Növelő elem

A növelő elem a matematika absztrakt algebra nevű ágában egy félcsoport-elméleti fogalom; egy félcsoportelem akkor növelő, ha vele a félcsoport egy jól megválasztott valódi részhalmazának elemeit szorozgatva, a félcsoport minden eleme előáll ilyen szorzatként. Azaz bizonyos elemeket elhagyva a félcsoportból, a maradék, „kevesebb” elemből (a részhalmazból) is „visszakapható” az egész félcsoport, ha a növelő elemmel szorozzuk őket.

Definíciók

Balnövelő elem

Legyen (S, ¤) félcsoport. Az n∈S elemet balnövelő elemnek nevezzük, ha van a tartóhalmaznak olyan T⊂S valódi részhalmaza, melyre teljesül

nT = S ,

tehát ha van az elemhez olyan komplexus, melyet balról szorozva, az eredmény „kiadja a teljes félcsoportot” (a tartóhalmazt). Nevezzük e valódi részhalmazokat az S n szerinti őseinek; ha pedig s = nt és t∈T, akkor t-t az s∈S egy n szerinti ősének.

Az összes balnövelő elem halmaza, ha ez nem üres halmaz – pontosabban e halmaz és a félcsoportművelet (S^(b), ¤) párosa – az S félcsoport egy rész-félcsoportját alkotja (ld. itt), ezt az (S, ¤) félcsoport balnövelő részfélcsoportjának nevezzük és S^(b)-vel jelölhetjük. A formális definíció pedig:

S^(b) := {n∈S |  ∃T∈P(S):(T≠S ∧ nT = S) } .

Jobbnövelő elem

Legyen (S, ¤) félcsoport. Az n∈S elemet jobbnövelő elemnek nevezzük, ha van a tartóhalmaznak olyan T⊂S valódi részhalmaza, melyre teljesül

Tn = S ,

tehát ha van az elemhez olyan komplexus, melyet jobbról szorozva, az eredmény „kiadja a teljes félcsoportot” (a tartóhalmazt). Nevezzük e valódi részhalmazokat az S n szerinti őseinek; ha pedig s=tn és t∈T, akkor t-t az s∈S egy n szerinti ősének.

Az összes jobbnövelő elem halmaza, ha ez nem üres halmaz – pontosabban e halmaz és a félcsoportművelet (S^(b), ¤) párosa – – az S félcsoport egy rész-félcsoportját alkotja (ld. itt), ezt az (S, ¤) félcsoport jobbnövelő részfélcsoportjának nevezzük és S^(j)-vel jelölhetjük. A formális definíció pedig:

S^(j) := {n∈S |  ∃T∈P(S):(T≠S ∧ Tn = S) } .

Növelő elem

Az (S,¤) félcsoport egy n∈S eleme növelő elem, ha vagy balnövelő, vagy pedig jobbnövelő elem. A kettő együtt nem lehetséges, ld. itt.

Motiváció és történet

A növelő elemek fogalmát J. Sz. Ljapin szovjet matematikus vezette be az 1950-es években (növelő elemekkel is kapcsolatos dolgozatainak megjelenési évszámai: 1953, 1958, 1960). Ő mutatott példát olyan félcsoportra is, melynek van növelő eleme (egy ilyen példa: itt); ilyet keresni egyébként nem „triviális” feladat (mivel például elég egyszerűen belátható, hogy „szép struktúrákban”: csoportokban, valamint reguláris, kommutatív vagy véges félcsoportokban, nincs növelő elem; ld. itt).

Példa

A növelő elemmel rendelkező félcsoportok közül legfontosabb az a szép szerkezetű („biciklikus”), ℕ×ℕ tartóhalmazú félcsoport, melyet a Clifford–Preston-féle félcsoportelméleti monográfia szerzői biciklikus félcsoportnak kereszteltek.

