Nyújtott exponenciális függvény

A nyújtott exponenciális függvény az exponenciális függvény kiegészítése egy járulékos paraméterrel, ahol a kiterjesztő paraméter, a β:

$\varphi (t)=e^{-\left({t/\tau _{K}}\right)^{\beta }}$ . A legtöbb alkalmazásban a t argumentumnak csak 0 és +∞ között van értelme. β=1 esetén a standard exponenciális függvényt kapjuk. 0 és 1 közötti β értékeknél, a φ(t) - log(t) görbe megnyúlik, kiterjed, innen kapta a nevét. Az összenyomott exponenciális függvény (β>1 esetén) kisebb gyakorlati jelentőséggel bír, egy nevezetes kivétel a β=2, mely a normál eloszlás.

Matematikában a nyújtott exponenciális függvény, a komplementer kumulatív Weibull-eloszlásként ismert.

Továbbmenve, a nyújtott exponenciális függvény, a szimmetrikus alfa-stabil Lévy-eloszlás karakterisztikus függvénye.

Fizikában a nyújtott exponenciális függvényt gyakran használják rendezetlen rendszerek relaxációjának fenomenológiai leírására.

Ezt először Rudolf Kohlrausch vezette be 1854-ben, amikor leírta a kondenzátor kisülését.^[1] és ezért ezt Kohlrausch-függvénynek is hívják. 1970-ben G. Williams és D.C. Watts a nyújtott exponenciális függvény Fourier-transzformációját alkalmazta a polimerek dielektromos elemzésénél.^[2] Ebben a kontextusban a nyújtott exponenciális, vagy annak Fourier transzformáltját Kohlrausch–Williams–Watts-függvénynek (KWW) is hívják.

Eloszlás függvény

A fizika néhány területén a nyújtott exponenciális függvény alkalmazása gyakran indokolt, mint például az egyszerű exponenciális bomlás lineáris szuperpozíciója.

Ez igényli a relaxációs idők nem triviális eloszlását, ρ(u), melynek definíciója: $e^{-t^{\beta }}=\int _{0}^{\infty }du\,\rho (u)\,e^{-t/u}$ . az eloszlás:

G=u\rho (u)\,

A p a következő kifejezésből számítható: :^[3] $\rho (u)=-{1 \over {\pi u}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{(-1)^{k}} \over {k!}}\sin(\pi \beta k)\Gamma (\beta k+1)u^{\beta k}$

A következő két ábra hasonló eredményeket mutat, mind lineáris, mind logaritmikus megjelenítésben. A görbék a Dirac-delta-függvényhez konvergálnak, melynek u=1-nél van maximum, ahogy a β tart az 1-hez, megfelelve az egyszerű, vagy standard exponenciális függvénynek.

Átlagos relaxációs idő

A φ(t) görbe alatti területe értelmezhető az átlagos (középérték) relaxációs időnek: $\langle \tau \rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,e^{-\left({t/\tau _{K}}\right)^{\beta }}={\tau _{K} \over \beta }\Gamma ({1 \over \beta })$ ahol $\Gamma$ a gamma-függvény. Az exponenciális bomláshoz $\langle \tau \rangle =\tau _{K}$

Magasabb momentumok

A nyújtott exponenciális függvény magasabb momentumai :^[4] $\langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-\left({t/\tau _{K}}\right)^{\beta }}={{\tau _{K}}^{n} \over \beta }\Gamma ({n \over \beta })$ . Ez szorosan kapcsolódik az egyszerű exponenciális relaxációs idők momentumaihoz:

\langle \tau ^{n}\rangle =\Gamma (n)\int _{0}^{\infty }d\tau \,t^{n}\,\rho (\tau )

.

Az egyszerű exponenciális relaxációs idők első logaritmikus momentum: $\langle \ln \tau \rangle =\left(1-{1 \over \beta }\right){\rm {Eu}}+\ln \tau _{K}$ ahol Eu az Euler állandó, azaz az Euler-féle szám ^[5]

Fourier Transzformáció

A spektroszkópia eredményeinek, vagy a rugalmatlan szórás leírásához, a nyújtott exponenciális függvény szinusz - vagy koszinusz Fourier transzformációjára van szükség.

Ezt numerikus integrálással vagy sorozatokkal lehet kiszámítani. .^[6] A sorozatok alkalmazásának speciális esete a Fox-Wright függvény.

Gyakorlati okokból, a Fourier transzformációt a Havriliak-Negami függvénnyel lehet közelíteni.^[7]

Történelem és további alkalmazások

A nyújtott exponenciális függvényt Rudolf Kohlrausch német fizikus vezette be 1854-ben, amikor leírást készített a kondenzátor kisüléséről, dielektrikumnak üveget használt.

A következő dokumentált felhasználás Friedrich Kohlrauschtól származik, aki a torziós relaxációt írta le. Friedrich Kohlrausch, Rudolf Kohlrausch fia volt.

A. Werner 1907-ben a komplex lumineszcens lebomlás leírására használta a nyújtott exponenciális függvényt.

1949-ben Theodor Förster a fluoreszkálás bomlási törvényénél alkalmazta.

