Valószínűségi mező

A valószínűségi mező a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalma. Olyan folyamatokat (vagy „kísérleteket”) modellez, amelyeknek köze van a véletlenhez.

Definíció

A rövid definíció szerint a valószínűségi mező egy olyan mértéktér, ahol a teljes tér mértéke 1. Bővebben:

Legyen $\Omega$ tetszőleges halmaz. Ha a ${\mathcal {P}}(\Omega )$ hatványhalmaz egy ${\mathcal {A}}$ részhalmaza $({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega ))$ σ-algebra, azaz

• $\emptyset \in {\mathcal {A}}$, vagyis az üreshalmaz ${\mathcal {A}}$-beli,
• minden $A\in {\mathcal {A}}$ halmaz esetén $\Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}$, vagyis az $\Omega$-ra vett komplementer halmaz is ${\mathcal {A}}$-beli, és
• minden $(A_{n})\subseteq {\mathcal {A}}$ halmazsorozat esetén $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}$,

és létezik egy $P:{\mathcal {A}}\to [0,1]$ mérték, hogy

• $P(\emptyset )=0$,
• $P(\Omega )=1$, és
• minden $(A_{n})\subseteq {\mathcal {A}}$ páronként diszjunkt halmazokból álló halmazsorozat esetén $P\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})$,

akkor az $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ hármast valószínűségi mezőnek nevezzük.

Szerencsekerék modellezése valószínűségi mezővel: az összes lehetséges kimenetel itt $\Omega =\{1,2,3\}$. Az $\Omega$ alaphalmaz részhalmazainak valószínűségét szektora szögének a teljesszöghöz (360°) viszonyított nagysága adja meg

Ez a definíció azt is jelenti, hogy a valószínűség fogalma tisztán axiomatikus felírással is kezelhető, és nemcsak empirikusan – ahogy azt von Mises leírta. Alapvető az a gondolat, hogy a véletlen kísérlet összes kimenetét egymást kizáró eseményekként adjuk meg. Például egy szerencsekerék csak egy pozícióban állhat meg, ami egy adott null pozícióhoz képest mérhető. A mellékelt kép által mutatott példában csak az 1, 2, 3 számokhoz tartozó tartományokban állhat meg; egy mechanizmus akadályozza meg, hogy pont két szám határára essen (aminek egyébként is nulla a valószínűsége). Emiatt nem következhet be két elemi esemény, ezek diszjunktak. Ez alapozza meg az összeadási tétel kiterjesztését: Véges sok, egymást kölcsönösen kizáró esemény együttes valószínűsége az egyes események valószínűségeinek összege.

Elnevezések

• Az $\Omega$ halmaz eseménytér.

Az $\omega \in \Omega$ elemeket kimeneteleknek, vagy néha pongyolán elemi eseményeknek nevezzük; bár elemi eseménynek inkább az ezeket egyetlen elemként tartalmazó halmazokat célszerű nevezni, hiszen a $P$ mértékfüggvény halmazokon értelmezett, lásd alább.

• Az ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ σ-algebra az eseményalgebra.

Az $A\in {\mathcal {A}}$ halmazok események.

Az egyetlen lehetséges kimenetelt tartalmazó $A_{i}=\{\omega _{i}\}$ halmazok az elemi események

• A $P:{\mathcal {A}}\to [0,1]$ mértékfüggvény a valószínűségi mérték, röviden a valószínűség.

Az $\Omega \in {\mathcal {A}}$ esemény biztos esemény, mert $P(\Omega )=1$.

Az $\emptyset \in {\mathcal {A}}$ esemény lehetetlen esemény, mert $P(\emptyset )=0$.

Az ${\overline {A}}=\Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}$ esemény az $A\in {\mathcal {A}}$ esemény komplementere.

• Az $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ hármast valószínűségi mezőnek vagy valószínűségi térnek nevezzük.

