A Z-transzformáció a matematikában és a jelfeldogozásban használt eszköz, ami egy számsorozatot (valós vagy komplex) a hozzátartozó frekvenciatartományhoz képez le.
A Z-transzformáció fontos szerepet játszik a az irányítás és szabályozástechnikában, főként digitális szűrök tervezésében.
A Z-transzformációt gyakran tekintik a Laplace-transzformáció diszkrét idejű megfelelőjeként.
A Z-transzformáció egy diszkrét függvényeteken elvégezhető transzformáció. A Z-transzformáció lehet egyoldali vagy kétoldali.
Kétoldali Z-transzformáció[szerkesztés]
Legyen
egy diszkrét függvény, ahol
egy egész számot jelöl. A függvény Z-transzformáltja
a következő Laurent-sor:
.
A változó
egy komplex szám, ahol
modulusa és
pedig
szöge.
Egyoldali Z-transzformáció[szerkesztés]
A Z-transzformáció definiálható egy hatványsorként is
.
A jelfeldolgozás területén az egyoldali Z-transzformáció a kauzális jeleknél játszik fontos szerepet.
Konvergenciasugárnak (gyakran ROC, angolul ´region of convergence´) nevezzük azoknak a pontoknak halmazát, ahol a Z-transzformált definíciójában levő
sor konvergens.
![{\displaystyle \mathrm {ROC_{x}} =\left\{z:|X(z)|=\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9923c8674e18e5cfa8e6de0339ec83ab95ae01)
Az abszolút értékek tulajdonságait kihasználva
felállítható az alábbi egyenlőtlenség:
![{\displaystyle \left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|\leq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x[n]z^{-n}\right|=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x[n]\right|\left|z\right|^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c337e1105a943d0bc498d05d5893df6b64e4e748)
Ebből következik, hogy konvergenciasugár nem csak a transzformálandó
függvénytől hanem
modulusától
-től is if függ.
továbbá felbontható egy pozitív
és negatív
részre:
- Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle X(z) = \underbrace{\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}}_\text{} }
A transzformálandó függ
Egy Z-transzformált
eredeti függvénye csak akkor egyértelmű, ha konvergenciasugár meg van adva. Ezt a tulajdonságot illusztrálni be lehet mutatni két különböző függvénnyel
és
melyeknek megegyezik a Z-transzformáltja, viszont a konvergenciasugaruk különbözik. Mindkét esetben a végtelen a Z-transzformált a mértani sor összegképletével
lett kiszámítva. Fontos megjegyezni, hogy a képlet csak akkor alkalmazható, ha a hányados
abszolút értéke kisebb, mit 1.
Legyen az első függvény
egy exponenciálisan növekedő kauzális függvény:
![{\displaystyle x_{1}[n]=a^{n}H[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd561c4ba81150c9d1e4380085319cb3ba4b083c)
(H[n] a Heaviside-függvényt jelöli).
Z-transzformált a következő:
![{\displaystyle X_{1}(f)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a^{n}z^{-n}\sigma [n]=\sum _{n=0}^{+\infty }(az^{-1})^{n}={\frac {1}{1-az^{-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175ba7e41bb946da2e44a2b847237f3a7210cb80)
A Z-transzformált, csak akkor létezik ha
. Ebből következik, hogy
Konvergenciasugara:
![{\displaystyle x_{2}[n]=-a^{n}H[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2a45790dc78f697385ce36160427d02ea5fb40)
![{\displaystyle X_{2}(f)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }=-a^{n}H[-n-1]=-\sum _{n=-\infty }^{-1}=-a^{n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}=-a^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69e7eed38dbfea68c7c1d4f2b4f35ee3bf3df5c)
Lineáris differenciaegyenletek konstans együtthatókkal egy hasznos eszköz diszkrét-LTI-rendszerek leírására.
Legyen
egy függvény az időtartományban és
a Z-transzformált. A
Tulajdonság
|
Időtartomány
|
Z-Transformált
|
Konvergencia terület
|
Megjegyzés
|
Linearitás
|
|
|
|
|
Késés
|
|
|
. ha . ha
|
és
|
Sietés
|
|
Kétoldali: . Egyoldali:
|
. ha . ha
|
és
|
Inverzió
|
|
|
. ha . ha
|
|
Kapcsolata a Fourier-transzformációval[szerkesztés]
Ha a
változót
-re korlátozzuk (tehát
abszolút értéke mindig 1), akkor megkapjuk
Fourier-transzformáltját.
Fourier-transzformált csak akkor létezik, ha
abszolút összeadható (azaz
). Ez azt jelenti, hogy sok függvénycsoportnak nincsen Fourier-transzformáltja (exponenciálisan növekvő függvényeknél).
A modulus
bevezetésével kiterjeszthető transzformációt kapjuk.
Ha
és
, akkor
"tompítva" lesz, ezért a Z-transzformáció nagyobb függvénycsoportokra alkalmazható, mint a Fourier-transzformáció.
