Helyettesítéses integrálás

A helyettesítéses integrálás egy matematikai módszer függvények integráljának kiszámítására vagy primitív függvényének meghatározására. A differenciálszámítás láncszabályának ellenpárja.

Legyen $I\subseteq {\mathbb {R} }$ egy intervallum, és $g:[a,b]\to I$ egy folytonos, legalább egyszer differenciálható függvény. Tegyük fel, hogy $f:I\to \mathbb {R}$ egy folytonos függvény, akkor:

\int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt.

A Leibniz-féle jelölést használva, az $x=g(t)$ behelyettesítés mindkét oldalát $t$ szerint deriválva megkapjuk a $dx/dt=g'(t)$ kifejezést, amely formálisan átírható a $dx=g'(t)\,dt$ alakra, mely a kívánt behelyettesítést adja $dx$ -re.

A szabályt lehet balról jobbra vagy jobbról balra alkalmazni. Az utóbbi eset u-helyettesítés néven is ismert.

Kapcsolat az analízis alaptételével

Az helyettesítéses integrálás levezethető az analízis alaptételéből, tehát a Newton–Leibniz-tételből:

Legyen $f:I\to \mathbb {R}$ és $g:[a,b]\to I$ két függvény, melyek eleget tesznek a következőknek: $f$ folytonos az $I$ intervallumban, és $g'\,$ is folytonos az $[a,b]$ zárt intervallumban. Ekkor az $f(g(t))\cdot g'(t)$ függvény is folytonos $[a,b]$ -ben. Ezekből következik, hogy a következő két integrál:

\int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx,

\int \limits _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt

létezik. Mivel $f$ folytonos, rendelkezik egy $F$ antideriválttal, és definiálható az $F\circ g$ függvénykompozíció. Mivel $F$ és $g$ legalább egyszer differenciálható, a láncszabály értelmében:

(F\circ g)'(t)=F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t).

Az analízis alaptételének kétszeri alkalmazása bizonyítja, hogy a két integrál egyenlő:

\int \limits _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)=F(g(b))-F(g(a))=\int \limits _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx,

tehát bizonyítja a helyettesítési szabály helyességét is.

Példák

Tekintsük a következő integrált:

\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx

Ha elvégezzük az $u=x^{2}+1$ behelyettesítést, azt kapjuk, hogy: $du=2x\ dx$ és

\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).

Fontos megjegyezni, hogy mivel az alsó határpontot (az $x=0$ -t) az $u=0^{2}+1$ kifejezéssel, valamint a felső határpontot (az $x=2$ -t) az $u=2^{2}+1=5$ kifejezéssel helyettesítettük, az $x$ visszahelyettesítése szükségtelen.

A következő integrál kiértékeléséhez érdemes a helyettesítést jobbról balra alkalmazni:

\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx.

Az $x=\sin(u)$ behelyettesítés hasznos, mivel így $dx=\cos(u)\ du$ , és $u\in [0,\pi /2]$ -re teljesül ${\sqrt {(1-\sin ^{2}(u))}}=\cos(u)$ . A behelyettesítést elvégezve a következő eredményt kapjuk:

\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(u)}}\cos(u)\;du=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(u)\;du={\frac {\pi }{4}}

A $\cos ^{2}(u)$ integrálja kiszámítható parciális integrálással és trigonometrikus azonosságok alkalmazásával.

Antideriváltak

A behelyettesítési módszer az antideriváltak meghatározására is használható.

Példa az antiderivált meghatározásra:

\quad \int x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du={\frac {1}{2}}\sin u+C={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C

ahol $C$ tetszőleges integrálási konstans.

Mivel nem volt integrálási határpont (tehát az integrál határozatlan), az utolsó lépésben szükséges megfordítani az eredeti helyettesítést: $u=x^{2}+1$ .

Alkalmazás a valószínűségszámításban

A behelyettesítési módszer a következő fontos kérdés megválaszolásában használható a valószínűségszámításban:

Legyen adott egy $X$ valószínűségi változó $p_{x}$ valószínűség-sűrűséggel, és egy másik valószínűségi változó $Y$ , mely $X$ -hez az $Y=\Phi (X)$ egyenlettel kapcsolódik, ahol $\Phi$ egy injekció. A keresett mennyiség $Y$ valószínűség-sűrűsége.

A kérdés megválaszolható, ha előtte kiszámítjuk azt, hogy mi a valószínűsége annak, hogy $Y$ egy bizonyos $S$ részhalmazon nemnulla értéket vesz fel. Jelöljük ezt a valószínűséget $P(Y\in S)$ -ként.

Ha $Y$ valószínűségi sűrűsége $p_{y}$ , akkor a keresett mennyiség

P(Y\in S)=\int _{S}p_{y}(y)\,dy.

$Y$ akkor vesz fel nemnulla értéket az $S$ halmazon, ha $X$ nemnulla értéket vesz fel a $\Phi ^{-1}(S)$ halmazon, tehát

P(Y\in S)=P(X\in \Phi ^{-1}(S))=\int _{\Phi ^{-1}(S)}p_{x}(x)\,dx.

Az integrálban az $x$ változó helyére $y$ -t behelyettesítve

P(Y\in S)=\int _{\Phi ^{-1}(S)}p_{x}(x)~dx=\int _{S}p_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1}}{dy}}\right|~dy.

Ezt a kifejezést egyenlővé téve a $P(Y\in S)$ definíciójával a következőt kapjuk:

\int _{S}p_{y}(y)~dy=\int _{S}p_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1}}{dy}}\right|~dy.

Ebből következik, hogy:

p_{y}(y)=p_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1}}{dy}}\right|.

Abban az esetben, ha $X$ és $Y$ több korrelálatlan változótól függ, azaz $p_{x}=p_{x}(x_{1}\ldots x_{n})$ és $y=\Phi (x)$ , $p_{y}$ -t többváltozós behelyettesítéssel kapjuk meg, melynek eredménye

p_{y}(y)=p_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|\det \left[D\Phi ^{-1}(y)\right]\right|.

Irodalom

Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl. Real and abstract analysis. Springer-Verlag (1965). ISBN 978-0387045597.
Katz, V.. Change of variables in multiple integrals – Euler to Cartan. Mathematics Magazine 55 (1982). ISBN 978-0387045597.
Reiman István. Matematika. Typotex Kft (2011). ISBN 9789632793009
Gerőcs L.; Dr. Vancsó Ödön. Matematika. Akadémia Kiadó Zrt. (2010). ISBN 9789630584883

Kapcsolódó szócikkek

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap