Szerkesztő:Orion 8/szám

MUNKAVÁLTOZAT

Ez a szócikk a matematikai fogalomról szól. Hasonló címmel lásd még: szám (egyértelműsítő lap).

A szám egy elméleti fogalom. Szótár szerinti jelentése: „Megszámlált egység(ek)ből álló mennyiség.”^[1] Különböző aspektusokból foglalkozik vele a matematika, a nyelvészet, a kultúrtörténet, a pszichológia.

Számfogalom

Ha valaki felszólít bennünket: „Gondolj egy számra!”, akkor mindannyiunk fejében megjelenik egy szám érzete, amelynek megerősítésére, a megjegyzés segítésére magunkban kimondjuk a szám nevét. Vagy éppen elképzeljük a számot leírva, számjegyekkel. Mindkét megjelenítési módot nevezhetjük és nevezzük is számnak, de ezek valójában a szám ábrázolt alakjai, és már a számábrázolás területéhez tartoznak. A szám igazából az az érzet, ami az ember elméjében elsőként felsejlik. Számolásban gyakorlott, felnőtt ember számára semmi problémát nem okoz egy- vagy kétjegyű számok összeadása, és az eredményt nem az összeadás írott módszerével állítjuk elő, hanem egy belső számérzet segítségével. Tulajdonképpen egyjegyű számokkal nem is lehet másképp bánni, erre épül a nagyobb számokkal való műveletek végzése, és az egyjegyű számok összegét szó szerint érezzük.

Pszichológusok többféle kísérletet végeztek már el egészen kicsi gyerekekkel és állatokkal is, akik sem a számok nevét, sem írott alakját nem ismerhetik, és igazolni sikerült, hogy meglepő módon az első néhány természetes számról már nekik is vannak fogalmaik, különbséget tudnak tenni közöttük, képesek tárgyak megszámlálására. Ezt a képességet nevezzük számfogalomnak.

A számfogalom formálódása

A számfogalom kialakulása bizonyosan a megszámlálás igényére vezethető vissza. Már a primitív korban is szükséges volt bizonyos dolgok számának megállapítására. A növénytermesztés megszületésével együtt ki kellett alakulnia egy egyszerű naptárnak, azért, hogy a vetés, a betakarítás és a többi ehhez tartozó esemény megfigyelés szerinti legalkalmasabb idejének elérkezését el ne mulasszák, vagy akár előre tudják tervezni. A legelső naptárak egy nem túl gyakori és nem túl ritka eseményt számláltak, a hold valamelyik kitüntetett fázisának (rendszerint a holdtöltének) a bekövetkeztét. Szükség volt annak megadására, hogy egy bizonyos hely hány napi járásra található, azért, hogy a szükséges mennyiségű élelmet vigye magával, aki útnak indul. A cserekereskedelem kialakulásával olyan „bonyolult” műveletek elvégzésére is szükség volt, mint például hogy hány lábasjószág az ára egy mérőnyi sónak. A túlélés érdekében szükségessé vált annak a felmérésére, hogy mennyi termény és mennyi háziállat van a törzs birtokában, elegendő szokott-e lenni ez a mennyiség a következő betakarításig. Különböző okokból egy idő után még annak az igénye is felmerült, hogy az életkort is számon tartsák. A szám felsorolt felhasználásai mind a számlálás példái.

A számlálás eleinte indokolatlanul nagy szellemi erőfeszítést kívánt volna, ha segédeszközök nélkül tették volna. A segédeszköz először valami képi ábrázolást jelentett, tehát ha a törzsnek hat kecskéje volt, akkor ezt írásban úgy rögzítették, hogy rajzoltak hat kecskét. A rajzolt állatok egyenként összekapcsolhatók voltak az igazi állatokkal, és így valójában számolás nélkül megoldható volt a mennyiség ellenőrzése. Már ez is jelentős intellektuális művelet volt, hiszen az élő kecske létezését egy rajzolt állattal szimbolizálni valamilyen fokú elvonatkoztatást igényel. Ekkor a mértékegység és a mérőszám még nem különült el egymástól, a teljes mennyiséget képileg ábrázolták.

Annak ellenére, hogy a leírt helyzetek bármelyike életszerű, és várhatóan bármely közösségben előbb-utóbb felmerül a szükségességük, hihetetlen módon mégis találtak kutatók olyan elszigetelten élő, primitív közösséget, amelynek a tagjai semmilyen számfogalmat nem hordoznak, nyilvánvalóan azért, mert eddig nem érezték tartósan a számlálás képességének hiányát.