Példák

Példák diszkrét valószínűségi mezőre

Általánosabban, diszkrét valószínűségi mezőről van szó, ha az eseménytér véges vagy megszámlálhatóan végtelen, és eseményalgebrája a hatványhalmaz, vagyis ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\Omega )$. Ebben az esetben nincsen szükség a σ-algebra fogalmának bevezetésére, $(\Omega ,P)$ diszkrét valószínűségi mezőről beszélhetünk.

Klasszikus valószínűségi mező

Legyen $\Omega$ véges halmaz, ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\Omega )$ és minden $A\in {\mathcal {P}}(\Omega )$ halmaz esetén $P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}$. Ekkor az $(\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ),P)$ valószínűségi mezőt klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük.

Akkor is beszélnek diszkrét valószínűségi mezőről, ha az $\Omega$ eseménytér tetszőleges, de a valószínűségek mindig egy véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmaz elemeit veszik fel, azaz ennek a halmaznak 1 a valószínűsége.

Bernoulli-mező

Ha az alaphalmaz, $\Omega =\{0,1\}$ a valószínűségek pedig $P(\{0\})=p,P(\{1\})=1-p$, akkor Bernoulli-mezőről van szó.

Poisson-eloszlásból származtatott

A természetes számok halmaza, mint eseménytér, azaz $\mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}$, minden természetes szám lehetséges kimenetel.

Az események ennek véges vagy megszámlálható végtelen részhalmazai.

Valószínűségi mérték lehet a $P_{\lambda }$ Poisson-eloszlás. A $\{k\}$ szám valószínűsége $P_{\lambda }(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }$, ahol $\lambda$ pozitív paraméter.

Ezzel $(\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),P_{\lambda })$ diszkrét valószínűségi tér.

Geometriai valószínűségi mező

Legyen $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ olyan Lebesgue mérhető halmaz, amelynek Lebesgue-mértéke $\lambda (\Omega )$ véges, ${\mathcal {A}}={\mathcal {L}}(\Omega )$ az $\Omega$ halmaz Lebesgue mérhető részhalmazainak $\scriptstyle \sigma$-algebrája és minden $A\in {\mathcal {L}}(\Omega )$ esemény esetén $P(A)={\frac {\lambda (A)}{\lambda (\Omega )}}$. Ekkor az $(\Omega ,{\mathcal {L}}(\Omega ),P)$ valószínűségi mezőt geometriai valószínűségi mezőnek nevezzük.

Exponenciális eloszlásból származtatott

Az eseménytér a nemnegatív számok $\Omega =\mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty )$ halmaza.

Az események az $\Omega =\mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty )$ Borel-részhalmazai, azaz ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\cap [0,\infty )={\mathcal {B}}([0,\infty ))$. Ezzel minden nyílt, zárt, félig nyílt intervallum, ezek egyesítése, metszete és komplementere esemény.

Valószínűségi mérték lehet az exponenciális eloszlás, ami minden $A$ Borel-halmazhoz a

$P_{\mathrm {Exp} (\lambda )}(A)=\int _{A}\lambda \exp(-\lambda x)\mathrm {d} x$

valószínűséget rendeli, ahol $\lambda >0$ paraméter.

Ezzel $([0,\infty ),{\mathcal {B}}([0,\infty )),P_{\mathrm {Exp} (\lambda )})$ valószínűségi mező.

További példák

• Indukált valószínűségi mező, ami egy valószínűségi változó képtere, ellátva a valószínűségi változó eloszlásával mint valószínűséggel.
• Teljes valószínűségi mező, teljes mértéktér a valószínűséggel mint mértékkel.
• Szorzattér
• Szűrt valószínűségi mező, valószínűségi mező szűrővel.

Kapcsolódó szócikkek

• Valószínűségi változó

Források

• V.V. Sazonov: Probability space
• Weisstein, Eric W.: Probability Space (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7 
• Norbert Henze. Stochastik für Einsteiger., 10., Wiesbaden: Springer Spektrum (2013, isbn=978-3-658-03076-6,) 
• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
• Klaus D. Schmidt. Maß und Wahrscheinlichkeit, 2., átnézett, Heidelberg Dordrecht London New York: Springer-Verlag (2011). ISBN 978-3-642-21025-9 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Wahrscheinlichkeitsraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.