Szerkesztő:Thuluviel/Idézetek

Ruzsa Imre

Logikai szintaxis és szemantika

(7. oldaltól, Az olvasóhoz, részlet, csak a logika, matematika és filozófia viszonyáról szóló fejtegetések)

Logicam more logico

Az olvasóhoz

A modern logika prominens művelői már fölvetették azt a kérdést, hogy a matematikai módszereknek a logikába való behatolása következtében nem fog-e a 'logika' terminus a 'geometria' terminus sorsára jutni, azaz arra a sorsra, hogy egy elvont matematikai diszciplínát fog jelölni, és ha arról akarunk majd beszélni, amit a szó hajdanában jelentett, akkor a 'logika' helyett más kifejezést kell keresnünk. Úgy tűnik, ez a veszély egyelőre nem fenyeget. Először is, e görög - latin eredetű szó módosulatai az élő nyelvek sokaságában a köznapi szókincshez tartoznak (Logik, logique, logic stb.), s ez a tény, legalábbis rövid távon, valószínűtlenné tesz egy radikális jelentésváltozást. Másodszor, a matematika egy ágaként értelmezett logika megnevezésére jelenleg a 'matematikai logika' terminust használják, és reméljük, hogy a 'matematikai' jelzőt a jövődben sem fogják - a rövidség kedvéért - elhagyni.

Azt,hogy a logikát more mathematico kellene fölépíteni, valószínűleg Leibniz fogalmazta meg először. A gondolat azonban nem volt idegen sem Arisztotelész, sem a sztoikusok számára. Az antik görögök nem gondolták, hogy az axiomatikus-deduktív módszer kizárólag a matematikában alkalmazható. E módszer alkalmazásának nyomai világosan kimutathatók a kategorikus szillogizmusok arisztotelészi elméletében és a sztoikus kijelentéslogikában is. Érdekes, hogy a deduktív fölépítést a 17. században mint a geometria módszerét aposztrofálták (így Spinoza: Ethicam ordine geometrica demonstrata); ez nyilván onnan ered, hogy Eukleidész geometriája volt a deduktív módszer alkalmazásának szinte egyetlen ismert példája. A logika matematizálása ténylegesen a 19. században kezdődött meg. Ezzel kapcsolatban föl kell vetnünk a következő kérdést: A matematika részévé válik-e egy tudományos diszciplína, ha fölépítéséhez matematikai eszközöket és módszereket használnak?

A válasz e kérdésre az, hogy nem kell azzá válnia, s ennek élő bizonyítéka a fizika, amely - bár elsőként használt matematikai eszközöket - napjainkig megőrizte önállóságát. Ha egy diszciplína tárgya valamely reális természeti vagy társadalmi jelenségkör, a matematikai módszerek és eszközök, modellek alkalmazásával sem válhat a matematika részévé. Inspirálója lehet azonban annak, hogy kialakuljon a matematika egy új ága, különösen ha az alkalmazott matematikai módszerek eléggé homogén jellegűek. Így a fizika inspirálta az egész matematikai analízist, bár az elvétve használt matematikai fizika terminus nem ezt jelöli (hanem az elméleti fizikát).

A matematikai módszerek alkalmazása a logikában ugyancsak inspirálója lett a matematika egy új ágának; ez az, amit matematikai logikának neveznek. Mint matematikai diszciplína, ez magában foglalja a logika matematikai apparátusát, de ezen kívül olyan formális (interpretálatlan) matematikai rendszerekkel is foglalkozik, amelyek az eredeti értelemben vett logikai rendszerek bizonyos általánosításai, ám ténylegesen kevés közük van magához a logikához. Napjainkban a logika és a matematikai logika közötti kapcsolat egyre inkább hasonlít a geodézia és a geometria közötti kapcsolathoz. Ennek reakciójaként született meg a filozófiai logika terminus, azzal a céllal, hogy elhatárolja a saját kutatási területtel bíró logikát a matematika egyik ágaként funkcionáló matematikai logikától. Ha az utóbbi nevében nem szerepelne a 'logika' szó, akkor a 'filozófiai logika' terminus teljesen fölösleges, sőt értelmetlen lenne. (Ez nem jelenti azt, hogy jelen körülmények között a 'filozófiai logika' terminus találó vagy előnyös. Az igazság az, hogy egy rossz terminus kiprovokálta egy másik rossz terminus létrejöttét.)

