Szerkesztő:Kristofcserpes/próbalap

A Z-transzformáció a matematikában és a jelfeldogozásban használt eszköz, ami egy számsorozatot (valós vagy komplex) a hozzátartozó frekvenciatartományhoz képez le.

A Z-transzformáció fontos szerepet játszik a az irányítás és szabályozástechnikában, főként digitális szűrök tervezésében.

A Z-transzformációt gyakran tekintik a Laplace-transzformáció diszkrét idejű megfelelőjeként.

Definíció

A Z-transzformáció egy diszkrét függvényeteken elvégezhető transzformáció. A Z-transzformáció lehet egyoldali vagy kétoldali.

Kétoldali Z-transzformáció

Legyen $x[n]$ egy diszkrét függvény, ahol $n$ egy egész számot jelöl. A függvény Z-transzformáltja $X(z)$ a következő Laurent-sor:

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$.

A változó $z=re^{i\phi }$ egy komplex szám, ahol $r$ $z$ modulusa és $\phi$ pedig $z$ szöge.

Egyoldali Z-transzformáció

A Z-transzformáció definiálható egy hatványsorként is

$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$.

A jelfeldolgozás területén az egyoldali Z-transzformáció a kauzális jeleknél játszik fontos szerepet.

Konvergenciasugár

Konvergenciasugárnak (gyakran ROC, angolul ´region of convergence´) nevezzük azoknak a pontoknak halmazát, ahol a Z-transzformált definíciójában levő sor konvergens.

$\mathrm {ROC_{x}} =\left\{z:|X(z)|=\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}$

Az abszolút értékek tulajdonságait kihasználva $|X(z)|$ felállítható az alábbi egyenlőtlenség:

$\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|\leq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x[n]z^{-n}\right|=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x[n]\right|\left|z\right|^{-n}$

Ebből következik, hogy konvergenciasugár nem csak a transzformálandó $x[n]$ függvénytől hanem $z$ modulusától $r$-től is if függ.

$X(z)$ továbbá felbontható egy pozitív $X_{+}(z)$ és negatív $X_{-}(z)$ részre:

$X(z)=\underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}$

A transzformálandó függ Egy Z-transzformált $X(z)$ eredeti függvénye csak akkor egyértelmű, ha konvergenciasugár meg van adva. Ezt a tulajdonságot illusztrálni be lehet mutatni két különböző függvénnyel $x_{1}[n]$ és $x_{2}[n]$ melyeknek megegyezik a Z-transzformáltja, viszont a konvergenciasugaruk különbözik. Mindkét esetben a végtelen a Z-transzformált a mértani sor összegképletével $\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}={\frac {1}{1-q}}$ lett kiszámítva. Fontos megjegyezni, hogy a képlet csak akkor alkalmazható, ha a hányados $q$ abszolút értéke kisebb, mit 1.

Legyen az első függvény $x_{1}[n]$ egy exponenciálisan növekedő kauzális függvény:

$x_{1}[n]=a^{n}H[n]$

(H[n] a Heaviside-függvényt jelöli).

$x_{1}[n]$ Z-transzformált a következő:

$X_{1}(f)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a^{n}z^{-n}\sigma [n]=\sum _{n=0}^{+\infty }(az^{-1})^{n}={\frac {1}{1-az^{-1}}}$

A Z-transzformált, csak akkor létezik ha $|az^{-1}|<1$. Ebből következik, hogy $x_{1}[n]$ Konvergenciasugara:

$\mathrm {ROC_{x_{1}}} =\left\{z\in \mathbb {C} :|a|<|z|\right\}$

$x_{2}[n]=-a^{n}H[-n-1]$

$X_{2}(f)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }=-a^{n}H[-n-1]=-\sum _{n=-\infty }^{-1}=-a^{n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}=-a^{n}$

Átviteli függvény

Lineáris differenciaegyenletek konstans együtthatókkal egy hasznos eszköz diszkrét-LTI-rendszerek leírására.