Kapcsolata a Laplace-transzformációval[szerkesztés]
Legyen
egy folytonos függvény. Ha
-ből
időközönként mintát veszünk, akkor egy diszkrét függvényt
nyerünk. A függvény diszkrét egy Dirac-delta függvénysorozat segítségével
történik meg:
![{\displaystyle {\hat {x}}[t]=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ecbdd918ba571c19e785f5cedf223542c49c01)
Laplace-transzformáltja az alábbi:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\hat {x}}[t]\right\}={\mathcal {L}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT)\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\cdot {\mathcal {L}}\left\{\delta (t-nT)\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\cdot e^{-n\cdot s\cdot T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ffc026e988bf531aeb7ad8798a5f0b411154750)
Laplace-transzformáltja összehasonlítható z-transzformáltjával:
![{\displaystyle Z\{{\hat {x}}[t]\})=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\cdot z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31004488bfe760c34baa04e75c1088aa9841428)
Ebből következik egy egyenlőség állítható fel a Z-Transzformált és a Laplace-transzformált között:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\hat {x}}[t]\right\}=Z\{{\hat {x}}[t]\})\vert _{z=e^{sT}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0919d629806dc12d36aa89a82840ebaa73f7edc)
Tehát a kapcsolat a z-sík és az s-sík között a következő:
![{\displaystyle z=e^{sT}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9bb5acc24e522206d2204357f08e92f5035013e)
Továbbá a változó
felbontható egy valós
és komplex
részre.
![{\displaystyle z=e^{(\sigma +i\cdot \omega )T}=e^{\sigma \cdot T}\cdot e^{i\cdot \omega \cdot T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21320f124676a67857b60bdaefbb7a883725e972)
Így egy egyenlőség felállítható
komponensei (geometriai modellben megadva) és
komponensei (halmazelméleti modellben megadva) között:
![{\displaystyle A=e^{\sigma \cdot T},\phi =\omega \cdot T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562942838848bd2f95caee8b83638b1f76c491d5)
Bilineáris transzformáció[szerkesztés]
Ha egy lineáris Z-Átviteli függvénybe a
szubsztitúciót használjuk, akkor az a probléma lép fel, hogy a keletkező S-átviteli függvény nem lesz lineáris.
Bilineáris transzformáció úgy oldja meg ezt a problémát, hogy a kifejezést
egy alternatív formában reprezentálja:
![{\displaystyle e^{sT}={\frac {e^{\frac {sT}{2}}}{e^{-{\frac {sT}{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/649005fb8208071f0d050752838502fc3a98cda8)
.
Ezt az alternatív formát pedig kifejti egy Taylor-sorrá:
![{\displaystyle {\frac {e^{\frac {sT}{2}}}{e^{-{\frac {sT}{2}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\frac {\left({\frac {sT}{2}}\right)^{n}}{n!}}{\frac {\left(-{\frac {sT}{2}}\right)^{n}}{n!}}}=1+{\frac {\frac {sT}{2}}{-{\frac {sT}{2}}}}+{\frac {\frac {(sT)^{2}}{8}}{\frac {(sT)^{2}}{8}}}\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f89def8bf1d69484be1bc68e9488b8eecde284)
.
A sor első két tagja
lineáris közelítése egy lineáris közelítés, ami egyben bilineáris transzformáció definíciója:
![{\displaystyle z={\frac {1+{\frac {sT}{2}}}{1-{\frac {sT}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1c15d2d938b0ed851997802d9c1817507d30be)
A fordított bilineáris transzformációt, akkor kapjuk meg, ha felső képlet
-re megoldjuk:
![{\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8becf01fbe677a89c97b35b20b39b0c38da12ec)
Legyen
egy alul áteresztő szűrő S-átviteli függvénye:
![{\displaystyle H_{s}(s)={\frac {1}{1+\tau s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b7663079cf61c920bb803e9f8ab8618d488ab1f)
A bilineáris transzformációval létrehozott Z-átviteli függvény az alábbi
![{\displaystyle H_{z}(s)=H_{s}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)={\frac {1}{1+\tau {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}}={\frac {1+z^{-1}}{(1+2{\frac {\tau }{T}})+(1-2{\frac {\tau }{T}})z^{-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681376ed8321de3ef116fddd0a2b4fea80ed8dcb)
Legyen
négyzetes
mátrix, aminek az elemei egy test
része.
karakterisztikus polinomjának a definíciója:
.
Karakterisztikus mátrix[szerkesztés]
A kifejezést
karakterisztikus mátrixnak nevezik:
Karakterisztikus egyenlet[szerkesztés]
Az egyenlet
karakterisztikus egyenletnet nevezik. Az egyenlet megoldása, azaz a karakterisztikus polinomjának gyökei,
sajátértékei
. A karakterisztikus polinom ezért kifejezhető mint:
ahol
a sajátérték algebrai multiplicitása.
- Egy
mátrix karakterisztikus polinomja foka
.
- Karakterisztikus polinom főegyütthatója 1.
- Ha két
mátrix
és
hasonló, akkor a karakterisztikus polinomok
és
azonosak.
- Egy mátrixnak
és annak a transzponáltjának
azonosak karakterisztikus polinomjai.
mátrix[szerkesztés]
Ha egy mátrix
akkor karakterisztikus polinomja