A kialakult helyzet megértéséhez figyelembe kell vennünk a logika matematizálásának első lépéseit. Itt élesen el kell határolnunk két irányzatot. Az egyik George Boole és Ernst Schröder vonala. Ők matematikai modellt készítenek bizonyos egyszerű logikai kapsolatok számára, fő törekvésük azonban e modell elvont matematikai tanulmányozása. A kifejtés előrehaladtával a logikai forrás egyre inkább homályba vész. Munkáikból fejlődött ki a Boole-algebra. A másik vonal főalakja Gottlob Frege, aki olyan szabatos logikai elmélet kidolgozását tűzi ki élul, amely alkalmas a matematikai bizonyítások rekonstruálására. Az ő Fogalomírásának megjelenésével (1879) datálhatjuk a modern (szimbolikus) logika megszületését. (Itt a 'szimbolikus' jelző a korábbi, az ún. tradicionális logikától való elhatárolást célozza.) A mai matematikai logikában ez a két tendencia fuzionált. A logika számára modellül szolgáló formális rendszerek mellett ott találjuk ezek olyan általánosításait is, amelyeknek a logika számára (legalábbis jelenleg) nincs funkciójuk. Egészében véve a matematikai logika nem logika, bár magában foglalja a logika műveléséhez szükséges matematikai apparátust is.

A matematikai logika elemi szintű tanulmányozásából ez persze nem derül ki. A geometria elemeivel ismerkedő kisdiák sincs tudatában annak, hogy egy elvont, interpretálatlan matematikai elmélettel van dolga, hiszen a környezetéből vett példák és feladatok sokaságának közvetítésével fejlesztik geometriai absztrakciós készségét. Ugyanígy, ha egy szerző bevezető tankönyvet ír a matematikai logikáról, általában nem hagyja figyelmen kívül a logikai interpretációt, sőt a legtöbb esetben valóban logikát tanít, és inkább csak a kitekintő jellegű megjegyzésekből derül ki, hogy az egészet egy interpretálatlan matematikai elméletnek is föl lehetne fogni, amelynek más alkalmazásai is lehetnek. (A magyar olvasó számára érdekes lehet e szempontból W. V. O. Quine A logika módszerei című és Varga Tamás Matematikai logika kezdőknek című könyvének összehasonlítása. Lényegét tekintve mindkét szerző ugyanazt a logikát tanítja, és inkább csak a stílus árulkodik arról, hogy Quine számára a logika, Varga Tamás számára a matematikai módszer az elsődleges.)

E problémákról azért kellett itt szólnom, hogy helyesen tájékoztathassam az olvasót e könyv tárgyáról és céljáról. Ha valaki átlapozza e könyvet, könnyen kialakulhat az a benyomása, hogy a könyv matematikai logikával foglalkozik. A szerző ezzel nem is vitázhat: a logika tudományában alkalmazott matematikai módszerek, eszközök, modellek ismertetése, a kialakult szokások szerint, valóban a matematikai logika szférájába sorolható. Ha azonban egy matematikus vagy még inkább: a matematikai logikában némileg tájékozott olvasó kezébe kerülne e könyv, bizonyára szóvá tenné, hogy a könyv nem foglalkozik számos, szerinte ideillő témával. Van benne szó a formalizált nyelvekről, de nincs szó a végtelen ábééjű nyelvekről; beszél az igazságfüggvényekről, de nem szól a több mint kétértékűekről; foglalkozik a halmazelméleti szemantikával, de hallgat a különféle algebrai szemantikákról, a Boole-algebrákról, a cilindrikus algebrákról stb. Nem tárgyalja rendszeresen a modellelméletet, sem a bizonyításelméletet (metamatematikát).

E hiánylistára - amely esetleg még hosszabb is lehet - a szerző válasza az, hogy nem a matematikai logikáról, hanem a logikáról óhajtott könyvet írni, és nem azoknak ajánlja könyvét, akiket a modern logika kizárólag a matematika szempontjából érdekel. A matematikai apparátus e könyvben csupán eszköz, nem cél. A könyv célja a modern logika 20. századbeli legfontosabb (a szerző megítélése szerint legfontosabb) fejlődési vonalába tartozó elméletek matematikai szabatosságú ismertetése, a klasszikus elsőrendű logikától a modern típuselméleti intenzionális logikáig.

