Diszkrét valószínűségi változó
Azokat a valószínűségi változókat nevezzük diszkrétnek, melyek 1 valószínűséggel vesznek fel értékeket egy olyan halmazból, aminek megszámlálhatóan sok eleme van.
Formálisan: az X valószínűségi változót diszkrétnek nevezzük ⇔ ∃ H = {x1, x2, … , xi, …} : P(X ∈ H) = 1. (Nyilván |H| = ℵ0.)
Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a diszkrét valószínűségi változó olyan, amivel kapcsolatban fel lehet sorolni, hogy milyen értékeket tud felvenni (0-nál nagyobb valószínűséggel). Ilyen például az a valószínűségi változó ami azt írja le, hogy egy lottó sorsoláson mi lesz az elsőnek kihúzott szám. A felvehető értékek az 1 és 90 közötti egész számok.
Nem diszkrét például az a valószínűségi változó, ami a [0,1] intervallumon egyenletes eloszlású, vagyis ami 0 és 1 között bármilyen valós értéket felvehet és bármelyik [0,1] által tartalmazott intervallumba pont olyan valószínűséggel esik, mint az adott intervallum hossza. Ez a valószínűségi változó ugyanis bármely xi ∈ [0,1] értéket 0 valószínűséggel veszi fel. Bárhogy választunk ki megszámlálható sok ilyen elemet, az együttes valószínűségük továbbra is 0 lesz. Ha viszont úgy választunk egy részhalmazt [0,1]-ből, hogy abból a részhalmazból 1 valószínűséggel vegyen fel értéket, akkor megmutatható, hogy ennek a részhalmaznak az elemei nem sorolhatóak fel, vagyis nem alkotnak megszámlálható halmazt.
A diszkrét valószínűségi változók a valószínűségi változók egy igen fontos osztályát alkotják. Speciális tulajdonságuknál fogva matematikai szempontól jól viselkednek. Például a valószínűségi változó várható értékének általános
képlete helyett (mely mérték szerinti integrál vagy Lebesgue-Stieltjes-integrál kiszámítását igényelné) a diszkrét változók esetében használhatjuk a
képletet, (ahol pi annak a valószínűségét jelöli, hogy a valószínűségi változó az xi értéket veszi fel) ami többnyire sokkal egyszerűbben számítható.
Megjegyzések
[szerkesztés]- A diszkrét valószínűségi változók gyakran a folytonos valószínűségi változók alternatíváiként jelennek meg a valószínűségszámításban. Sokszor találkozhatunk azzal, hogy egy témát először folytonos, majd diszkrét esetre fejtenek ki, vagy fordítva. Ezzel kapcsolatban érdemes megjegyezni, hogy a folytonos és diszkrét valószínűségi változók nem adnak meg partíciót a valószínűségi változók osztályán, vagyis röviden szólva nem csak folytonos és diszkrét valószínűségi változók vannak.
- Szokták a diszkrét valószínűségi változókat úgy is definiálni, mint azok a valószínűségi változók, amik egy megszámlálhatóan sok elemű halmazból veszik fel értékeiket. Ha megfigyeljük, a szócikkben adott definíció ennél tágabb, hisz megengedi azt, hogy legyenek esetleg még olyan értékek, melyeket a valószínűségi változó felvehet, ám 0 valószínűséggel. Ezekkel a 0 valószínűségű értékekkel együtt lehetséges, hogy a valószínűségi változó által felvehető értékek halmaza már nem megszámlálható halmaz, hanem annál nagyobb számosságú. A legtöbb valószínűségszámítási tétel és eredmény szempontjából nem jelent lényeges különbséget az, ha megengedjük ezeket az együttesen is csak 0 valószínűséggel előforduló eseteket. (Azon múlik, hogy nem okoz lényeges különbséget, hogy – mértékelméleti kifejezéssel élve – csak egy nullmértékű halmazon engedtük meg, hogy máshogy viselkedjen a függvény, mint a szűkebb definíció esetében.)
- Bár a fenti lottós példában a valószínűségi változó csak 90 különböző értéket vehet fel, vegyük észre, hogy a definíció megengedi, hogy a 0-nál nagyobb valószínűséggel felvett értékek akár végtelen sokan legyenek[forrás?]. Ez amiatt van, hogy a megszámlálhatóság nem végességet, hanem lényegében felsorolhatóságot jelent. (Meg lehet mutatni, hogy például a [0,1] intervallumba eső valós számok nem sorolhatóak fel, s így valamilyen értelemben „többen vannak”, mint a természetes számok.)
- Ha megfigyeljük, a definíció határozottan végtelennek tünteti fel az X lehetséges értékeinek halmazát. Ennek ellenére a lottós példán láttuk, hogy lehet ez a halmaz véges is. Véges sok felvehető érték esetében az {x1, x2, … , xi, …} halmaz elemei egy megfelelő xj felett 0 valószínűséggel következnek be. A lottó konkrét esetében ez az xj elem a 90. elem.
- Érdemes kiemelni, hogy a diszkrét valószínűségi változóra, még az első megjegyzésben említett szűkebb definíció esetén se teljesül feltétlenül, hogy az általa felvehető értékek topológiai értelemben diszkrét halmazt alkotnak.
- A valószínűségszámításban szoktak diszkrét eloszlásról is beszélni. A diszkrét eloszlások tulajdonképp a diszkrét valószínűségi változók eloszlásai. Szokták a valószínűségszámítási alapfogalmak bevezetése során azt a gyakorlatot is követni, hogy előbb a diszkrét eloszlásokat definiálják, majd úgy határozzák meg a diszkrét valószínűségi változókat, mint amiknek az eloszlása diszkrét.