Schläfli-szimbólum

A geometriában a Schläfli-szimbólum sokszögeket, poliédereket és magasabb dimenziós politópokat, parkettázásokat, térkitöltéseket ír le. A svájci Ludwig Schläfli után nevezték el.

Alakja $\left\{p,q,r,\dots \right\}$ , ahol, ha ${p}$ egész, akkor egy megfelelő oldalszámú sokszöget jelöl. Ha tört, akkor egy csillagsokszöget jellemez, ahol a számláló a csúcsok számát, a nevező pedig azt adja meg, hogy körbemenve hányadik pontokat kell összekötni.

A Schläfli-szimbólumban szereplő számok sorrendjének megfordítása az eredetileg leírt objektum duálisát írja le.

Definíció

A Schläfli-szimbólum egy rekurzív leírás, ami a $\left\{p\right\}$ sokszögből indul ki. A $\left\{p,q\right\}$ szimbólumban q azt adja meg, hogy a p sokszögből hány találkozik egy csúcsban. Ha egy négy dimenziós politópban minden él körül r $\left\{p,q\right\}$ szimbólumú poliéder találkozik, akkor Schläfli-szimbóluma $\left\{p,q,r\right\}$ , és így tovább. A poliédereknek lehetnek csillagsokszög lapjaik is.

A $\left\{p,q,r,...,y,z\right\}$ szabályos politóp lapjának Schläfli-szimbóluma $\left\{p,q,r,\dots ,y\right\}$ . Ugyanennek a poliédernek a csúcsalakzata $\left\{q,r,\dots ,y,z\right\}$ .

A poliédereknek lehetnek csillagsokszög lapjaik is.

A szimbólum reprezentálhat véges sokszöget, poliédert, politópot, vagy euklideszi vagy hiperbolikus szabályos parkettát vagy térkitöltést a defektusától^{[* 1]} függően. Ha a defektus pozitív, akkor lapok felhajtogathatók az eggyel magasabb dimenziós térbe, így politópot alkothatnak. A nulla defektus azt jelzi, hogy az illeszkedő lapok kitöltik az adott dimenziójú euklideszi teret. A negatív defektus nem lehetséges az euklideszi térben, de a hiperbolikus térben már igen.

A csúcsalakzatot többnyire véges politópnak fogják fel, de néha érdemesebb parkettázásnak vagy térkitöltésnek tekinteni.

A szabályos politópok duálisainak Schläfli-szimbóluma megegyezik az eredeti Schläfli-szimbólum megfordításával. Az önduális politópok Schläfli-szimbóluma így szimmetrikus.

Szimmetriacsoportok

A Schläfli-szimbólum szorosan kapcsolódik az azonos indexű tükörszimmetrikus csoportokhoz, amelyeket Coxeter-csoportoknak is neveznek, és szögletes zárójelbe tesznek. Így a [3,3] Coxeter-csoport a tetraéder, a [3,4] az oktaéder, és [3,5] az ikozaéder tükörszimmetriái által generált csoport jele.

Példák

Sokszögek és csillagsokszögek

$\left\{n\right\}$ egy $n$ -szög.

$\left\{5/2\right\}$ a pentagramma .

$\left\{7/2\right\}$ és $\left\{7/3\right\}$ rendre a és heptagrammák jele.

Mindezek az alakzatok önduálisak.

Szabályos testek

A szabályos testek Schläfli-szimbólumai: $\left\{3,3\right\}$ az önduális tetraéder.

$\left\{3,4\right\}$ az oktaéder, a megfordított $\left\{4,3\right\}$ az oktaéder duálisa, a kocka.

$\left\{3,5\right\}$ az ikozaéder, a megfordított $\left\{5,3\right\}$ az ikozaéder duálisa, a dodekaéder.

Platóni parketták

$\left\{3,6\right\}$ a háromszögparketta, az $\left\{6,3\right\}$ inverz ennek a duálisa, a hatszögparketta.

$\left\{4,4\right\}$ az önduális négyzetparketta.

Kepler-Poinsot-testek

A Kepler-Poinsot-testek Schläfli-szimbólumai: $\left\{3,5/2\right\}$ a nagy ikozaédert, az $\left\{5/2,3\right\}$ inverziója a duálisát, a nagy csillagdodekaédert írja le.

$\left\{5,5/2\right\}$ a nagy dodekaédert, az $\left\{5/2,5\right\}$ inverzió a duálisát, a kis csillagdodekaédert jellemzi.

