Ív (geometria)

A zöld színnel megjelölt rész egy körcikk. Az L hosszúságú határoló görbe egy körív.

Az euklideszi geometriában az ív (jele: ⌒) egy differenciálható görbe zárt darabja. Egy szokványos példa a síkban (kétdimenziós sokaság) a körvonal egy darabja, a körív. Ha az ív egy főkör (vagy fő ellipszis) darabja a térben, főívnek nevezzük.

Minden két különböző pont két ívet határoz meg egy körvonalon. Ha a két pont nem pontosan átellenben van egymással, akkor az egyik ív kisebb, és a hozzá tartozó középponti szög kisebb, mint $\pi$ radián (180°), a másik ív pedig nagyobb, és a hozzá tartozó szög is nagyobb, mint $\pi$ radián.

Körív

Körív hossza

Egy kör ívének hossza (pontosabban ívhossza) megadható az ív θ középponti szögének (radiánban mérve) és az r hosszúságú szögszárak (sugarak) által bezárt szög szorzataként:

$L=\theta r$.

Ez abból az aránypárból következik, hogy

${\frac {\hbox{ív}}{\hbox{kerület}}}={\frac {\hbox{szög}}{\hbox{teljes szög}}}$.

A kerületet és a teljes szög behelyettesítve azt kapjuk, hogy

${\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }}$.

ezt átrendezve kapjuk a fenti $L=\theta r$ egyenlőséget.

Ha a szöget nem radiánban mérjük, hanem fokban, akkor a harmadik egyenlet a következő alakú lesz:

${\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\alpha }{360^{\circ }}}$.

ezt átrendezve kapjuk, hogy

$L={\frac {\alpha \pi r}{180^{\circ }}}$.

Példa

Ha a szög 60°-os és a kerület 24 egység, akkor

${\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\360L&=1440\\L&=4.\end{aligned}}$

Ez abból következik, hogy a kör kerülete és a középponti szöge – ami mindig 360° – egyenes arányban állnak.

Egy felső félkör a következőképpen paraméterezhető:

$y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.$

Ekkor az ívhossz $x=a$-tól $x=b$-ig

$L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}_{a}^{b}.$

Ívhez tartozó körcikk területe

Egy ív és a kör középpontja által meghatározott terület (amit az ív és a két végpontjába húzott sugár határol):

$A={\frac {r^{2}\theta }{2}}.$

Az A terület úgy aránylik a kör területéhez, mint a θ szög egy teljes körbeforduláshoz:

${\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.$

$\pi$-vel egyszerűsítve:

${\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta }{2}}.$

$r^{2}$-tel beszorozva mindkét oldalt kapjuk az alábbi végeredményt:

$A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .$

A fenti átváltást használva egy fokban kifejezett középponti szöghöz tartozó körcikk területe

$A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.$

Ívhez tartozó körszelet területe

Egy ív és a két végpontját összekötő egyenes által határolt alakzat területe

${\frac {1}{2}}r^{2}\left(\theta -\sin {\theta }\right).$

Egy ívhez tartozó körszelet területének meghatározásához az $A$ területből ki kell vonnunk a kör középpontja és az ív két végpontja által meghatározott háromszög területét.

Ívhez tartozó sugár

Az AP és PB szakaszok szorzata egyenlő a CP és PD szakaszok szorzatával. Amennyiben az ívhez tartozó húr hossza AB és a körívtetőpont magassága CP, a kör átmérője $CD={\frac {AP\cdot PB}{CP}}+CP$

A húrtétel (más néven a pont körre vonatkozó hatványa vagy az érintő- és szelőszakaszok tétele) alkalmazásával egy kör r sugara kiszámítható a H körívtetőpont magasságból és a W ívhez tartozó húr hosszából:

Vegyünk egy húrt, aminek a két végpontja egybeesik az ív végpontjaival. A felezőmerőlegese szintén egy húr, a kör átmérője. Az első húr hossza W, amit a felezővonal két egyenlő részre oszt, amiknek a hossza ${\frac {W}{2}}$. Az átmérő teljes hossza 2r, amit az első húr 2 részre oszt. Az egyik rész, H, hossza egyenlő a körívtetőpont magasságával, a másik rész hossza pedig az átmérő fennmaradó része, $2r-H$. A húrtételt alkalmazva a két húrra kapjuk, hogy

$H(2r-H)=\left({\frac {W}{2}}\right)^{2},$

amiből

$2r-H={\frac {W^{2}}{4H}},$

így

$r={\frac {W^{2}}{8H}}+{\frac {H}{2}}.$

Parabolaív

A parabolához tartozó ívek tulajdonságairól (hossz, közbezárt terület):

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Arc (geometry) című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.