Riemann-integrálás

Az integrálszámítás tágabb értelemben a matematika analízis nevű ágának a része, újabb és szűkebb értelemben azonban csak a primitív függvények meghatározásának módszertanát és technikáit értjük alatta. Eredeti tárgykörét a 20. században jelentős eredményekkel gazdagított mérték- és integrálelmélet fogadta magába.

A matematikában az integrál fogalma alatt általában a valós függvénytan kalkulusán belül oktatott, Riemann-féle integrál fogalmát értjük, és az integrálszámítás szűkebb értelemben vett célja valós függvények primitív függvényeinek meghatározása, és ezek alkalmazása különféle (például geometriai és statikai) problémák megoldásában.

Alapintegrálok

Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket.

$\int x^{n}\,dx$	$={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c$	$(x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} )$	$\int x^{\alpha }\,dx$	$={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+c$	$(x\in \mathbb {R} ^{+},-1\neq \alpha \in \mathbb {R} )$
$\int {\frac {1}{x}}\,dx$	$=\,\ln |x|+c$	$(0\neq x\in \mathbb {R} )$	$\int e^{x}\,dx$	$=\,e^{x}+c$	$(x\in \mathbb {R} )$
$\int a^{x}\,dx$	$={\frac {a^{x}}{\ln a}}+c$	$(x\in \mathbb {R} ,1\neq a\in \mathbb {R} ^{+})$	$\int \sin x\,dx$	$=-\cos x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$
$\int \cos x\,dx$	$=\sin x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$	$\int {\frac {1}{\sin ^{2}x}}\,dx$	$=-\mathrm {ctg} \,x\,+c$	$(k\pi \neq x\in \mathbb {R} ,k\in \mathbb {Z} )$
$\int {\frac {1}{\cos ^{2}x}}\,dx$	$=\mathrm {tg} \,x\,+c$	$({\frac {k\pi }{2}}\neq x\in \mathbb {R} ,k\in \mathbb {Z} )$	$\int \mathrm {sh} \,x\,dx$	$=\mathrm {ch} \,x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$
$\int \mathrm {ch} \,x\,dx$	$=\mathrm {sh} \,x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$	$\int {\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}x}}\,dx$	$=-\mathrm {cth} \,x\,+c$	$(0\neq x\in \mathbb {R} )$
$\int {\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}x}}\,dx$	$=\mathrm {th} \,x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$	$\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx$	$=\mathrm {arc\,tg} \,x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$
$\int {\frac {1}{1-x^{2}}}\,dx$	$={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {x+1}{x-1}}\right|+c$	$=\left\{{\mathrm {ar\,th} \,x+c\quad (1>|x|\in \mathbb {R} ) \atop \mathrm {ar\,cth} \,x+c\quad (1<|x|\in \mathbb {R} )}\right.$	$\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx$	$=\mathrm {arc\,sin} x\,+c$	$(1>|x|\in \mathbb {R} )$
$\int {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,dx$	$=\mathrm {ar\,sh} \,x+c$	$(x\in \mathbb {R} )$	$\int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\,dx$	$=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+c$	$=\left\{\;{\mathrm {ar\,ch} \,x+c\quad \quad (1<x\in \mathbb {R} ) \atop \!-\mathrm {ar\,ch} (-x)+c\quad (1>x\in \mathbb {R} )}\right.$

Általános integrálási szabályok

Tagonkénti integrálás

A tagonkénti integrálás az integrálandó lineáris kifejezések széttagolhatóságát jelenti, a következő műveleti tulajdonságok folytán:

Additivitás

Összegfüggvény (különbségfüggvény) primitív függvénye a tagok primitív függvényeinek összege (különbsége).

$\int (f(x)\pm g(x))\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx$

Homogenitás

Függvény konstansszorosának primitív függvénye a függvény primitív függvényének konstansszorosa.

$\int c\,f(x)\,dx=c\int f(x)\,dx$

Tagonként integrálható függvények például a polinomfüggvények.

