Félnorma

A $p(x,y)=|x-y|$ függvény félnorma az $\mathbb {R} ^{2}$ téren

A matematikában a félnorma egy abszolút homogén, szubadditív funkcionál. A félnorma általánosítja a norma fogalmát, lemondva a pozitív definitségről. A félnormák nemnegatívak, szimmetrikusak az előjel-változtatásra, szublineárisak és konvexek. Maradékosztály-képzéssel a félnormából egy hozzátartozó norma származtatható. Félnormák családjával lokálisan konvex terek definiálhatók. A lineáris algebra és a funkcionálanalízis foglalkozik félnormákkal.

Definíció

Legyen $V$ vektortér a $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ test fölött; ekkor egy $p\colon V\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ leképezés félnorma a $V$ vektortéren, ha abszolút homogén és szubadditív, ami azt jelenti, hogy minden $\lambda \in \mathbb {K}$ skalárra és minden $x,\,y\in V$ vektorra:

$p(\lambda x)=|\lambda |p(x)$   (abszolút homogenitás)

és

$p(x+y)\leq p(x)+p(y)$   (szubadditivitás),

ahol $|\cdot |$ a skalár abszolútérték. Egy félnormával ellátott vektortér félnormált tér.

Példák

• Minden norma félnorma is, ami még pozitív definit is.
• A $p\equiv 0$ nullfüggvény, ami minden vektorhoz 0-át rendel.
• Egy valós vagy komplex értékű lineáris leképezés abszolútértéke.
• Valós esetben minden pozitív definit szimmetrikus bilineáris forma, komplex esetben minden hermitikus szeszkvilineáris forma a $p(x):={\sqrt {(x,x)}}$ mennyiségekkel félnormát indukál. Ez a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségen múlik, amiből a szubadditivitás levezethető.
• Ha $X$ topologikus tér, és $K\subset X$ kompakt halmaz, akkor $\textstyle p_{K}(f):=\sup _{x\in K}|f(x)|$ félnorma az $X\rightarrow \mathbb {C}$ folytonos függvények terén. Ez azért teljesül, mert kompakt halmazon folytonos függvény korlátos, így szuprémuma véges.
• Egy vektortér $U$ abszorbeáló, abszolút konvex részhalmazához definiált $p_{U}$ Minkowski-funkcionál.
• Egy normált tér $X^{*}$ duális terén definiált $p_{x}(\varphi )=|\varphi (x)|$ félnorma minden $x\in X$ és $\varphi \in X^{*}$ esetén.
• A korlátos lineáris funkcionálok ${\mathfrak {L}}(X,Y)$ halmazán $p_{x}(T)=\|Tx\|$ ($x\in X$) és $p_{x,\psi }(T)=|\psi (Tx)|$ ($x\in X,\psi \in Y^{*}$) félnormát definiál.

Tulajdonságok

A $\lambda =0$ helyettesítéssel azonnal kapjuk, hogy

$p(0)=0$,

tehát a nullvektor félnormája nulla. A normától eltérően egy $x\neq 0$ vektor félnormája is lehet nulla. Az $y=-x$ helyettesítéssel és a szubadditivitásból vagy a háromszög-egyenlőtlenségből és az abszolút homogenitásból következik, hogy

$p(x)\geq 0$

minden $x\in V$ vektorra. A $\lambda =-1$ helyettesítéssel látszik, hogy szimmetrikus az előjelváltásra, vagyis

$p(x)=p(-x)$

és az $x-y+y$ vektorokra alkalmazva a háromszög-egyenlőtlenséget következik a megfordított háromszög-egyenlőtlenség:

$|p(x)-p(y)|\leq p(x-y)$.

Továbbá a félnorma szublineáris, mivel az abszolút homogenitásból következik a pozitív homogenitás, és konvex is, mivel minden $0\leq t\leq 1$ valós számra

$p(tx+(1-t)y)\leq p(tx)+p((1-t)y)=tp(x)+(1-t)p(y)$.

Megfordítva, minden abszolút homogén konvex függvény szubadditív, így félnorma, ami látható a $t={\tfrac {1}{2}}$ helyettesítéssel és $2$-vel szorzással.

Maradékosztály-képzés

Az abszolút homogenitásból és a szubadditivitásból következik, hogy a

$Z=\{x\in V\colon p(x)=0\}$

halmaz, azaz a nulla félnormájú vektorok halmaza altér $V$-ben. Emiatt definiálható a $V$ vektortérben az

$x\sim y:\Longleftrightarrow x-y\in Z$

ekvivalenciareláció. Ennek az ekvivalenciarelációnak az osztályai alkotják a ${\tilde {V}}$ vektorteret, ahol a $p$ félnorma norma. Ez a módszer maradékosztály-képzés a félnormára, és ${\tilde {V}}$ megegyezik a $V/Z$ faktortérrel. Ezt a konstrukciót használják például az L^p-tér konstrukciójánál.

Félnormák családja

A funkcionálanalízisben a lokálisan konvex terek konstrukciójában többek között félnormák $(p_{i})_{i\in I}$ családját is vizsgálják. Ezzel a kiindulási $V$ vektortéren topológia definiálható, amivel topologikus teret kapunk. Ebben a topológiában egy $U\subset V$ halmaz nyílt, ha minden $x\in U$-hoz van $\epsilon >0$, és véges sok $i_{1},\ldots ,i_{r}$ index, hogy

$p_{i_{j}}(y)<\epsilon ,\,j=1,\ldots ,r\Rightarrow x+y\in U$, minden $y\in V$-re.

Ebben az összefüggésben egy bizonyos szétválasztási tulajdonság külön érdeklődést kap. Félnormák egy $(p_{i})_{i\in I}$ családja szétválasztó, ha minden $x\in V\setminus \{0\}$-hez van legalább egy $p_{i}$ félnorma úgy, hogy $p_{i}(x)\neq 0$. Félnormák egy családja pontosan akkor szétválasztó, ha az így $V$-n definiált topológia Hausdorff. Egy ilyen topologikus tér lokálisan konvex.

Gelfand egy tétele

Gelfand következőkben tárgyalt tétele egy 1936-os cikkében jelent meg.

Állítás: Adva legyen egy valós normált $(X,\|\cdot \|)$ vektortér, és egy $p\colon X\to [0,+\infty ]$ numerikus függvény, ami rendelkezik a félnorma fenti tulajdonságaival. Továbbá legyen $p$ alulról félig folytonos, és legyen $X$-ben egy $K\subset X$ második kategóriájú halmaz, úgy, hogy ha $x\in K$, akkor $p(x)<+\infty$.

Ekkor van egy $M>0$ konstans úgy, hogy $p(x)\leq M\,\|x\|$ minden $x\in X$-re.

Források

• Izrail M. Gelfand. Sur le lemme de la théorie des espaces linéaires (francia nyelven), 35–40. o. (1936) 
• L. W. Kantorowitsch, G. P. Akilow. [MR0458199 Funktionalanalysis in normierten Räumen. In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. P. Heinz Müller, Technische Universität Dresden. Übersetzt aus dem Russischen von Heinz Langer, Dresden, und Rolf Kühne, Dresden]. Thun / Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch (1978) 
• Walter Rudin. [MR1157815 Functional Analysis], 2. (angol nyelven), New York: McGraw-Hill (1991) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Halbnorm című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.