valószínűsége, hogy mindkét esemény bekövetkezik. Így is írják:
illetve
.
A feltételes valószínűség kiszámítására szolgáló képletet átalakítva:
![{\displaystyle P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a815288459c111f6d545806711046dd337936636)
Ha A és B független, akkor
![{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)\Rightarrow P(A|B)={\frac {P(A)P(B)}{P(B)}}=P(A).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd777c751e9575f651be86645d82e85349555ad)
Ha csak P(B), P(A|B) és P(B|A) ismert, akkor A valószínűsége:
![{\displaystyle P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|{\overline {B}})P({\overline {B}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db46a4949c75de1316c0f87cd9743a4b8f4f1af6)
ahol
a B esemény komplementerét jelöli.
A Bayes-tétellel kiszámítható az egyik feltételes valószínűség a másik feltételes valószínűség és a nem feltételes valószínűségek segítségével:
![{\displaystyle P(A{\mid }B)=P(B{\mid }A)\,{\frac {P(A)}{P(B)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ebe083c96a21d9339e1c03df876dd79fc2dc7da)
Nemcsak két eseményt tekinthetünk, hanem többet is. Jelölje őket rendre
!
A két eseményre vonatkozó képletet általánosítva:
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(A_{1}\cap A_{2}\cap \dots \cap A_{n})&=P(A_{1})\cdot {\frac {P(A_{1}\cap A_{2})}{P(A_{1})}}\cdot {\frac {P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})}{P(A_{1}\cap A_{2})}}\cdot \ldots \cdot {\frac {P(A_{1}\cap \dots \cap A_{n})}{P(A_{1}\cap \dots \cap A_{n-1})}}\\&=P(A_{1})\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot P(A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\cdot \ldots \cdot P(A_{n}|A_{1}\cap \dots \cap A_{n-1})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a81e6536212296c2368ccaee15d6d9291bd0ee4)
A számítás döntési fával modellezhető.
Teljes valószínűség tétele[szerkesztés]
Az
esemény valószínűsége kiszámítható, ha ismert az
és
feltételes valószínűség, ahol
a
esemény be nem következése. Ekkor
![{\displaystyle P(A)=P\left(A\mid B\right)\cdot P(B)+P\left(A\mid B^{c}\right)\cdot P\left(B^{c}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ba550ca9c7d36da81f035cc79864e18a635aaa)
Általában, legyen
teljes eseményrendszer, és
minden
-re. A teljes eseményrendszer a teljes
eseménytér partíciója. Ekkor
![{\displaystyle P(A)=\sum _{j=1}^{\infty }P\left(A\mid B_{j}\right)\cdot P\left(B_{j}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247431f3e4ad2bd4c5b7ffd9b089c20d957cc648)
Folytonos valószínűségi változók[szerkesztés]
Az
közös sűrűségfüggvényű X és Y folytonos valószínűségi változók feltételes valószínűsége
.
Ha
, akkor értelmezhető X
feltételes sűrűségfüggvénye egy adott
-ra:
.
X sűrűségfüggvénye is meghatározható:
.
A teljes valószínűség tételével az
marginális sűrűségfüggvény Y-tól függetlenül is meghatározható, ha y szerint integráljuk az
függvényt.
Ügyelni kell arra, hogy a sűrűségfüggvény nem egyértelmű.
,
, és
sűrűségfüggvényének megfelel minden olyan mérhető függvény, ami
,
és
-re a megfelelő valószínűségeket adja. Az
függvénynek az
![{\displaystyle P(X\in A,Y\in B)\,=\,\int _{B}f_{Y}(y)\int _{A}f_{X|Y}(x,y)\,dx\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be01994a0ecaf37f0ea2ef87a16c7afe9bd64c47)
összefüggésnek kell eleget tennie.
Két esemény együttes bekövetkeztét az események szorzatának, szorzateseménynek nevezzük.
Két esemény, A és B akkor és csak akkor független, ha szorzateseményük valószínűsége megegyezik valószínűségük szorzatával:
![{\displaystyle P(A\cap B)\ =\ P(A)P(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cebde4f178a3c86d25febbebbb8f1b86f3e29e3)
Ekkor, ha A és B is pozitív valószínűségű, akkor az egyik feltéve a másik feltételes valószínűségek megegyeznek a feltétel nélküliekkel:
![{\displaystyle P(A|B)\ =\ P(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9b0693d0d4b3112b7fd70be5677bb7fc37b913)
és
![{\displaystyle P(B|A)\ =\ P(B).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037c603575532385e21f78bc88639fe202fd3122)
Két esemény kizárja egymást, ha nem következhetnek be egyszerre,
Például ilyen egy esemény és komplementere, vagy hogy a kockával hatost, vagy egyest dobunk-e. Két esemény akkor és csak akkor lehet kizáró is és független is, ha egyik az üres, másik ennek komplementere, a teljes esemény.
Mivel üres esemény valószínűsége nulla, ezért
. Így, ha B valószínűsége pozitív, akkor
.
- Denkinger Géza: Valószínűségszámítás
- Hans-Peter Beck-Bernholdt, Hans-Hermann Dubben: A tojást rakó kutya