Megkonstruálásához felhasználjuk az ún. rámpafüggvényt, ami a következőképp definiálható valós függvény:

$r(x):\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ;$   $r(x):={\frac {x+|x|}{2}}$$=$$\ {\begin{cases}x,&{\mbox{ha }}x\geq 0;\\0,&{\mbox{ha }}x<0\end{cases}}$.

Legyen Q, a félcsoport tartóhalmaza:

Q = ℕ² = ℕ×ℕ= { (a,b) | a,b∈ℕ}

Definiáljuk a · félcsoportműveletet a következőképp:

(a₁, a₂)·(b₁, b₂) := (a₁+r(a₂-b₁), b₂+r(b₁-a₂) )

Legyen a félcsoport (Q, ·).

Bevezetve a következő jelöléseket három speciális elemre:

(0,0) := O; (1,0) := B; (0,1) := J ,

belátható, hogy a Q félcsoportban bármely a∈ℕ-re (a,0) = B^a elem jobbnövelő elem, és bármely b∈ℕ-re (0,b) = J^b elem balnövelő elem.

Belátható a szorzás asszociativitása.

A biciklikus félcsoport a növelő elemekkel rendelkező egységelemes félcsoportok következő egyszerű jellemzését adja:
Tétel: Ha az (S,¤, e_S) egységelemes félcsoport n eleme balnövelő, akkor tartalmaz a (Q,·) félcsoporttal izomorf rész-félcsoportot, részletesebben: ahhoz, hogy n balnövelő legyen, szükséges és elégséges olyan P≤S létezése, hogy P≅Q a φ izomorfizmussal, és φ(e_Q) = e_S és φ(0,1) = n. Hasonló tétel igaz egységelemes félcsoport jobbnövelő elemeire.

Egyszerűbb algebrai tulajdonságok

A fogalom antiszimmetriája

Tétel: Egy (S,¤) félcsoportban bármely elem vagy balnövelő, vagy jobbnövelő elem, de egyszerre mindkettő nem lehet.

• Tegyük fel, hogy n∈S bal- és jobbnövelő elem is egyszerre, ekkor vannak olyan T és U valódi részhalmazai S-nek (T,U⊂S), melyekre nT=S=Un. Tehát bármely s∈S-re, kell legyen olyan t∈T és olyan u∈U, hogy nt = s = un. Azaz „bármely félcsoportelem előáll nt alakban” és „bármely félcsoportelem előáll un alakban”. Belátjuk, hogy ilyen feltételekkel U nem valódi részhalmaza S-nek.

1. A fenti megállapítás alapján „n is előáll nt alakban”, azaz van olyan t_n∈T, hogy n = nt_n legyen.
2. Ekkor végigszorozva S elemeit t_n-nel jobbról adódik, hogy t_n jobb oldali egységeleme S-nek, ugyanis ∀s∈S: st_n = (un)t_n = u(nt_n) = un = s, vagyis a t_n-nel jobbról való szorzás helybenhagyja S minden elemét, így ez valóban jobb oldali egységelem S-ben.
3. Minthogy n balnövelő elem, n-hez van olyan v∈T, hogy t_n = nv.
4. Mivel t_n jobb oldali egységeleme S-nek, ezért részhalmazának, U-nak is, így Ut_n = U. Ezért Sv = (Un)v = U(nv) = Ut_n = U.
5. Másrészt mindenképp ∀x∈S: S⊇Sx (hisz az S alaphalmaznak „minden” a részhalmaza), ezért Sv⊇(Sx)v (ha m∈(Sx)v, azaz m = sxv (ahol s∈S); akkor persze sx = s'∈S-sel m = s'v∈Sv is igaz); ezért S⊇Sn.
6. Innen viszont Sv ⊇ (Sn)v = S(nv) = St_n = S is igaz, azaz U = Sv ⊇ S. Ez azt jelenti, hogy S része egy valódi részének, ami nem lehetséges. Így U nem lehet valódi része S-nek, tehát n nem jobbnövelő.

• • Ezzel a tételt beláttuk ■.

