Rámpafüggvény

Az ún. rámpafüggvény (angol átvétel: ramp function) egy elemi egyváltozós valós függvény. Egyszerűen számolható, mint a független változó és abszolútértékének számtani közepe. A függvényt a műszaki életben (például DSP) is alkalmazzák. A szabályozáselméletben egységnyi sebességugrás néven ismeretes.^[1]

A „rámpafüggvény” elnevezés onnan ered, hogy a függvénygrafikon lejtőre, rámpára hasonlít, a töréspont az origónál van.

Definíciói

R(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ;R(x):=

$=$ ${\frac {x+|x|}{2}}$
$=$ $\ {\begin{cases}x,&{\mbox{ha }}x\geq 0;\\0,&{\mbox{ha }}x<0\end{cases}}$
= x·H(x)
= H(x)oH(x)
^{ld. itt} $=$ $\int _{-\infty }^{x}H(x)dx$

(ahol H(x) az ún. Heaviside-függvény, o pedig a konvolúció művelete).

Analitikus tulajdonságok

Nemnegativitás

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolútértéke önmaga, azaz

∀x∈ℝ: R(x)≥0

és

|R(x)| = R(x) .

Bizonyítás: a [2] definíció alapján az I. negyedben nemnegatív, a másodikban nulla, így mindenhol nemnegatív.

Folytonosság

Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát a teljesen folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.

Derivált

Deriváltja a H(x) Heaviside-függvény ℝ\{0}-ra szűkítve:

R'(x) = H(x) ha x≠0 .

Ugyanis

ha x<0, akkor R(x)=0 konstans, tehát ezen a tartományon (ℝ^–-on) R'(x)=0 (konstans deriváltja 0); ami megegyezik a Heaviside-függvénnyel.
ha x>0, akkor R(x)=x, tehát ezen a tartományon (ℝ⁺) R'(x)=1 (a valós számokon értelmezett identitás deriváltja 1); ami megegyezik a Heaviside-függvénnyel.
0-ban a függvénynek töréspontja van, tehát nem deriválható (jobbról deriválva 0-t, balról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).

E tételből a Newton-Leibniz-tételt is figyelembe véve következik az [5]. definíció.

Fourier-transzformált

{\mathcal {F}}_{k}(R(x))

=

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ikx}R(x)dx

=

{\frac {i\delta '(k)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}k^{2}}}

Itt δ(x) az ún. Dirac-deltafüggvény (a képletben deriválva szerepel).

Algebrai tulajdonságok

Iteráció-invariancia

Az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív rendű iteráltja önmaga, minthogy

R(R(x)) = R(x) .

Biz.: $R(R(x)):={\frac {{\frac {x+|x|}{2}}+\left|{\frac {x+|x|}{2}}\right|}{2}}={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}$ $=$
$=$ ${\frac {2R(x)}{2}}=R(x)$ .