Még jelentősebb ugrás volt az, amikor a kecskéket már nem kis kecske-rajzokkal szimbolizálták, hanem valami egyszerűbb jellel. Régészek már őskorból származó csontot is találtak, amelyen egymás melletti rovátkák láthatóak, nyilvánvalóan valaminek a számát rögzítették rajta az akkori emberek. Ennek a ténynek, az absztrakt szimbólumnak a nagyszerűségét nem szabad alábecsülnünk.

A módszer jól működött, még a szellemileg fejlett mezopotámiai korból is ismert ehhez hasonlítható megoldás. A csiszolatlan elméjű pásztor, amikor a gazda állatait elvitte legeltetni, nem bírkózott volna meg a számokkal, más eszközt használtak hát. Egyenként engedték át az állatokat, és minden állatnál egy kavicsot dobtak egy agyagedénybe. A végén az edényt lezárták, lepecsételték. Amikor a pásztor az állatokat meghozta, feltörték az edényt, ismét egyenként leszámolták a kavicsokat és az állatokat, és ha maradt kavics, akkor hiányzott az állatokból.

A módszer a maga szintjén tökélyre fejlődött azzal, hogy a különféle tárgyak vagy típusok nyilvántartására más-más jelet, később már elkülönített rovatot vagy külön „adathordozókat”, papiruszt, agyagtáblát, fapálcát, csontlemezt használtak. A nyilvántartásnak ez a vezetése, ma úgy mondhatjuk, egyes számrendszerben történt. Ugyan számokat a mai értelmezésünk szerint még nem használtak, de itt már tisztán különvált a mennyiség két része: a mértékegység, azzal, hogy az azonos dolgok megszámlálóit külön csoportba vették, és a mérőszám, az egyenkénti jelek alakjában. Ez az egyik feltételét teremtette meg a számfogalomhoz vezető forradalmi lépésnek.

Az eddig elmondottak a megszámlálásnak azt az egyszerű fajtáját mutatták be, amikor a számlálást végző ember, a számlálás segédeszköze és eredményének hordozója, valamint a megszámolt tárgyak egy helyen vannak. Ehhez képest lényeges lépés, amikor valaki már csak az eredményét látja a számlálásnak, magukat a tárgyakat nem. Ilyenkor a jelek és a tárgyak egyenkénti egymáshoz rendelése nem lehetséges, a tárgyaknak már csak a képe idéződhet fel az eredményt látó ember fejében. Tehát ha egy embernek egy társa megmutat egy csontot, rajta öt vonással, és tudatja vele, hogy ez a kecskék száma, akkor a másiknak a fejében meg tud születni öt kecske képe. Sőt, egy további fontos képességhez is elvezet ez az eljárás: a mennyiség összehasonlítható egy másik mennyiséggel, például egy másik közösség kecskéinek számával. Vagy, és ez még nehezebb feladat, fejben összehasonlítható a mostani mennyiség egy másik, szintén nem jelenlevő tárgyakról készült számlálás eredményével, például az előző évi mennyiséggel vagy a túléléshez szükséges mennyiséggel. A szellemi próbatétel fokozható annak a megállapításával, hogy hét vonás több, mint öt vonás, sőt, hét vonás kettővel több, mint öt vonás. Ezekben a műveletekben már ott van az összeadás és a kivonás csírája.

Minden kisgyerek életében elkövetkezik egy idő, amikor már örömöt jelent neki „vagyontárgyainak” számbavétele, újra és újra megadva neki a kívánatos dolgok birtoklásának gyönyörűségét. Ennek nyomán hamarosan találkozik azzal a felfedezéssel, hogy különböző tárgyak számai összehasonlíthatóak. Például hogy három kisvödör ugyanannyi, mint három építőkocka. Amikor elkezdi kirakosgatni maga elé a kockákat, mindig a harmadik mozdulatra következik el ugyanez az állapot, és ez a két mozdulat után jött sorra. Ezek a próbálgatások felépítik a fejében a számok sorozatát, noha néven nevezni ezeket még nem tudja. És amikor a három kisvödör és a három építőkocka mellé egyenként lerakosgatja a három kisautót, akkor megérti, hogy bármi lehet három. Hogy a három egy olyan fogalom, ami más dolgokkal ugyanígy összekapcsolható, és ez valamiben azonossá teszi ezeket a csoportokat. Megszületik a fejében a három, mint szám, a többi egyszerű természetes számmal együtt, lassacskán terjeszkedve egyre nagyobb számok felé. Az emberiség megérkezett a számfogalomhoz.

