Szerkesztő:05storm26/Egyszerű csoport

A matematikában az egyszerű csoport olyan nemtriviális csoportot jelent, amelynek minden normális részcsoportja vagy triviális csoport vagy önmaga. Egy nem egyszerű csoport felbontható két kisebb csoportra, egy normál részcsoportra és egy hányados csoportra, majd a felbontás folytatható a hányados csoporton. A Jordan–Hölder tétel szerint pedig ha egy csoport véges csoport, akkor így végül egy olyan felbontást kapunk, amely egyértelműen meghatározott egyszerű csoportokból áll. A véges egyszerű csoportok osztályozása a matematika egy fontos eredménye.

Példák

Véges egyszerű csoportok

A G = Z/3Z mod 3-mas maradékosztályok csoportja, ciklikus csoport például egyszerű. Ha H ennek egy részcsoportja, akkor H rendje (véges csoport esetén az elemszám) osztja G rendjét, ami jelen esetben 3. Mivel 3 prímszám így, az osztói csak az 1 és a 3 vagyis H vagy megegyezik G-vel vagy pedig a triviális csoporttal. Másrészről a G = Z/12Z csoport nem egyszerű. A H halmaz, amelynek elemei a 0, 4, 8, modulo 12 kongruenciaosztályok, egy részcsoport, amelynek rendje 3 és egy normális részcsoport, hiszen egy Abel-csoport bármely részcsoportja normális. Hasonlóan Z additiv csoportja sem egyszerű mivel a páros számok additiív csoportja egy nem triviális valódi normális részcsoport.

Az előbbi érvelés alkalmazható bármely Abel-csoprtra, és így levonhatjuk azt a következtetést, hogy kizárólag csak azok a ciklikus csoportok egyszerű Abel-csoportok, amelyek rendje prímszám. A nem kommutatív egyszerű csoportok osztályozása már nem ilyen egyszerű. A legkisebb egyszerű nem Abel-csoport csoport az A₅, 60-as rendű alternáló csoport. Minden 60-as rendű egyszerű csoport izomorf A₅-tel. A második legkisebb nem kommutatív egyszerű csoport az a projektív lineáris csoport speciális esete PSL(2,7), amelynek rendje 168. Bizonyítható, hogy minden egyszerű csoport, amelynek rendje 168, izomorf PSL(2,7)-tel.

Végtelen egyszerű csoportok

A végtelen alternáló csoport pl. az egész számok páros permutációjának csoportja $A_{\infty }$ egyszerű csoport. Ez a csoport definiálható úgy mint a véges egyszerű $A_{n}$ csoportok egyre növekvő uniója, figyelmbe véve a sztandard $A_{n}\to A_{n+1}$ beágyazódást.

Osztályozás

A nem felétlenül véges egyszerű csoportoknak jelenleg nincs ismert osztályozása.

Véges egyszerű csoportok

Sablon:Details A véges egyszerű csoportok azért fontosak mivel éppúgy a véges csoportok alapvető építőköveinek tekinthetőek, mint a prímszámok az egész számok esetén. Ezt a hasonlóságot fejezi ki a Jordan–Hölder tétel, ami szerint bármely csoport két normálláncának ugyanannyi eleme van és az elemeik megegyeznek az izomorfizmustól és a sorrendtől eltekintve. Nagymértékű eggyüttműködés eredményeként 1983-ra elkészült a véges egyszerű csoportok osztályozása (noha a bizonyítás néhány része csak később, 2004-ben készült el teljesen).

Röviden a véges egyszerű csoportok osztályozása azt állítja, hogy bármely véges egyszerű csoport vagy beleesik 18 család egyikébe vagy pedig egyike a 26 kivételnek:

• A Z_p – prímrendű ciklikus csoportok családja
• Az A_n – $n\geq 5$ alternáló csoportok családja
• A Lie-tipusú csoportok családjai (16 db ilyen család van).
• A 26 kivétel (a sporadikus csoportok) közül 20 a szörnyeteg részcsoportja vagy részhányadosa.

A véges egyszerű csoportok szerkezete

A híres Feit–Thompson-tétel alapján minden páratlan rendű véges csoport feloldható. Vagyis bármely véges egyszerű csoport páros rendű kivéve ha prímrendű ciklikus csoport.

A Schreier sejtés szerint minden véges egyszerű csoport külső automorfizmuscsoportjai feloldhatóak. Ez az osztályozás segítségével belátható.

A véges egyszerű csoportok története

A véges egyszerű csoportok története alapvetően két részre bontható, az első bizonyos speciális egyszerű véges csoportok felfedezésétől, megkonstruálásától (Galois, 1820) a Szörny-csoport (Monster group) 1981-es megkonstruálásáig tart; míg a második rész annak a tételnek a bizonyítása, ami azt állítja, hogy az eddig felfedezett ilyen csoportokon kívül, (az izomorfizmustól eltekintve) nincs más véges egyszerű csoport. Ez a második rész nagyrészt 1955-től 1983-ig tartott (ekkor jelentették be először a sikert), noha a bizonyítás 2004-ig nem volt teljes. A bizonyítás javítása, illetve a megértése ma is folyamatban van. Lásd (Silvestri 1979)-t az egyszerű csoportok 19. századi történetért.

