Független halmazrendszerek

A valószínűségszámításban a halmazrendszerek függetlensége az események függetlenségének általánosítása, és segíti a valószínűségi változók függetlenségének definiálását. Emiatt a független halmazrendszerek a valószínűségszámítás alapfogalmai közé tartoznak, és fontos tételek feltételei is tartalmazzák.

Definíció

Adva legyen az $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ valószínűségi tér, vagyis egy ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ σ-algebra az $\Omega$ alaphalmazon, és egy $P\colon {\mathcal {A}}\to [0;1]$ valószínűségi mérték. Legyen a továbbiakban $I$ tetszőleges indexhalmaz és minden $i\in I$ indexhez tartozzon egy ${\mathcal {E}}_{i}\subseteq {\mathcal {A}}$ adott halmazrendszer.

Az $({\mathcal {E}}_{i})_{i\in I}$ halmazrendszerek függetlenek, ha $J\subset I$ minden véges $(E_{j})_{j\in J}$ részhalmazára az $\forall j\in J\colon E_{j}\in {\mathcal {E}}_{j}$ események függetlenek, vagyis

$P\left(\bigcap _{j\in J}E_{j}\right)=\prod _{j\in J}P(E_{j})$.

Példák

Legyen ${\mathcal {E}}_{1}=\{A\}$ és ${\mathcal {E}}_{2}=\{B\}$, ekkor a halmazrendszerek függetlenek, ha az $A$ és $B$ események függetlenek. Ekkor $I=\{1,2\}$, elég csak az $J=\{1\},J=\{2\}$ és $J=I=\{1,2\}$ eseteket vizsgálni. Az $J=\emptyset$ eset triviális.

1. Ha $J=\{1\}$, akkor $E_{1}=A$ esetén mindig $P\left(\bigcap _{j\in \{1\}}E_{j}\right)=P(A)=\prod _{j\in \{1\}}P(E_{j})$, mivel a halmazrendszer egyelemű. Tehát a kijelentés mindig igaz. Hasonlóan következik $J=\{2\}$.
2. Ha $J=I=\{1,2\}$, akkor a halmazrendszerek egyeleműsége miatt ($E_{1}=A,E_{2}=B$)

$P(E_{1}\cap E_{2})=P(A\cap B)=P(A)P(B)=P(E_{1})P(E_{2})$

az $A$ és $B$ események függetlensége miatt.

Általában, ha $(A_{i})_{i\in I}$ események egy családja és halmazrendszerek egy családját úgy definiáljuk, hogy minden $i\in I$-hez egy egyelemű ${\mathcal {E}}_{i}=\{A_{i}\}$ halmazrendszer tartozik, akkor a halmazrendszerek családja független, ha az események családja független. Ezt az ekvivalenciát használják események függetlenségének bizonyítására.

Egy ${\mathcal {O}}$ σ-algebra egy valószínűségi mezőn P-triviális, ha minden $A\in {\mathcal {O}}$ esetén vagy $P(A)=0$ vagy $P(A)=1$. A P-triviális σ-algebrák minden halmazrendszertől függetlenek. Ekkor $A\in {\mathcal {O}}$ és $P(A)=0$, így $P(A\cap B)=0=P(A)\cdot P(B)$ egy másik ${\mathcal {M}}$ halmazrendszer tetszőleges $B$ elemére. Ugyanígy $P(A\cap B)=1\cdot P(B)$ is teljesül, ha $P(A)=1$. Tehát ${\mathcal {O}}$ és ${\mathcal {M}}$ független.

Tulajdonságai

Ha $(I_{k})_{k\in K}$ az $I$ diszjunkt felosztása (vagyis $I_{k'}\cap I_{k^{*}}=\emptyset$ minden $k',k^{*}\in K,k'\neq k^{*}$ esetén, és $\bigcup _{k\in K}I_{k}=I$) és az $({\mathcal {E}}_{i})_{i\in I}$ halmazrendszerek családjai függetlenek, akkor az

$\left(\bigcup _{i\in I_{k}}{\mathcal {E}}_{i}\right)_{k\in K}$

halmazrendszerek családja is független.

Véges $I$ esetén: Ha minden halmazrendszer tartalmazza az $\Omega$ alaphalmazt, akkor éppen akkor függetlenek, ha

$P\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)=\prod _{i\in I}P(E_{j})$

minden $E_{i}\in {\mathcal {E}}_{i}$ esetén. Ekkor elegendő a definiáló egyenlőséget csak a teljes indexhalmazra vizsgálni. A $J\subset I$ esetekben az egyenlőség automatikusan következik, $i\in I\setminus J$ esetén $E_{i}=\Omega$ választással.

Ha minden $i\in I$-re az ${\mathcal {E}}_{i}\cup \{\emptyset \}$ halmazrendszer metszetstabil, akkor $({\mathcal {E}}_{i})_{i\in I}$ pontosan akkor független, ha a generált $(\sigma ({\mathcal {E}}_{i}))_{i\in I}$ σ-algebrák függetlenek.

Alkalmazása

A független halmazrendszereket arra használják, hogy a függetlenséget átvigyék véletlen változókra. Legyen $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ valószínűségi tér, és $(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1}),(\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})$ mértékterek. Adva legyen továbbá $X_{1},X_{2}$ $\Omega$-ból $\Omega _{1}$-be illetve $\Omega _{2}$-be. Ha a véletlen valószínűségi változók által generált kezdeti σ-algebrák független halmazrendszerek, akkor a valószínűségi változók is függetlenek. Ez általánosítható valószínűségi változók családjára is.

Valószínűségi változók és halmazrendszerek függetlensége

A feltételes várható értékhez kapcsolódóan szó lehet valószínűségi változó és halmazrendszer függetlenségéről. Legyen $X$ valószínűségi változó, ${\mathcal {E}}$ halmazrendszer. Ezek akkor függetlenek, ha ${\mathcal {E}}$ és $\sigma (X)$ kezdeti σ-algebrája független a fenti értelemben.

Általánosítása

A σ-algebrák függetlensége a feltételes várható érték segítségével kiterjeszthető feltételes függetlenséggé. Ez szintén átvihető valószínűségi változókra.

Források

• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Unabhängige Mengensysteme című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.