$\sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}$

Tulajdonságok

Legyen $x[n]$ egy függvény az időtartományban és $X(z)$ a Z-transzformált. A

Tulajdonság	Időtartomány	Z-Transformált	Konvergencia terület	Megjegyzés
Linearitás	$ax_{1}[n]+bx_{2}[n]$	$aX_{1}(z)+bX_{2}(z)$	$ROC_{X_{1}}\cap ROC_{X_{2}}$	$a,b\in \mathbb {C}$
Késés	$x[n-k]$	$z^{k}X(z)$	$ROC_{X}$. $0\not \in ROC_{X}$ ha $k>0$. $\infty \not \in ROC_{X}$ ha $k<0$	$k\in \mathbb {N}$ és $x[n]=0,\forall n<0$
Sietés	$x[n+k]$	Kétoldali: $z^{k}X(z)$. Egyoldali: $z^{k}X(z)-z^{k}\sum _{n=0}^{k-1}x[n]z^{-n}$	$ROC_{X}$. $0\not \in ROC_{X}$ ha $k>0$. $\infty \not \in ROC_{X}$ ha $k<0$	$k\in \mathbb {N}$ és $x[n]=0,\forall n<0$
Inverzió	$x[-1]$	$X(z^{-1})$	$ROC_{X}$. $0\not \in ROC_{X}$ ha $k>0$. $\infty \not \in ROC_{X}$ ha $k<0$	$k\in \mathbb {Z}$

Kapcsolata a Fourier-transzformációval

Ha a $z$ változót $e^{i\phi }$-re korlátozzuk (tehát $z$ abszolút értéke mindig 1), akkor megkapjuk $x[n]$ Fourier-transzformáltját.

$X(e^{i\phi })={\mathcal {F}}{\bigl \{}x[n]{\bigr \}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-i\phi n}$

Fourier-transzformált csak akkor létezik, ha $x[n]$ abszolút összeadható (azaz $\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|<\infty$). Ez azt jelenti, hogy sok függvénycsoportnak nincsen Fourier-transzformáltja (exponenciálisan növekvő függvényeknél).

A modulus $A$ bevezetésével kiterjeszthető transzformációt kapjuk.

$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n](Ae)^{-i\phi n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]A^{-n})e^{-i\phi n}={\mathcal {F}}{\bigl \{}x[n]A^{-n}{\bigr \}}$

Ha $A<1$ és $n>0$, akkor $x[n]$ "tompítva" lesz, ezért a Z-transzformáció nagyobb függvénycsoportokra alkalmazható, mint a Fourier-transzformáció.

Kapcsolata a Laplace-transzformációval

Legyen $x(t)$ egy folytonos függvény. Ha $x(t)$-ből $T$ időközönként mintát veszünk, akkor egy diszkrét függvényt ${\hat {x}}[t]$ nyerünk. A függvény diszkrét egy Dirac-delta függvénysorozat segítségével $T$ történik meg:

${\hat {x}}[t]=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT)$

${\hat {x}}[t]$ Laplace-transzformáltja az alábbi:

${\mathcal {L}}\left\{{\hat {x}}[t]\right\}={\mathcal {L}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT)\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\cdot {\mathcal {L}}\left\{\delta (t-nT)\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\cdot e^{-n\cdot s\cdot T}$

${\hat {x}}[t]$ Laplace-transzformáltja összehasonlítható z-transzformáltjával:

$Z\{{\hat {x}}[t]\})=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\cdot z^{-n}$

Ebből következik egy egyenlőség állítható fel a Z-Transzformált és a Laplace-transzformált között:

${\mathcal {L}}\left\{{\hat {x}}[t]\right\}=Z\{{\hat {x}}[t]\})\vert _{z=e^{sT}}$

Tehát a kapcsolat a z-sík és az s-sík között a következő:

$z=e^{sT}$

Továbbá a változó $s$ felbontható egy valós $\sigma$ és komplex $\omega$ részre.