...

Bevezetés a modern logikába

Hányan vannak?

A logika mint tudomány természetesen egy, egyetlen. E tudományon belül azonban vannak különféle irányzatok, elméletek, rendszerek. Napjainkban kezd elterjedni - főleg az angol nyelvű szakirodalomban -, hogy a különböző logikai elméleteket, rendszereket 'logikák'-nak (logics) mondják, nyilván azzal az indoklásal, hogy így rövidebb. E könyvben nem követjuük ezt a szokást. Ha nem illik matematikákról, fizikákról stb. beszélni, akkor logikákról sem.

A logikai elméletek, rendserek osztályozását, felosztását többféle megfontolás alapján végezhetjük. Ezek közül bemutatunk néhányat.

(A) Történeti osztályozás:

(a) Antik (ókori) logika, ezen belül: arisztotelészi logika, sztoikus logika

(b) Középkori skolasztikus logika.

(c) A 17-19. század hagyományos (iskolás) logikája.

(d) Modern logika, Frege (1879) munkásságától kezdve.

(B) Ma már lényegében elavultnak tekinthető az a felosztás, amely megkülönböztet formális és nem formális (tartalmi) logikát. A bemutatott lexikonidézeteink alapján sejthető, hogy ez a megkülönböztetés abból a korból származik, amelyben a logikát az ismeretelmélettel rokonították. Egyes filozófusok felfigyeltek arra, hogy a következtetések tana - a 'formális ' logika - nem elegendő ismeretelméletünk megalapozásához, és ezért szükségesnek tartották egy 'tartalmi' logika megalapozását. (Kant transzcendentális logikája, Hegel dialektikus logikája.) A modern logika teljes egészében 'formális'. - bár e jelző alkalmazása fölösleges és félrevezető. Az ún. tartalmi logika problémáa a filozófiai ismeretelmélet körébe tartoznak.

(C) Ugyancsak elavult az induktív és a deduktív logika megkülönböztetése. A természet- és a társadalomtudományokban régóta használnak olyan következtetéseket, amelyek a premisszák igazsága esetén sem garantálják biztosan a konklúzió igazságát, csupán igazságának valószínűségét. Ezeket nevezték induktív következtetéseknek, velük foglalkozna az induktív logika. A deduktív logika viszont a szigorú következtetések logikája, ahol a mpremisszák igazságából szükségszerűen folyik a konklúzió igazsága. A modern logika természetesen deduktív. Az egykori induktív logika funkcióját napjainkban a valószínűségszámításból és a matematikai statisztikából kölcsönzött módszerek töltik be. Itt említhetjük még a valószínűségi logikát, amely a modern logika egy speciális fejezeteként tisztán deduktív módszerekkel elemez a valószínűségi állításokról szóló következtetéseket.

Áttérünk a modern logikára, amelyet szimbolikus logikának, ill. matematikai logikának is szokás nevezni. A 'szimbolikus' jelző a modern logikában kidolgozott logikai grammatikára, a alogikai szimbólumok intenzív használatára utal. A 'matematikai logika' elnevezés félrevezető lehet, ha arra gondolunk, hogy ez a matematika logikája. A matematikának nincs külön logikája. De az igaz, hogy a modern logika első gyakorlati felhasználásra a matematika metodológiájával kapcsolatos kutatásokban került sor. A matematikai logika módszereket használ, és a matematikában megszokott szabatosságra törekszik. A logikai szemantika valóban használ matematikai eszközöket; elsősorban a halmazelméletből kölcsönöz. Ami a modern logika szabatosságát illeti, kimondhatjuk, hogy az semmiképp sem lehet alacsonyabb fokú, mint a matematika szabatossága; bhiszen a matematikai bizonyítások helyességének ellenőrzése a logika feladata. A fentiekből fölsejlik, hogy a logika és a matematika hegyes fejezetei között talán némi kölcsönös egymásra hivatkozás állhat fönn. A megfelelő helyen majd tisztázzuk ezt a problémát.

