A teljes várható érték tétele a valószínűségszámításban azt mondja ki, hogy ha
várható értékű valószínűségi változó, és
valószínűségi változó, akkor
![{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f474922469e6178e791d731c5f72b7b05a5a3c5)
azaz
-ra vett feltételes várható értéke megegyezik
várható értékével.
Speciálisan, ha
véges, vagy legfeljebb megszámlálható partíciója a valószínűségi mezőnek, akkor
![{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2c9820f1b9960111d21644ba1623f8510cfad2)
Tegyük fel, hogy két gyár villanykörtéket állít elő! Az
gyár termékei átlagosan 5000, az
gyáréi átlagosan 4000 órán át működnek. Az
gyár állítja elő az összes villanykörte 60%-át. Mennyi egy villanykörte várható élettartama?
A teljes várható érték tételével:
![{\displaystyle \operatorname {E} (L)=\operatorname {E} (L\mid X)\operatorname {P} (X)+\operatorname {E} (L\mid Y)\operatorname {P} (Y)=5000(0,6)+4000(0,4)=4600}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4605b81635a65cf5fd99f06051486ef23e998ecc)
ahol:
egy villanykörte várható élettartama
annak a valószínűsége, hogy az
gyárban készült
annak a valószínűsége, hogy az
gyárban készült
az
gyárban készült villanykörte várható élettartama
az
gyárban készült villanykörte várható élettartama
Eszerint a villanykörte várható élettartama 4600 óra.
Állítás: Legyen
és
diszkrét valószínűségi változó ugyanazon a valószínűségi mezőn, továbbá létezzen az
várható érték,
. Ha
az
valószínűségi mező partíciója, akkor
![{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2c9820f1b9960111d21644ba1623f8510cfad2)
Bizonyítás:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid Y)\right)&=\operatorname {E} {\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y){\Bigg ]}\\[6pt]&=\sum _{y}{\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y){\Bigg ]}\cdot \operatorname {P} (Y=y)\\[6pt]&=\sum _{y}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0b37358069b1fb41c692ce31cad2eadf01dce2)
Ha a sor véges, akkor az összegzések felcserélhetők, így
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}\sum _{y}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y)&=\sum _{x}x\sum _{y}\operatorname {P} (X=x,Y=y)\\[6pt]&=\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\\[6pt]&=\operatorname {E} (X).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3708bad7046d61abb7f7e6970b3ec2ec7650a585)
Nem véges esetben a sor nem lehet feltételesen konvergens, mivel
Ha
és
véges, akkor a konvergencia abszolút; ha pedig
vagy
nem véges, akkor a végtelenhez tart. Mindkét esetben felcserélhető az összegzés az összegre való hatás nélkül.
Legyen
valószínűségi mező, amin adva vannak az
σ-algebrák. Ekkor a téren egy
valószínűségi változóra, aminek van várható értéke, vagyis
, teljesül, hogy
![{\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb3f6b60214d75525eb7ff18a662e67121e7125)
Bizonyítás: Mivel a feltételes várható érték Radon–Nikodym-derivált, elegendő ezeket bizonyítani:
-mérhető
minden
esetén.
Az első állítás a feltételes várható érték definíciójából adódik. A második bizonyításához jegyezzük meg, hogy
![{\displaystyle {\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e371ba89f0588fc1532b987288b5aac461fdfba)
Így létezik az
integrál, vagyis nem egyenlő
-nel. Ekkor teljesül a második állítás, hiszen
implies
![{\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0e026885f9b484604a47673f44ef76e377dd03)
Következmény: Speciálisan, ha
és
, akkor
![{\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6706569e29099b285c9c9032d5ea122c6de71098)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \limits _{i}\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \mid A_{i})\cdot \operatorname {P} (A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \cap A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )I_{A_{i}}(\omega )\operatorname {P} (d\omega )\\&=\sum \limits _{i}\operatorname {E} (XI_{A_{i}}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb6e0492647392cb39c42939fa05b98e80373d8)
ahol
az
halmaz indikátorfüggvénye.
Ha az
partíció véges, akkor a linearitás miatt az előbbi kifejezés az
![{\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)=\operatorname {E} (X),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1717aa210ea13719ae747a8ece310a4b8c82fc2)
alakot ölti, és készen vagyunk.
Egyébként a dominált konvergencia tételével megmutatható, hogy
![{\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)\to \operatorname {E} (X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58431bb99c2d7e21a975156649d3310d6190f81d)
innen minden
esetén
![{\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right|\leq |X|I_{\mathop {\cup } \limits _{i=0}^{n}A_{i}}\leq |X|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d90ecea2673a433f347d6207ec90601a9f7c9b)
Mivel
minden eleme egy, és csak egy
halmazba tartozik, hamar igazolható, hogy
pontonként konvergál
-hez. Az eredeti feltevés szerint
. Innen a dominált konvergencia tétele nyújtja az eredményt.
Ez a szócikk részben vagy egészben a Law of total expectation című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.