Konstrukció

Az egyszerű csoportokat már a Galois elmélet kezdetétől, vagyis amikor Éveriste Galois felfedezte, hogy az 5 vagy több pont fölötti alternáló csoportok egyszerűek (és így nem feloldhatóak) tanulmányozták. Galois ezt 1831-ben bizonyította be, ami egyben annak a bizonyítása is, hogy a 5. és a magasabb fokú polinomok gyökeire nem adható általános megoldóképlet, amely csak a 4 alapműveletet és a gyökvonást használja. Galois szintén tanulmányozta a sík projektív lineáris csoportját.

1870-ben dan felfedCamille Jorezett a véges prímrendű testek fölötti mátrixok egyszerű csoportjainak családjai közül 4-et, amelyek ma klasszikus csoportok néven ismertek.

Ezzel egy időben, bebízonyították, hogy az öt csoportot tartalmazó úgynevezett Mathieu csoportok (Émile Léonard Mathieu 1861 és 1873 között) szintén egyszerűek. Mivel ez az 5 csoport, olyan, hogy nem létezik belőlük végtelen sok így sporadikus csoportoknak hívjuk őket. (William Burnside 1897)

Ekkor azt hitték, hogy ezek a csoportok (a Lie csoportok, a ciklikus csoportok, az alternáló csoportok és az 5 kivételes Mathieu csoport) az összes egyszerű csoportot lefedik, de később majdnem egy évszázaddal Mathie után 1964-ben az első Janko csoport felfedezésekor ez megdőlt. Később a maradék 20 sporadikus csoportot 1964 és 1975 között vagy felfedezték vagy megsejtették. A munka 1981-ben ért véget amikor Robert Griess bejelentette a Szörny csoportot felfedezését. A Szörny a legnagyobb sporadikus egyszerű csoport; a rendje pedig: 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000. A szörny csoport a szimmetria csoportja egy 196 883 dimenziós Griess algebrának. (vagyis a szörny csoport elemei felírhatóak 196 883 oldalú négyzetes mátrixként)

Osztályozás

A teljes osztályozás az 1962-es Feit–Thompson tétellel kezdődik és a 1983-as bizonyítással zárul (a részleteket teljesen csak 2004-re dolgozták ki).

A Szörny csoport felfedezése után a csoportelmélettel fogalalkozó matematikusok bebizonyították, hogy az eddig ismert véges egyszerű csoportokon kívül nincs több. A bizonyítás több mint 10 000 oldalas. A bizonyításba hiba csúszott amit egy 1300 oldalas bizonyítással 2004-ben pótoltak.

Teszt a nem-egyszerűségre

Sylows'-teszt: Legyen n egy pozitív egész nem prím szám, p pedig n egy pírmosztója. Ha n osztói közül csak az 1-re teljesül hogy kongruens 1-gyel modulo p, akkor nem létezik olyan egyszerű csoport amelynek a rendje n.

Bizonyítás: Ha n prímhatvány, akkor bármely n-ed rendű csoportnak a közepe nemtriviális így nem egyszerű csoport. Ha n nem prímhatvány, akkor bármely n-ed rendű csoport mindegyik Sylow-részcsoportja valódi részcsoport is és Sylow harmadik tétele alapján egy csoport p-Sylow-részcsoportjainak száma mindig kongruens 1-gyel modulo p és osztja n-t a csoport rendjét. Mivel a tétel feltételezese szerint csak az 1-re teljesül ez így ebből következik hogy a Sylow-részcsoport egyedi és emiatt normál részcsoport is. Mivel ez a részcsoport valódi normál részcsoport így a csoport nem lehet egyszerű.

Burnside-teszt: Egy nem kommutatív véges egyszerű csoport rendje osztható legalább három különböző prímszámmal. Ha ez nem áll fenn akkor az adott véges nem kommutatív csoport nem lehet egyszerű. Ez a Burnside-tételből következik.

Lásd még

• Majdnem egyszerű csoport
• Karakterisztikusan egyszerű csoport
• Kváziegyszerű csoport
• Véges egyszerű csoport listája

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Simple group című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

Könyvek

• Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups, vol. 251, Graduate Texts in Mathematics 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-84800-987-5, DOI 10.1007/978-1-84800-988-2
• Burnside, William (1897), Theory of groups of finite order, Cambridge University Press

• Knapp, Anthony W. (2006), Basic algebra, Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
• Rotman, Joseph J. (1995), An introduction to the theory of groups, vol. 148, Graduate texts in mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-94285-8
• Smith, Geoff & Tabachnikova, Olga (2000), Topics in group theory (2 ed.), Springer undergraduate mathematics series, Springer, ISBN 978-1-85233-235-8

Publikációk

• doi:10.1007/BF00327738

Külső források

• The alternating group A_n is simple a PlanetMath oldalain