A modern logikában a következő fontosabb klasszifikációkkal találkozhatunk:

(D) Filozófiai és matematikai logika Ez a két terület jócskán átfödi egymást; a különbség inkább a szemléletmódjukban rejlik. A filozófiai logika középpontjában mindig az emberi információközlés a helyes következtetés elemzése áll, és főleg a humán tudományokban (filozófia, nyelvtudomány, kommunikációelmélet, etika, jogtudomány, pszichológia, tudományelmélet) valóalkalmazásokra koncentrál. A matematikai logika manapság matematikai diszciplínának számít, szabadon használja a matematika legkülönbözőbb területeit, és többynire közömbös az iránt, hogy a különbféle rendszereket logikai szemléletünk miként értelmezi. Ebben a könyvben mindvégig a filozófiai logika szemléletmódját érvényesítjük, noha találkozni fogunk olyan részletekkel is, amelyek jól beleillenek a matematikai logikába (is).

(E) Klasszikus és nem klasszikus logika. Különböző szerzők különböző helyeken húzzák meg a határvonalat e két szféra között. Mi a klasszikus logika keretébe sorolunk minden olyan logikai rendszert, amelyben megőrződnek Arisztotelés és Frege logikai alapelvei, s kiváltképp a kétértékűség elve. Könyvünk túlnyomó része a klasszikus logikával foglalkozik, s csak röviden érintünk nemklasszikus rendszerket. (Ez a szerző filozófiai elfogultságával is értelmezhető; de alkalmunk lesz majd érveket is fölsorakoztatni álláspontunk mellett.) A nemklasszikus rendszerek is formalizált nyelvtanra, azaz logikai grammatikára alapoznak, de föladnak egy vagy több klasszikus logikai alapelvet.

(F) Extenzionális és intenzionális logika. Ez a felosztás megfelel könyvünk 1. és 2. részének. A megkülönböztetés tartalmáról csak később szólhatunk.

(G) Elsőrendű és magasabbrendű logika. Elvileg nem különösebben fontos megkülönböztetés; az alkalmazott logikai grammatika gyöngébb és erősebb változatára utal. Magyarázatára az 1. rész 7. fejezetében kerül sor.

2.1 Modális logika

2.1.1 Modális mondatfunktorok

A modális logika az intenzionális logika legegyszerűbb és legrégibb fejezete. Egyszerűsége abban nyilvánul meg, hogy - a klasszikus logika extenzionális mondatfunktorain felül - mindössze néhány intenzionális mondatfunktort használ. Többnyire a klasszikus logika bővítéseként szokás bemutatni.

Első mondat modális logikához

• Boolos: Provability logic

The basic concepts of modal logic are those of necessity and possibility: A statement is called "possible" if it might be true (or might have been true) and "necessary" if it must be true (or could not have been true).

• Melvin Fitting: Basic Modal Logic (Artifical intelligence vagy valami hasonló handbookból)

Modal logics are logics of qualified truth. Necessary, obligatory, true after an action (such as running a computer program), known, knowable, believed, provable, from now on, so far, since and until are qualifiers with similar formal characteristics.

• Ruzsa: Logikai szintaxis és szemantika

A modális logikát, első közelítésben úgy körvonalazhatjuk, mint a klasszikus logika azon bővítését, amely a (a) szükségszerű, hogy p (b) lehetséges, hogy p (c) lehetetlen, hogy p szerkezetű összetett állítások logikai törvényeinek feltárására is vállalkozik; itt p tetszőleges állítás.

• Dov M. Gabbay & John Woods: Handbook of the History Logic, Volume 7

In its traditional sense, a modal logic is one whose logical vocabulary contains the modal expressions "possibly", "necessarily" and "contigently", construed as sentence operators.

• Hughes & Cresswell: A New Introduction to Modal Logic

Modal logic is the logic of necessity and possibility, of "must be" and "may be". By this is meant that it considers not only truth and falsity applied to what is or is not so as things actually stand, but considers what would be so if things were different.

• Zakharyaschev & Chagrov: Modal logic

Modal logic is a branch of mathematical logic studying mathematical models of correct reasoning which involves various kinds of necessity-like and possibility-like operators.

Alexander Chagrov - Michael Zakharyaschev

(Az első mondat)

Preface

Modal logic is a branch of mathematical logic studying mathematical models of correct reasoning which involves various kinds of necessity-like and possibility-like operators. ...