Négy dimenziós szabályos politópok

$\left\{3,3,3\right\}$ a pentakhoron,

$\left\{4,3,3\right\}$ a tesszerakt (négy dimenziós hiperkocka), $\left\{3,3,4\right\}$ duálisa pedig a hexadekakhor néven is ismert szabályos 16-cellát jellemzi.

$\left\{3,4,3\right\}$ az önduális szabályos 24-cella, másként az ikozitetrakhor.

$\left\{5,3,3\right\}$ a 120-cella, $\left\{3,3,5\right\}$ inverziója a szabályos 600-cella.

Magasabb dimenzióban

Magasabb dimenzióban a politóp Schläfli-szimbóluma {p₁, p₂, ..., p_n − 1}, ha lapjainak Schläfli-szimbóluma {p₁,p₂, ..., p_n − 2}, és csúcsalakzatának Schläfli-szimbóluma {p₂,p₃, ..., p_n − 1}.

Egy szabályos politóp lapjának csúcsalakzata és csúcsalakzatának lapja ugyanaz: {p₂,p₃, ..., p_n − 2}.

Négynél magasabb dimenzióban dimenziónként három szabályos politóp van: {3,3,3,...,3} a szimplex; {3,3, ..., 3,4} a keresztpolitóp; és {4,3,3,...,3} a hiperkocka. Konkáv szabályos politópok nincsenek ezekben a dimenziókban.

Uniform prizmák

Az uniform prizmák alacsonyabb dimenziós szabályos politópok Descartes-szorzatai:

p-gonális prizma: a p.4.4 csúcsalakzatú politóp definiálható, mint { } × {p}, ahol { } a szakasz.
{p,q}-éderes prizma: a { } × {p,q} szorzat.
p-q duoprizma: {p} × {q}.

Általánosításai

Coxeter a kváziszabályos poliéderekre is kiterjesztette a Schläfli-szimbólumot a csúcsok dimenziójának jelölésével. Ez lett a még általánosabb Coxeter-Dynkin diagram kiindulópontja. Norman Johnson egyszerűsítette a jelölést azzal, hogy a csúcsszimbólumokra bevezette az r prfixet. A t jelölés a legáltalánosabb, és közvetlenül megfelel a Coxeter-Dynkin diagram gyűrűinek. Mindegyik szimbólumnak van alternációja, ahol a Coxeter-Dynkin diagramon a gyűrűket lyukak helyettesítik a h prefixszel. Ez a változtatás csak bizonyos feltételekkel vihető végbe.

Forma	Kiterjesztett Schläfli-szimbólumok			Szimmetria
Szabályos	${\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	{p,q}	t₀{p,q}	[p,q] vagy [(p,q,2)]	Kocka
Csonkított	$t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	t{p,q}	t_0,1{p,q}		Csonkított kocka
Bicsonkítás (Csonkított duális)	$t{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	2t{p,q}	t_1,2{p,q}		Csonkított oktaéder
Rektifikált (Kváziszabályos)	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	r{p,q}	t₁{p,q}		Kuboktaéder
Birektifikáció (Szabályos duális)	${\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	2r{p,q}	t₂{p,q}		Oktaéder
Cantellated (A rektifikált rektifikáltja)	$r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	rr{p,q}	t_0,2{p,q}		Rombikuboktaéder
Élcsonkított (A csonkított rektifikáltja)	$t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	tr{p,q}	t_0,1,2{p,q}		Csonkított kuboktaéder
Alternációk
Alternált szabályos (p páros)	$h{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	h{p,q}	ht₀{p,q}	[1⁺,p,q]	Demikocka (Tetraéder)
Snub szabályos (q páros)	$s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	s{p,q}	ht_0,1{p,q}	[p⁺,q]
Snub duális szabály (p páros)	$s{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	s{q,p}	ht_1,2{p,q}	[p,q⁺]	Snub oktaéder (Ikozaéder)
Alternált duális szabályos (q páros)	$h{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	h{q,p}	ht₂{p,q}	[p,q,1⁺]
Alternált rektifkált (p és q is páros)	$h{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	hr{p,q}	ht₁{p,q}	[p,1⁺,q]
Alternált rektifikált rektifikált (p és q is páros)	$hr{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	hrr{p,q}	ht_0,2{p,q}	[(p,q,2⁺)]
Quarter (p és q is páros)	$q{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	q{p,q}	ht₀ht₂{p,q}	[1⁺,p,q,1⁺]
Snub rektifikált Snub kváziszabályos	$s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	sr{p,q}	ht_0,1,2{p,q}	[p,q]⁺	Snub kuboktaéder (Snub kocka)