Parciális integrálás

A vizsgált intervallumon folytonosan differenciálható f és g függvények esetén

$\int f(x)\,g'(x)\,dx=f(x)\,g(x)-\int f'(x)\,g(x)\,dx$

Parciálisan integrálhatók például a sinⁿ x, cosⁿ x, e^xsinⁿ x és e^xcosⁿ x függvények, továbbá P(x) valós polinomfüggvény esetén parciálisan integrálható:

• $P(x)\,e^{x}\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=e^{x}$  választással;
• $P(x)\ln x\qquad f(x)=\ln x,\ g'(x)=P(x)$  választással;
• $P(x)\sin x\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=\sin x$  választással;
• $P(x)\cos x\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=\cos x$  választással;
• $P(x)\,\mathrm {arc\,sin} \;x\qquad f(x)=\mathrm {arc\,sin} \;x,\ g'(x)=P(x)$  választással;
• $P(x)\,\mathrm {arc\,tg} \;x\qquad f(x)=\mathrm {arc\,tg} \;x,\ g'(x)=P(x)$  választással.

Helyettesítéses integrálás

A vizsgált intervallumon folytonos f és folytonosan differenciálható g függvény esetén, ha F = ∫ f(x) dx, akkor

$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C$

Megjegyzés. A helyettesítést az f( g(x) ) g'(x) alakú integrandus esetén konkrétan is elvégezhetjük, ha bevezetjük a t = g(x) új integrálási változót. Ennek differenciálja pont dt = g'(x) dx, így ekkor az integrál ∫ f(t) dt alakot ölt:

$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\left.\int f(t)\,dt\,\right|_{t=g(x)}=F(t){\Big |}_{t=g(x)}+C=F(g(x))+C$

Nevezetes alesetek:

$\int f(ax+b)\,dx$	$={\frac {F(ax+b)}{a}}+C$
(a lineáris belső függvény esete)
$\int [g(x)]^{\alpha }\,g'(x)\,dx$	$\ ={\frac {[g(x)]^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+C$	$(\alpha \neq -1)$	$\int {\frac {g'(x)}{g(x)}}\,dx$	$\ =\ln |g(x)|+C$
Az utolsó példa konkrét alkalmazásaiként kapjuk, hogy
$\int \mathrm {tg} \;x\,dx$	$=-\int {\frac {\cos '(x)}{\cos(x)}}\,dx$	$\ =-\ln |\cos x|+C$
illetve
$\int \mathrm {ctg} \;x\,dx$	$=\int {\frac {\sin '(x)}{\sin(x)}}\,dx$	$=\ \ln |\sin x|+C$

Speciális integrálási módszerek

Racionális törtfüggvények integrálása

Egy valós változóból és valós számokból a négy alapművelettel képzett, végső soron két polinom hányadosaként előálló $\,R(x)$ racionális törtfüggvény integrálása a következő lépésekben történhet:

1. A valós együtthatós racionális $\,R(x)$ törtfüggvényt maradékos osztással az $R(x)=r(x)+{\frac {P(x)}{Q(x)}}$ alakra hozzuk, ahol a $\,P(x)$ polinom fokszáma már kisebb, mint a $\,Q(x)$ polinom fokszáma.
2. A $\,Q(x)$ nevezőt első- és (negatív diszkriminánsú) másodfokú főpolinomok egyértelműen előálló szorzatára bontjuk:

$Q(x)=a_{0}(x-a_{1})^{k_{1}}\cdots (x-a_{n})^{k_{n}}(x^{2}-b_{1}x-c_{1})^{l_{1}}\cdots (x^{2}-b_{m}x-c_{m})^{l_{m}}$