A gyakorlati alkalmazásnak van még egy akadálya. Hiába van meg az ember fejében a másik emberrel közlendő szám, ha nincs eszköz a szám közlésére. Az írás, mert a már említett eszközök az írás nagy családjába tartoznak, megfelel eszköznek, és ilyen pillanatnyi hatályú információcsere esetén az is elég, ha a porba húzgálnak vonalakat a kellő számban. Az is jó, ha az ujjaikat mutatják fel. Minden ilyen esetben

Szemléletes számfogalom

A legközismertebb számok a pozitív egészek {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; …}, ezek alakultak ki legkorábban, amikor az ember elkezdte a dolgokat megszámolni. Az indiaiak nagy találmánya volt a 0, mely a semennyit jelöli. A helyiértékes számírás lehetetlen nélküle. Ezek együtt alkotják a természetes számok halmazát {0; 1; 2; 3; …}. Jele $\mathbb {N}$ (esetleg N). (Vannak matematikusok, akik a nullát nem sorolják a természetes számok közé.) A vagyon és adósság, illetve a bevétel és kiadás analógiájára megalkothatóak a negatív és pozitív számok. Ezek a nullával együtt alkotják az egész számok halmazát. Jele $\mathbb {Z}$ (esetleg Z).

A méréssel alakult ki a racionális számok és irracionális számok fogalma. Az előbbi az egész számok hányadosaként felírható számokat jelenti. Jele $\mathbb {Q}$ (esetleg Q). Püthagorasz iskolájának nagy kudarca volt, hogy a négyzet átlóját nem tudták kifejezni az oldalhossz racionális számszorosaként. Ez pontosan az oldalhossz gyök kettőszöröse, amelyről belátható, hogy nem racionális szám. Ezek az irracionális számok. Jelük $\mathbb {Q} ^{*}$ . A racionális és irracionális számokat együtt valós számoknak nevezzük. Jele $\mathbb {R}$ (esetleg R).

A komplex számokat a valós számok további bővítésével kapjuk. Ebben a számhalmazban már minden szám (négyzet)gyöke értelmezhető. A komplex számok a harmadfokú egyenlet megoldásakor jutottak először szerephez, mivel képlet készíthető a megoldásukhoz, de komplex számok nélkül nem számolható ki az eredmény valós gyökök esetén sem. A komplex számoknak a tudomány számos területén komoly szerep jut. Jelük $\mathbb {C}$ (esetleg C).

Számhalmazok

Bár a számhalmazok tetszőleges mértékig bővíthetők az alkalmazott módszerrel, a kvaternióknál bővebb számhalmazokat ritkán alkalmazzuk. A számhalmazok egyre bővülő sorrendben szabályos jelöléssel:

\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H}

természetes számok; egész számok; racionális számok; valós számok; komplex számok; kvaterniók

Ezek a jelölések a következő szavakból jönnek:

természetes (natural), egész(Zahlen), racionális (quotient = hányados), valós (real), komplex (complex), kvaternió (Hamilton, a felfedezőjük)

Szokásos még ezek nullánál nagyobb vagy kisebb számokat tartalmazó részhalmazainak jelölésére indexes jelöléseket alkalmazni:

ℕ⁺, ℤ⁺, ℚ⁺, ℝ⁺

ℕ^-, ℤ^-, ℚ^-, ℝ^-

ℕ₀⁺, ℤ₀⁺, ℚ₀⁺, ℝ₀⁺

A komplex számokon belül nem szoktunk hasonló módon negatív illetve pozitív számokat értelmezni, ezért ezeket a jelöléseket eme halmazra nem alkalmazzuk.

A prímszámok halmazának jelölésére szokásos még: ℙ.

Hivatkozások

↑ Magyar értelmező kéziszótár (Akadémiai Kiadó, Budapest, 2003)

Lásd még

A Wikimédia Commons tartalmaz Orion 8/szám témájú médiaállományokat.

Külső hivatkozások

Állatok numerikus képességei

Az összeadás képességének fejlődése

[[1]]

[1] Magyar értelmező kéziszótár (Akadémiai Kiadó, Budapest, 2003)

[1]