A fizikában a Naprendszer kis sugárzó testei távolodási sebességének leírására is alkalmazzák a nyújtott exponenciális függvényt,^[8] valamint diffúzió-súlyozott MRI jeleknél, az agyban.^[9]

Jegyzetek

↑ Kohlrausch, R. (1854). „Theorie des elektrischen Rückstandes in der Leidner Flasche”. Annalen der Physik und Chemie (Poggendorff) 91, 56–82, 179–213. o. .
↑ Williams, G. and Watts, D. C. (1970). „Non-Symmetrical Dielectric Relaxation Behavior Arising from a Simple Empirical Decay Function”. Transactions of the Faraday Society 66, 80–85. o. DOI:10.1039/tf9706600080. .
↑ Lindsey, C. P. and Patterson, G. D. (1980). „Detailed comparison of the Williams-Watts and Cole-Davidson functions”. Journal of Chemical Physics 73, 3348–3357. o. DOI:10.1063/1.440530. . For a more recent and general discussion, see Berberan-Santos, M.N., Bodunov, E.N. and Valeur, B. (2005). „Mathematical functions for the analysis of luminescence decays with underlying distributions 1. Kohlrausch decay function (stretched exponential)”. Chemical Physics 315, 171–182. o. DOI:10.1016/j.chemphys.2005.04.006. .
↑ I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, fourth edition. Academic Press, 1980. Integral 3.478.
↑ Zorn, R. (2002). „Logarithmic moments of relaxation time distributions”. Journal of Chemical Physics 116, 3204–3209. o. DOI:10.1063/1.1446035.
↑ Dishon et al. 1985.; Wuttke http://arxiv.org/abs/0911.4796v1
↑ Alvarez, F., Alegría, A. and Colmenero, J. (1991). „Relationship between the time-domain Kohlrausch-Williams-Watts and frequency-domain Havriliak-Negami relaxation functions”. Physical Review B 44, 7306–7312. o. DOI:10.1103/PhysRevB.44.7306.
↑ Dobrovolskis, A., Alvarellos, J. and Lissauer, J. (2007). „Lifetimes of small bodies in planetocentric (or heliocentric) orbits”. Icarus 188, 481–505. o. DOI:10.1016/j.icarus.2006.11.024.
↑ Bennett, K. et al. (2003). „Characterization of Continuously Distributed Water Diffusion Rates in Cerebral Cortex with a Stretched Exponential Model”. Magn. Reson. Med. 50, 727–734. o. DOI:10.1002/mrm.10581.

Források

Baeurle, S.A., Hotta, A. and Gusev, A.A: "A new semi-phenomenological approach to predict the stress relaxation behavior of thermoplastic elastomers". (hely nélkül): Polymer 46. 2005. 4344–4354. o.

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[1] Kohlrausch, R. (1854). „Theorie des elektrischen Rückstandes in der Leidner Flasche”. Annalen der Physik und Chemie (Poggendorff) 91, 56–82, 179–213. o. .

[2] Williams, G. and Watts, D. C. (1970). „Non-Symmetrical Dielectric Relaxation Behavior Arising from a Simple Empirical Decay Function”. Transactions of the Faraday Society 66, 80–85. o. DOI:10.1039/tf9706600080. .

[3] Lindsey, C. P. and Patterson, G. D. (1980). „Detailed comparison of the Williams-Watts and Cole-Davidson functions”. Journal of Chemical Physics 73, 3348–3357. o. DOI:10.1063/1.440530. . For a more recent and general discussion, see Berberan-Santos, M.N., Bodunov, E.N. and Valeur, B. (2005). „Mathematical functions for the analysis of luminescence decays with underlying distributions 1. Kohlrausch decay function (stretched exponential)”. Chemical Physics 315, 171–182. o. DOI:10.1016/j.chemphys.2005.04.006. .

[4] I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, fourth edition. Academic Press, 1980. Integral 3.478.

[5] Zorn, R. (2002). „Logarithmic moments of relaxation time distributions”. Journal of Chemical Physics 116, 3204–3209. o. DOI:10.1063/1.1446035.

[6] Dishon et al. 1985.; Wuttke http://arxiv.org/abs/0911.4796v1

[7] Alvarez, F., Alegría, A. and Colmenero, J. (1991). „Relationship between the time-domain Kohlrausch-Williams-Watts and frequency-domain Havriliak-Negami relaxation functions”. Physical Review B 44, 7306–7312. o. DOI:10.1103/PhysRevB.44.7306.

[8] Dobrovolskis, A., Alvarellos, J. and Lissauer, J. (2007). „Lifetimes of small bodies in planetocentric (or heliocentric) orbits”. Icarus 188, 481–505. o. DOI:10.1016/j.icarus.2006.11.024.

[9] Bennett, K. et al. (2003). „Characterization of Continuously Distributed Water Diffusion Rates in Cerebral Cortex with a Stretched Exponential Model”. Magn. Reson. Med. 50, 727–734. o. DOI:10.1002/mrm.10581.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]