Hatványvonal

A síkon két kör hatványvonalán azon pontok halmazát értjük, melyekből azonos hosszúságú érintő húzható a körökhöz. Ez a vonal egy, a középpontokat összekötő szakaszra merőleges egyenes lesz.

Annak bizonyítása, hogy ezek a pontok egy egyenesen lesznek

A hatványvonal előáll két sík metszéseként, tehát egyenes

Geometriailag

Lesz egy ilyen egyenes ahonnan ugyanolyan hosszú érintőket lehet húzni:

A két kör fölé metsző gömböket állítok. A metszéskörük síkja és az alapsík metszése lesz a hatványvonal. Ebből a vonalból a két körhöz húzott érintők hossza megegyezik a metszéskörhöz húzott érintők hosszával, tehát egymással is megegyeznek.

A szelőtétel alapján a metszéskör síkja mindig ugyanott metszi a körök középpontját összekötő egyenest

Ez az egyenes bármely két metsző gömb esetén ugyanaz:

Tekintsük az alapsíkra merőleges, körök középpontjain átmenő egyenest tartalmazó síkot (lásd ábra). A hatványvonal és a körök centrálisának metszéspontjának a két körre vonatkozó hatványa egyenlő, és csak egy ilyen pont van azon az egyenesen.

Semmilyen más pont nem lesz jó:

Egy ilyen tulajdonságú pontból felveszünk két metsző gömböt a körök fölé, vesszük az érintőkúpjaikat. Ezek metszése érinteni fogja mindkét gömböt, tehát a gömbök metszéskörét is, és annak síkjában lesz (?), ami pedig csak a hatványvonalat metszi ki.

A két középponttól való távolság négyzete állandó - a mértani hely egy egyenes

Koordináta-geometriával

Legyen a két kör középpontja $O_{A}$ és $O_{B}$, a hatványvonal talppontja $M$, rajta egy tetszőleges $P$ pont, ahonnan húzott érintési pontok $T_{A}$ és $T_{B}$ (lásd ábra).

A Pitagorasz-tétel értelmében a hatványvonalon levő pontoknak a középpontoktól való távolságuk négyzeteinek különbsége állandó:

${PO_{A}}^{2}-{PO_{B}}^{2}={PT_{A}}^{2}+{R_{A}}^{2}-{PT_{B}}^{2}-{R_{B}}^{2}={R_{A}}^{2}-{R_{B}}^{2}$ ami két kör sugárnégyzeteinek különbsége, valóban nem függ P-től.

P ponthoz a körök középpontjaitól való távolságok négyzeteinek különbsége nem függ pontnak a körök középpontjai által meghatározott egyenestől való távolságától, pusztán annak merőleges vetületének helyétől:

${PO_{A}}^{2}-{PO_{B}}^{2}={PM}^{2}+{MO_{A}}^{2}-{PM}^{2}-{MO_{B}}^{2}={MO_{A}}^{2}-{MO_{B}}^{2}$

Tehát a merőlegesen levő pontoknak ugyanakkora a középpontoktól való távolságnégyzeteik különbsége, tehát tényleg ugyanolyan hosszú érintő húzható belőlük.

Csak ezek a pontok lesznek jók: Az $O_{A}O_{B}$ egyenesen egy M ponthoz tartozó távolságnégyzet különbségek:

${MO_{A}}^{2}-{MO_{B}}^{2}={MO_{A}}^{2}-{(MO_{A}+O_{A}O_{B})}^{2}=-2MO_{A}\cdot O_{A}O_{B}+{O_{A}O_{B}}^{2}$

Ami monoton (ha $MO_{A}$, $MO_{B}$ $O_{A}O_{B}$ szakaszokat irányítottan tekintjük), és folytonos, tehát csak egy olyan M létezik, hogy ${MO_{A}}^{2}-{MO_{B}}^{2}={R_{A}}^{2}-{R_{B}}^{2}$.

Körök speciális elrendezései

• Két koncentrikus, ugyanakkora sugarú kör esetén a hatványvonal az egész sík,
• két koncentrikus, eltérő sugarú kör esetén nincs hatványvonal,
• két metsző kör (hiperbolikus-körsor) esetén a hatványvonal átmegy a két metszésponton,
• két érintkező (parabolikus-körsor) kör esetén a hatványvonal az érintkezési ponton átmenő, köröket érintő egyenes
• két nem metsző (elliptikus-körsor) kör esetén a hatványvonal egy, a körökön át nem menő egyenes
• ha az egyik vagy mindkettő kör ponttá fajul, akkor érintő hossza helyett a tőle való távolságot vesszük
• ha az egyik kör tart az egyeneshez, akkor tart a hatványvonalhoz (ha adott két kör, az egyiknek egy rögzített P kerületi pontja, és az O középpontját elkezdjük egy adott irányba végtelen messzire távolítani, akkor a hatványvonal határesete átmegy a rögzített P ponton, és merőleges a PO sugárra)

Háromból két-két kör hatványvonalainak metszése rajta van a harmadik pár hatványvonalán

Hatványpont

Három általános helyzetű kör hatványvonalai egy pontban metszik egymást. Ekkor a metszéspontból húzott érintők egyenlő hosszúak: $PT_{A}=PT_{B}=PT_{C}$

Bizonyítás: legyenek a körök A, B, C. Két hatványvonal, mondjuk A és B hatványvonalának és B és C hatványvonalának P metszéséből ugyanolyan hosszú érintőt lehet húzni A-hoz és B-hez, és B-hez és C-hez, tehát A-hoz és C-hez is, tehát rajta van A és C hatványvonalán.

Ha két hatványvonal párhuzamos, azaz a három kör középpontja egy egyenesbe esik, akkor a harmadik hatványvonal is párhuzamos velük.

Források

Hajós, György. Bevezetés a geometriába, 6. kiadás, Budapest: Tankönyvkiadó (1979). ISBN 9631747360 

Kapcsolódó szócikkek

• Kör
• Pont körre vonatkozó hatványa
• Szelőtétel
• Körsorok
• Apollóniusz-kör