Véges, kommutatív és reguláris félcsoportban nincs növelő elem

Tétel: Véges félcsoportban nincs növelő elem.

• Ugyanis az (S,¤) félcsoport tetszőleges T valódi részhalma és bármely n∈S eleme esetén nT (és Tn egyaránt) valódi részhalmaza S-nek, hiszen legfeljebb ugyanannyi elemet tartalmaz, mint T (a t₁-hez az nt₁, a t₂-höz az nt₂, … , a t_k-hoz az nt_k elemet |T| = k esetén, és ezek az nT-beli elemek is csak abban a legjobb esetben vannak k-an, ha injektív az f: T↦nT; f(t)=nt leképezés; mert egyébként kevesebben); így nem lehet egyenlő S-sel ■.

Tétel: Kommutatív félcsoportban nincs növelő elem.

• Ugyanis legyen (S,¤) kommutatív, tehát tetszőleges a,b∈S-re ab = ba. Ekkor tehát ha n balnövelő elem, ∃T⊂S: nT=S, ám a kommutativitás miatt ekkor Tn=S is, azaz n egyúttal jobbnövelő is. Ez azonban a fogalom antiszimmetriája miatt, ti. hogy egy elem egyszerre balnövelő és jobbnövelő nem lehet, t nem lehetséges, ezért n nem lehet balnövelő. Hasonlóan látható be, hogy nincs S-ben jobbnövelő elem sem ■.

Tétel: Reguláris félcsoportban nincs növelő elem. Részletesen: Jobbreguláris félcsoportban nincs jobbnövelő elem, balreguláris félcsoportban nincs balnövelő elem.

• Ugyanis legyen (S,¤) jobbreguláris, azaz bármely elemekre érvényes a jobbról való egyszerűsítés szabálya, tehát tetszőleges a,b,c∈S-re ac = bc esetén a = b. Ekkor tehát ha n jobbnövelő elem, ∃T⊂S: Tn = S. Mivel T⊂S, azért S\T nem üres, vagyis van olyan x∈S, hogy x∉T. Ekkor (xn)∈S miatt ∃t∈T: xn = tn. A jobbregularitás miatt ekkor x = t. Ám x∉T, míg t∉T, s ezen ellentmondás miatt nemlétezhet ilyen x, tehát S\T=∅, azaz S = T, s emiatt n nem jobbnövelő elem. Hasonlóan látható be, hogy balreguláris félcsoportban nincs balnövelő elem, mindezekből pedig következik, hogy bal- és jobbreguláris, azaz reguláris félcsoportban egyáltalán semmiféle növelő elem sincs. ■.

Minthogy a csoportok reguláris félcsoportok, és reguláris csoportban nincs növelő elem, ezért csoportban sincs növelő elem; így a csoportelmélethez képest a félcsoportok elmélete gazdagabb e fogalommal.

Növelő elemek és invertálhatóság

A növelő elem és az invertálható elem fogalmai félcsoportokban a következő kapcsolatban vannak:
Tétel: az (S,¤) félcsoport S^(b)-beli, tehát balnövelő elemei S-ben jobbról invertálhatóak, de balról nem; míg S^(j)-beli, tehát jobbnövelő elemei S-ben balról invertálhatóak, de jobbról nem.

A fenti tétel általában nem megfordítható, neutrális elemes (egységelemes) félcsoportokra korlátozódva azonban igen:
Tétel: az (S,¤) egységelemes félcsoport S^(b)-beli, tehát balnövelő elemei pontosan az S-beli jobbról invertálható, de balról nem invertálható elemek; míg S^(j)-beli, tehát jobbnövelő elemei pontosan az S-beli balról invertálható, de jobbról nem invertálható elemek.

Hivatkozások

Források

• Lajos Sándor: A félcsoportok növelő elemeiről. Tanulmány, megjelent: A Magyar Tudományos Akadémia III. Oszt. (Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának) közleményei XV. köt. 3. sz. Akadémiai Kiadó, Bp., 1965 . Főszerk. Alexits György. 273.-288. old.