1. A ${\frac {P(x)}{Q(x)}}$ törtet a $\,Q(x)$ faktorainak megfelelő parciális törtek összegére bontjuk fel: ${\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {A_{11}}{x-a_{1}}}+{\frac {A_{12}}{(x-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {A_{1k_{1}}}{(x-a_{1})^{k_{1}}}}+\cdots$ $\cdots +{\frac {A_{n1}}{x-a_{n}}}+{\frac {A_{n2}}{(x-a_{n})^{2}}}+\cdots +{\frac {A_{nk_{n}}}{(x-a_{n})^{k_{n}}}}+$               $+{\frac {B_{11}x+C_{11}}{x^{2}+b_{1}x+c_{1}}}+\cdots +{\frac {B_{1l_{1}}x+C_{1l_{1}}}{(x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{l_{1}}}}+\cdots$   $\cdots +{\frac {B_{m1}x+C_{m1}}{x^{2}+b_{m}x+c_{m}}}+\cdots +{\frac {B_{ml_{m}}x+C_{ml_{m}}}{(x^{2}+b_{m}x+c_{m})^{l_{m}}}}$ A parciális törtek $\,A_{ij},B_{ij},C_{ij}$ együtthatói a megfelelő lineáris egyenletrendszer megoldásával számíthatók ki.
2. A parciális törtekre bontott kifejezést tagonként integráljuk a következő összefüggések alapján:
   • $\int {\frac {A}{x-a}}\,dx=A\ln |x-a|$
   • $\int {\frac {A}{(x-a)^{k}}}\,dx={\frac {A}{(1-k)(x-a)^{k-1}}}\quad (1<k\in \mathbb {N} )$
   • $\int {\frac {Bx+C}{x^{2}+bx+c}}\,dx={\frac {B}{2}}\ln |x^{2}+bx+c|+{\frac {C-{\frac {Bb}{2}}}{\sqrt {c-{\frac {b^{2}}{4}}}}}\,\arctan {\frac {x+{\frac {b}{2}}}{\sqrt {c-{\frac {b^{2}}{4}}}}}$
   • $\int {\frac {Bx+C}{(x^{2}+bx+c)^{l}}}\,dx={\frac {B}{2}}{\frac {(x^{2}+bx+c)^{1-l}}{1-l}}+\left(C-{\frac {Bb}{2}}\right)\int {\frac {1}{(x^{2}+bx+c)^{l}}}$
     Az utolsó integrandus nevezőjében lévő másodfokú polinomot pedig teljes négyzetté alakítva, a megfelelő helyettesítéssel az integrál $I_{l}=\int {\frac {1}{(t^{2}+1)^{l}}}$ alakúra hozható, amelyet a következő redukciós formula segítségével számíthatunk ki: $I_{l}={\frac {1}{2l-2}}{\frac {t}{(t^{2}+1)^{l-1}}}+{\frac {2l-3}{2l-2}}I_{l-1}$

Trigonometrikus függvények integrálása

Trigonometrikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett $\,R(\sin x,\cos x)$ racionális kifejezések integrálása a $t=\tan {\frac {x}{2}}$ helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből $\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}$; $\cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$ és $dx={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt$ adódik.

Exponenciális függvények integrálása

Az exponenciális függvényből és valós számokból a négy alapművelettel képzett $\,R(e^{x})$ racionális kifejezések integrálása a $\,t=e^{x}$ helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből $dx={\frac {1}{t}}\,dt$ adódik.

Hiperbolikus függvények integrálása

Hiperbolikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett $\,R(\sinh x,\cosh x)$ racionális kifejezések integrálása a $t=\tanh {\frac {x}{2}}$ helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből $\sinh x={\frac {2t}{1-t^{2}}}$; $\cosh x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}$ és $dx={\frac {2}{1-t^{2}}}\,dt$ adódik.

Minthogy azonban a hiperbolikus függvények voltaképpen speciális exponenciális függvények, az exponenciális függvények integrálási módszere is alkalmazható rájuk.

Irracionális függvények integrálása

A négy alapműveleten kívül gyökvonást vagy törtkitevőt is tartalmazó irracionális kifejezések integrálása a megfelelő helyettesítéssel sok esetben szintén visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására. A legfontosabb esetek a következők:

• $R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})$ alakú kifejezés integrálása ${\frac {x}{a}}=\sin t$ helyettesítéssel;
• $R(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}})$ alakú kifejezés integrálása ${\frac {x}{a}}=\sinh t$ helyettesítéssel;
• $R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})$ alakú kifejezés integrálása $x\geq 0$ esetén ${\frac {x}{a}}=\cosh t$, illetve $x\leq 0$ esetén ${\frac {x}{a}}=-\cosh t$ helyettesítéssel;
• $R(x^{\frac {p_{1}}{q_{1}}},\dots ,x^{\frac {p_{n}}{q_{n}}})$ alakú kifejezés integrálása $\,x=t^{q}$ helyettesítéssel, ahol $\,q$ a kitevők $q_{1},\dots ,q_{n}$ nevezőinek legkisebb közös többszöröse.

