Funkcionál

A matematikában, különösen a funkcionálanalízis területén, hagyományosan funkcionálnak nevezzük azokat a függvényeket, melyek vektortérből képeznek a vektortér alaptestére, népszerűen fogalmazva a skalár-értékű vektorfüggvényeket. Az analízisben igen természetesen fordul elő függvények vektortere, ahol a funkcionál mint függvények függvénye manifesztálódik. A funkcionálok használata a variációszámításból ered, ahol azokat a függvényeket keresik, amiken egy bizonyos funkcionál a minimumát veszi fel. Különösen fontos alkalmazása - és nem kevésbé tipikus - a fizikában, amikor egynémely rendszer olyan állapotát keressük, amely minimalizálja a rendszer hatását.

Definíció

$F\,$ pontosan akkor funkcionál, ha létezik $V\,\,\mathbb {K}$ feletti vektortér, hogy $F\in \mathbb {K} ^{V}$ , ahol $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R,\,C} \}$ . $F\,$ funkcionál akkor lineáris, ha bármely $V\ni x,y$ -ra és $\lambda \in \mathbb {K}$ -ra $F(x+y)=F(x)+F(y)\,$ , és $F(\lambda x)=\lambda F(x)\,$ .

Talán pontatlanabbul, de nem csak matematikusoknak érthetően: a funkcionál olyan függvény, amely függvényhez számot rendel. (Ezzel szemben a (szűkebb értelemben vett) függvény olyan függvény, amely számhoz számot, elemhez elemet, az operátor pedig olyan függvény, amely függvényhez függvényt rendel.) Ne tévesszen meg a függvény szó kétféle használata; a többi név speciálisabb.

Példák

Határozott integrál

A Riemann-integrálható függvények teréből értelmezett lineáris funkcionál az intervallumon vett határozott integrál:

f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\,dx

.

Algebrai duális

Legyen $V\,$ vektortér $\mathbb {K}$ felett. $V\,$ algebrai duálisa, $V^{*}\,$ , a $V\,$ -ből $\mathbb {K}$ -ba ható lineáris funkcionálok a tere. Ekkor