Négy dimenzióban

Linear families
Forma	Kiterjesztett Schläfli-szimbólum
Szabályos	${\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	{p,q,r}	t₀{p,q,r}	Tesszerakt
Csonkított	$t{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	t{p,q,r}	t_0,1{p,q,r}	Csonkított tesszerakt
Rektifikált	$\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	r{p,q,r}	t₁{p,q,r}	Rektifikált tesszerakt	=
Bicsonkított		2t{p,q,r}	t_1,2{p,q,r}	Bicsonkított tesszerakt
Birektifikált (rektifikált duális)	$\left\{{\begin{array}{l}q,p\\r\end{array}}\right\}$	2r{p,q,r} = r{r,q,p}	t₂{p,q,r}	Rektifikált 16-cella	=
Tricsonkított (Csonkított duális)	$t{\begin{Bmatrix}r,q,p\end{Bmatrix}}$	3t{p,q,r} = t{r,q,p}	t_2,3{p,q,r}	Bicsonkított tesszerakt
Trirektifikált (Dual)	${\begin{Bmatrix}r,q,p\end{Bmatrix}}$	3r{p,q,r} = {r,q,p}	t₃{p,q,r} = {r,q,p}	16-cella
Cantellált	$r\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	rr{p,q,r}	t_0,2{p,q,r}	Cantellált tesszerakt	=
Élcsonkított	$t\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	tr{p,q,r}	t_0,1,2{p,q,r}	Élcsonkított tesszerakt	=
Runcinált (kiterjesztett)	$e{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	e{p,q,r}	t_0,3{p,q,r}	Runcinált tesszerakt
Runcicsonkított			t_0,1,3{p,q,r}	Runcicsonkított tesszerakt
Omnicsonkított			t_0,1,2,3{p,q,r}	Omnicsonkított tesszerakt
Alternációk
Fél p páros	$h{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	h{p,q,r}	ht₀{p,q,r}	16-cella
Negyed p és r páros	$q{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	q{p,q,r}	ht₀ht₃{p,q,r}
Snub q páros	$s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	s{p,q,r}	ht_0,1{p,q,r}	Snub 24-cella
Snub rectifikált r páros	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	sr{p,q,r}	ht_0,1,2{p,q,r}	Snub 24-cella	=
Alternált omnicsonkítás			ht_0,1,2,3{p,q,r}	Nagy duoantiprizma

Bifurkáló családok
Forma	Kiterjesztett Schläfli-szimbólum
Kváziszabályos	$\left\{p,{q \atop q}\right\}$	{p,q^1,1}	t₀{p,q^1,1}	16-cella
Csonkított	$t\left\{p,{q \atop q}\right\}$	t{p,q^1,1}	t_0,1{p,q^1,1}	Csonkított 16-cella
Rektifikált	$\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	r{p,q^1,1}	t₁{p,q^1,1}	24-cella
Cantellált	$r\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	rr{p,q^1,1}	t_0,2,3{p,q^1,1}	Cantellált 16-cella
Élcsonkított	$t\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	tr{p,q^1,1}	t_0,1,2,3{p,q^1,1}	Élcsonkított 16-cella
Snub rectifikált	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	sr{p,q^1,1}	ht_0,1,2,3{p,q^1,1}	Snub 24-cella
Kváziszabályos	$\left\{r,{p \atop q}\right\}$	{r,/q\,p}	t₀{r,/q\,p}
Csonkított	$t\left\{r,{p \atop q}\right\}$	t{r,/q\,p}	t_0,1{r,/q\,p}
Rektifikált	$\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	r{r,/q\,p}	t₁{r,/q\,p}
Cantellált	$r\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	rr{r,/q\,p}	t_0,2,3{r,/q\,p}
Élcsonkított	$t\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	tr{r,/q\,p}	t_0,1,2,3{r,/q\,p}
snub rektifikált	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\r\end{array}}\right\}$	sr{p,/q,\r}	ht_0,1,2,3{p,/q\,r}

Jegyzetek

↑ Azaz mennyi az összes eltérés a várt 180˚-tól.

Források

Coxeter: Regular Polytopes (pp. 14, 69, 149) [1]
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Schläfli-Symbol című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Ez a szócikk részben vagy egészben a Schläfli symbol című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[1] Azaz mennyi az összes eltérés a várt 180˚-tól.

[* 1]