$z=e^{(\sigma +i\cdot \omega )T}=e^{\sigma \cdot T}\cdot e^{i\cdot \omega \cdot T}$

Így egy egyenlőség felállítható $z=(A,\phi )$ komponensei (geometriai modellben megadva) és $s=(\theta ,\omega )$ komponensei (halmazelméleti modellben megadva) között:

$A=e^{\sigma \cdot T},\phi =\omega \cdot T$

Bilineáris transzformáció

Ha egy lineáris Z-Átviteli függvénybe a $z=e^{sT}$ szubsztitúciót használjuk, akkor az a probléma lép fel, hogy a keletkező S-átviteli függvény nem lesz lineáris. Bilineáris transzformáció úgy oldja meg ezt a problémát, hogy a kifejezést $e^{sT}$ egy alternatív formában reprezentálja:

$e^{sT}={\frac {e^{\frac {sT}{2}}}{e^{-{\frac {sT}{2}}}}}$

.

Ezt az alternatív formát pedig kifejti egy Taylor-sorrá:

${\frac {e^{\frac {sT}{2}}}{e^{-{\frac {sT}{2}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\frac {\left({\frac {sT}{2}}\right)^{n}}{n!}}{\frac {\left(-{\frac {sT}{2}}\right)^{n}}{n!}}}=1+{\frac {\frac {sT}{2}}{-{\frac {sT}{2}}}}+{\frac {\frac {(sT)^{2}}{8}}{\frac {(sT)^{2}}{8}}}\dots$

.

A sor első két tagja $z$lineáris közelítése egy lineáris közelítés, ami egyben bilineáris transzformáció definíciója:

$z={\frac {1+{\frac {sT}{2}}}{1-{\frac {sT}{2}}}}$

A fordított bilineáris transzformációt, akkor kapjuk meg, ha felső képlet $s$-re megoldjuk:

$s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}$

Példa

Legyen $H_{s}(s)$ egy alul áteresztő szűrő S-átviteli függvénye:

$H_{s}(s)={\frac {1}{1+\tau s}}$

A bilineáris transzformációval létrehozott Z-átviteli függvény az alábbi

$H_{z}(s)=H_{s}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)={\frac {1}{1+\tau {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}}={\frac {1+z^{-1}}{(1+2{\frac {\tau }{T}})+(1-2{\frac {\tau }{T}})z^{-1}}}$

Definíció

Legyen $A$ négyzetes $n\times n$ mátrix, aminek az elemei egy test $\mathbb {K}$ része. $A$ karakterisztikus polinomjának a definíciója:

$p_{A}(t)=\det(A-tI_{n})$.

Karakterisztikus mátrix

A kifejezést $A-tI_{n}$ karakterisztikus mátrixnak nevezik:

$A-tI_{n}={\begin{bmatrix}a_{11}-t&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-t&a_{23}&&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}-t&\dots &a_{3n}\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\dots &a_{nn}-t\end{bmatrix}}$

Karakterisztikus egyenlet

Az egyenlet $p_{A}(\lambda )=0$ karakterisztikus egyenletnet nevezik. Az egyenlet megoldása, azaz a karakterisztikus polinomjának gyökei, $A$ sajátértékei $\lambda _{i}$. A karakterisztikus polinom ezért kifejezhető mint:

$p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})^{\mu _{a}(\lambda _{1})}(t-\lambda _{1})^{\mu _{a}(\lambda _{2})}\cdots (t-\lambda _{n})^{\mu _{a}(\lambda _{n})}$

ahol $\mu _{a}(\lambda _{i})$ a sajátérték algebrai multiplicitása.

Tulajdonságok

• Egy $n\times n$ mátrix karakterisztikus polinomja foka $n$.
• Karakterisztikus polinom főegyütthatója 1.
• Ha két $n\times n$ mátrix $A$ és $B$ hasonló, akkor a karakterisztikus polinomok $p_{A}(t)$ és $p_{B}(t)$ azonosak.
• Egy mátrixnak $A$ és annak a transzponáltjának $A^{T}$ azonosak karakterisztikus polinomjai.

Speciális mátrixok

$2\times 2$ mátrix

Ha egy mátrix $2\times 2$ akkor karakterisztikus polinomja

$p_{A}(t)=$