Pont körre vonatkozó hatványa
A pont körre vonatkozó hatványa vagy egy pont körhatványa az euklideszi síkgeometriában egy ponthoz és körhöz rendelhető mennyiség, értéke:
- hk = d2 - r2 = PT2 = PA · PB
ahol:
- hk a hatvány értéke,
- d a pont és a kör középpontja közti távolság
- r a kör sugara
- PT a P pontból a körhöz húzott érintő hossza
- PA és PB a P pontból húzott tetszőleges szelő A és B metszéseinek P ponttól való irányított távolsága
A mennyiséget még Jacob Steiner svájci matematikus vezette be, és mutatta meg a kifejezések egyenértékűségét.
Speciális elrendezések
[szerkesztés]A körhatvány előjele a pont körhöz viszonyított helyzetétől függ:
- ha a pont a körön kívül van a hatvány pozitív,
- ha a pont a köríven van, nulla,
- ha a pont a körön belül van negatív a hatvány, érintő nem húzható, a hatvány abszolút értékének gyökét a PO egyenesre merőleges szelővel kaphatjuk meg
Ha a kör pontkör, akkor r2 = 0, a hatvány a tőle való távolságnégyzet lesz.
Bizonyítása
[szerkesztés]Annak a bizonyítása, hogy két szelőre a szorzat ugyanaz
[szerkesztés]Legyen P egy tetszőleges pont, a belőle húzott két szelő metszései a körrel A, B, C és D pontok, lásd ábra. ABCD húrnégyszög, ezért ACP< szög megegyezik DBP< szöggel, és APC< szög is BPD< szöggel, tehát
- APCΔ és BPDΔ hasonlók
a megfelelő oldalaik aránya megegyezik:
- PA / PC = PD / PB
amit átszorozva kapjuk, hogy:
- PA · PB = PC · PD
Megegyezik a d2 - r2 kifejezéssel
[szerkesztés]Abban az esetben, amikor a szelő egyben átmérő PA és PB értéke: d + r és d - r, PA · PB szorzat:
- PA · PB = (d + r) · (d - r) = d2 - r2
hasonlóan: ha d < r, azaz a pont a körön belül van, PA és PB irányítása ellentétes, szorzatuk, d2 - r2 negatív.
Érintő hosszának négyzete
[szerkesztés]Szemléletesen: ha az érintési pontot úgy tekintjük, mintha A és B egybeesne T-ben:
- PA · PB = PA · PA = PT2
Ám mert a szelők szorzatának egyenlőségének bizonyítása kihasználta, hogy két metszéspont van, és mert nem létezik érintő ha P a körön belül van, mégis tisztább máshogy bizonyítani. Ha kihasználjuk, hogy OTP< szög derékszög, akkor a Pitagorasz-tétel értelmében:
- PT2 + r2 = d2, azaz PT2 = d2 - r2
Kör normálegyenlete
[szerkesztés]Ahogy az egyenes normálegyenlete a de(p)=0 kifejezés, ahol a de(p) a P pontnak az e egyenestől való távolságát jelenti, kör normálegyenletének a hk(p)=0 egyenletet nevezzük, ahol a hk(p) megadja egy P pontnak a k körre vonatkozó hatványát. Legyen a kör sugara r, középpontjába mutasson o vektor.
- hk(p)=d2-r2=d2-r2=(p-o)2-r2
egy kör normálegyenlete ezek szerint hk(p)=0:
- (p-o)2-r2=0
Kapcsolódó tételek
[szerkesztés]Általánosítások, hasonló mennyiségek
[szerkesztés]Kapcsolódó szócikkek
[szerkesztés]További információk
[szerkesztés]- cut-the-knot: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PPower.shtml
Források
[szerkesztés]- Hajós, György. Bevezetés a geometriába, 6. kiadás, Budapest: Tankönyvkiadó (1979). ISBN 9631747360
- Matematikai versenytételek I. rész
- Dr. Szendrei János: Algebra és számelmélet