Az Euler-féle helyettesítések

$R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})$ alakú irracionális kifejezések integrálása a következő helyettesítések valamelyikével általában visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására:

• ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t\pm x{\sqrt {a}}\qquad (a>0)$;
• ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=tx\pm {\sqrt {c}}\qquad (c>0)$;
• ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t(x-x_{0}),$ ahol $\,x_{0}$ az $\,ax^{2}+bx+c$ polinom valós gyöke.

A határozott integrál alkalmazásai

Területszámítás

Görbe alatti terület

Az $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ határozott integrál geometriai jelentése: az $x=a$, $x=b$, $y=0$ egyenesek és az $y=f(x)$ függvénygörbe által határolt síkidom előjeles területe (abban az értelemben, hogy az x tengely alá eső területrészt az integrál negatív előjellel számolja). Ebből következik, hogy az $f(x)$ és $g(x)$ függvénygörbék, valamint az $x=a$ és $x=b$ egyenesek által határolt síkidom területe:

$\left|\int \limits _{a}^{b}[f(x)-g(x)]\,dx\right|$

Az $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t\in [a,b]$ paraméteres alakban megadott görbe alatti terület:

$\int \limits _{a}^{b}|x'(t)y(t)|\,dt$

Szektorterület

Az $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t\in [a,b]$ paraméteres alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:

${\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[x(t)y'(t)-x'(t)y(t)]\,dt$

Az $r=r(\varphi )$, $\varphi \in [\alpha ,\beta ]$ polárkoordinátás alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:

${\frac {1}{2}}\int \limits _{\alpha }^{\beta }r^{2}(\varphi )\,d\varphi$

Ívhosszszámítás

Ha az $f(x)$ függvény az $[a,b]$ intervallumon differenciálható, és $f'(x)$ ugyanitt folytonos, akkor a függvénygörbe hosszúsága az adott intervallumon:

$\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx$

Az $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t\in [a,b]$ paraméteres alakban megadott folytonos ív hossza:

$\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt$

Az $r=r(\varphi )$, $\varphi \in [\alpha ,\beta ]$ polárkoordinátás alakban megadott folytonos ív hossza:

$\int \limits _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {[r(\varphi )]^{2}+[r'(\varphi )]^{2}}}\,d\varphi$

Térfogatszámítás

Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos $f(x)$ függvény írja le, akkor a forgástestnek a tengely $[a,b]$ szakaszára eső térfogata:

$\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx$

Az $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t\in [a,b]$ paraméteres alakban megadott folytonos ív x tengely körüli megforgatásával nyert forgástest térfogata:

$\pi \int _{a}^{b}y^{2}(t)\,x'(t)\,dt$

Felszínszámítás

Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos $f(x)$ függvény írja le, akkor a tengely $[a,b]$ szakasza körüli palást felszíne:

$2\pi \int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx$

Az $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t\in [a,b]$ paraméteres alakban megadott folytonos ív x tengely körüli megforgatásával nyert forgástest palástjának felszíne:

$2\pi \int \limits _{a}^{b}y(t){\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt$

Súlypontszámítás

Az $f(x)$ függvénygörbe a és b abszcisszájú pontok által határolt ívének a súlypontja:

$x_{s}={\frac {\int \limits _{a}^{b}x{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}{\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}}\qquad y_{s}={\frac {\int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}{\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}}$

Ugyanezen ív alatti lemez súlypontja:

$x_{s}={\frac {\int \limits _{a}^{b}xf(x)\,dx}{\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}}\qquad y_{s}={\frac {\int \limits _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx}{2\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}}$

Az ívet az x tengely körül megforgatva, a kapott forgástest súlypontjának abszcisszája pedig:

$x_{s}={\frac {\int \limits _{a}^{b}xf^{2}(x)\,dx}{\int \limits _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx}}$

Források

• Weisstein, Eric W.: Riemann-integrál (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Bevezetés az integrálásba
• Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano. 5. fejezet, Thomas-féle Kalkulus I., 1. kiadás (magyar nyelven), Typotex: Budapest (2006). ISBN 963 9664 278