Csillagsokszög
Csillagsokszöget olyan zárt töröttvonal alkot a síkban, ami metszi saját magát. Emiatt a tulajdonsága miatt sokszor nem is tekintik sokszögnek. Vannak szabályos csillagsokszögek is; sokszor ezeket nevezik csillagsokszögnek, mert csak ezeket tanulmányozták részletesebben.
Szabályos csillagsokszög
[szerkesztés]A sík véges sok egymáshoz csatlakozó szakasza szabályos csillagsokszöget alkot, ha bármelyik szakasz alkalmas egybevágósággal bármelyik szakaszba átvihető úgy, hogy közben az egész alakzat önmagába megy át. A szabályos sokszögeket – bár e feltételt kielégítik – nem nevezzük csillagsokszögeknek. Ilyen csillagsokszöget alkot egy szabályos sokszög azon átlóinak összessége, amelyek a középponttól (zérustól különböző) egyenlő távolságra vannak. Általánosabb csillagsokszöget kapunk akkor, ha egy szabályos sokszög csúcsait – egyesek bizonyos szabály szerinti elhagyásával – az összes nem szomszédos többi csúccsal összekötjük.
Tulajdonságok
[szerkesztés]- Egy adott oldalszámhoz több szabályos csillagsokszög is lehet; például kilencoldalú szabályos sokszög minden második, vagy minden negyedik csúcsát összekötve szintén szabályos csillagkilencszöget kapunk. A csúcsok távolságának és az oldalszámnak relatív prímeknek kell lenniük. Ekkor a csillagsokszög Schläfli-szimbóluma a csúcsszám/csúcsok távolsága.
- Az {n/k} szimbólumú szabályos csillagsokszög szimmetriacsoportja a 2n rendű Dn, k-tól függetlenül.
- Egyes matematikusok területet tulajdonítanak a csillagsokszögeknek. Ehhez a háromszögeléses módszert használják. Kijelölnek egy pontot a sokszögben, és összekötik a sokszög csúcsaival; ezzel kész a háromszögelés. Az így kapott háromszögek területét összeadják, ügyelve arra, hogy a sokszöggel ellentétes irányítású háromszögek területét negatívnak vegyék.
- Az előbbi területszámítás multiplicitással tekinti a csillagsokszög belsejét. Ezen kívül lehet a belsőt paritási alapon tekinteni. Ekkor a csillagötszög kétszer számolt belső ötszöge a sokszög külsejéhez tartozik, és így a terület is kisebb lesz.
- Azok, akik poliédereket modelleznek, a belső élek nélkül építik meg a csillagsokszög alakú lapokat.
- A szabályos csillagsokszögek a véges csoportok mellékosztályainak diagramjának tekinthetők a csoportban.
Példák
[szerkesztés]
{5/2}
{7/2}
{7/3}
{8/3}
{9/2}
{9/4}
{10/3}
Nem szabályos csillagsokszögek
[szerkesztés]
Nem minden csillagsokszög szabályos. Nem szabályos, de körbe írható csillagsokszögek például egyes félig szabályos testek csúcsalakzatai. Ezt az egy csúcs körüli lapok sorrendje határozza meg, amiben lehetséges mind a visszafelé haladás, mind a többszörös körüljárás.[1]
Egy másik példa egy olyan hatszögű alakzat, amiben két konkáv deltoid fonódik össze.
Általánosítás
[szerkesztés]
Ha a sokszög csúcsszáma és a csúcsok távolsága nem feltétlenül relatív prím, akkor a csillagsokszögek általánosításaként csillagalakzatokhoz jutunk. Ha a legnagyobb közös osztó egynél nagyobb, akkor több, egymáshoz képest elforgatott kisebb oldalszámú csillagsokszöghöz jutunk. Ezekre ugyanúgy az {n/m} jelölést használják, mint a csillagsokszögekre. Grünbaum (1994) javasolta az m{n} jelölést. Ezzel k csillagsokszög együttese k{n/m}. Ennek előnye, hogy például két csillagötszög együtt 2{5/2} írható, amiből azonnal látszik, hogy miről van szó, míg ez a {10/4} jelölés esetén rejtve marad.
Az Izrael zászlaján megjelenő hexagramma a szabályos hatszöghöz hasonlóan szerkeszthető.
Ha az alakzatban a szemben fekvő csúcsokat kötjük össze, akkor elfajult csillagsokszöghöz jutunk. Ez az alakzat n/2 egyenesszakaszból áll.
A kultúrában és a művészetben
[szerkesztés]A csillagalakzatok fontos szerephez jutnak a kultúrában és a művészetben. Lehetnek szabályosak, vagy szabálytalanok, de ezek az alakzatok mind nagy szimmetriával bírnak.
- A csillagötszög {5/2} pentagrammaként ismert. Sok vallási vagy mágikus kultusz, az okkultizmus jelképe.
- A {6/2} alakzat a Dávid-csillag.
- A {7/3} és a {7/2} heptagrammák szintén az okkultizmushoz kapcsolódnak. A kabbala és a wicca hagyomány is használja.
- A {8/2} alakzat hindu jelkép.
- A {8/3} csillagsokszög és a {16/6} összetett csillagalakzat a mogul művészet kedvelt motívumai.
- Egy összetett enneagramma titkos társaságok jelképe volt. Gurdjieff az alapvető univerzális kozmikus törvényekről szóló tanításaiban használta.
- Egy tizenegy pontú csillag jelenik meg Nemat Ollah Vali sah sírkövén.
Egyes szimbólumok önmagába fonódva ábrázolják az alakzatot, esetleg több színt használnak.
 |
.svg) |
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954 (Tables 6-8)
Források
[szerkesztés]- Matematikai kislexikon, Műszaki könyvkiadó
- Bizonyítások és cáfolatok
- A Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok cikke a csillagsokszögekről
- Cromwell, P.; Polyhedra, CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2. Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5.
- Grünbaum, B. and G. C. Shephard; Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1.
- Grünbaum, B.; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993), ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994) pp. 43–70.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 404: Regular star-polytopes Dimension 2)
- Csillagsokszögek és általánosításaik a MathWorldnél
- Csillagsokszögek - java applet