Lánc (komplex analízis)

A komplex analízisben és az algebrai topológiában a lánc és a ciklus matematikai objektumok; a lánc a görbe, a ciklus a zárt görbe általánosítása. A komplex analízisben főként integrációhoz használják.

Az algebrai topológiában a lánc és a ciklus a homológiaelmélet speciális esetei. Ezt kiemelendő használják az 1-lánc és az 1-ciklus elnevezéseket is, mivel itt további általánosításokat is tekintenek, így szó esik p-láncról és p-ciklusról.

Definíciók

Lánc

Egy $X:=\mathbb {C}$-beli lánc, illetve egy $X$ Riemann-felületen levő lánc formálisan értelmezve görbék egész számokkal vett lineáris kombinációja:

$\Gamma :=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\gamma _{i}\quad n_{i}\in \mathbb {Z}$

ahol minden $\gamma _{i}\colon [0,1]\to X$ folytonos görbe. Az $X$ halmaz láncai Abel-csoportot alkotnak az összefűzésre, ez a $C_{1}(X)$ csoport.

Integrálás láncon

Legyen $\omega$ zárt komplex (1,0)-differenciálforma, ekkor a $\Gamma$ láncon vett integrál nem más, mint

$\int _{\Gamma }\omega :=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\int _{\gamma _{i}}\omega .$

Ha $X$ éppen a komplex számsík, akkor az integrál a differenciálformák nélkül is értelmezhető. Ekkor ugyanis $\omega =f(z)\mathrm {d} z$ alakban írható, ahol $f\colon D\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ differenciálható függvény. Ezzel a definíció az

$\int _{\Gamma }f(z)\mathrm {d} z:=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\int _{\gamma _{i}}f(z)\mathrm {d} z$.

alakot ölti.

Ciklus

A ciklus egy olyan lánc, amiben minden $a\in \mathbb {C}$ komplex szám multiplicitással ugyanannyiszor kezdő- mint végpont.

A definíció felírható a $\operatorname {Div} (X)$ divizorcsoporttal. Legyen :$\partial \colon C_{1}(X)\to \operatorname {Div} (X)$ egy leképezés! Egy $c\colon [0,1]\to X$ görbe esetén helyettesíthetünk úgy, hogy $\partial c=0$ legyen, ha $c(0)=c(1)$. Különben $\partial c$ divizor, ami $c(1)$-ben a +1, $c(0)$-ban a -1 értéket veszi fel, különben nulla. Egy $\Gamma$ lánc esetén $\partial$ definíció szerint $\textstyle \partial \Gamma :=\sum _{i=1}^{n}n_{i}\partial \gamma _{i}$. A $\partial$ leképezés magja

$Z_{1}(X):=\operatorname {Kern} (\partial )$

éppen a ciklusok csoportja.

Körülfordulási szám

A lánc nyoma az egyes görbék képeinek uniója. Azaz,

$\operatorname {Spur} \,\Gamma :=\bigcup _{i=1}^{N}\operatorname {im} \,\gamma _{i}$.

Ha $D\subseteq \mathbb {C}$, akkor $\Gamma$ ciklus $D$-ben pontosan akkor, ha $\operatorname {Spur} \,\Gamma \subseteq D$.

A körülfordulási számot a zárt görbéhez hasonlóan definiáljuk, de a nyomot használjuk, azaz

$\operatorname {ind} _{\Gamma }(z):={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\zeta -z}}\in \mathbb {Z}$.

A ciklus belseje azoknak a pontoknak a halmaza, ahol a körülfordulási szám nem nulla:

$\operatorname {Int} \,\Gamma :=\{z\in \mathbb {C} \setminus \operatorname {Spur} \,\Gamma :\operatorname {ind} _{\Gamma }(z)\neq 0\}$

Külseje pedig azokat a pontokat tartalmazza, ahol a körülfordulási szám eltűnik:

$\operatorname {Ext} \,\Gamma :=\{z\in \mathbb {C} \setminus \operatorname {Spur} \,\Gamma :\operatorname {ind} _{\Gamma }(z)=0\}$

Egy ciklus nullhomológ $D\subseteq \mathbb {C}$-ben, ha belseje része $D$-nek: $\operatorname {Int} \,\Gamma \subseteq D$ Ez pontosan akkor teljesül, ha az összes $\mathbb {C} \setminus D$ pont körülfordulási száma nulla.

Két ciklus, $\Gamma _{1}$, $\Gamma _{2}$ homológ $D\subseteq \mathbb {C}$-ben, ha formális különbségük, $\Gamma _{1}-\Gamma _{2}$ nullhomológ $D$-ben.

Integráltételek

A láncok és ciklusok jelentőségét a komplex analízisben a görbe menti integrál általánosítása adja. A ciklusokra is bizonyítható a reziduumtétel, a Cauchy-féle integráltétel és a Cauchy-integrálképlet.

A Stokes-tétel is igazolható. Legyen $\Gamma$ lánc $X$-ben, legyen $\Gamma$ minden $\gamma _{i}$ görbéje sima, továbbá legyen $f\colon X\to \mathbb {R}$ is sima. Ekkor a Stokes-tétel szerint

$\int _{\Gamma }\mathrm {d} f(z)\mathrm {d} z=\int _{\partial \Gamma }f(z)\mathrm {d} z$,

ahol $\partial$ az egy-ciklus szeletének lezárásoperátora, és $\mathrm {d}$ a derivált.

A második integrál írható

$\int _{\partial \Gamma }f(z)\mathrm {d} z=\sum _{i=1}^{n}n_{i}f(z)|_{\gamma _{i}(0)}^{z\,=\gamma _{i}(1)}=\sum _{i=1}^{n}n_{i}\left(f(\gamma _{i}(1))-f(\gamma _{i}(0)\right)$

alakban is. Ha $\Gamma$ sima görbékből álló ciklus, akkor a tétel egyszerűsíthető:

$\int _{\Gamma }\mathrm {d} f(z)\mathrm {d} z=0$,

mivel ekkor az $\textstyle \sum _{i=1}^{n}n_{i}\left(f(\gamma _{i}(1))-f(\gamma _{i}(0)\right)$ összeg lenullázódik.

A homológiaelméletben

A lánc és a ciklus topológiai objektum is. Az algebrai topológiában p-láncok komplexusait vizsgálják, és ezekből homológiacsoportokat képeznek. Ezek topológiai invariánsok. Különösen fontos a szinguláris homológiacsoportok homológiaelmélete.

A homológiaelméletben a cikkben definiált lánc a szinguláris komplexus 1-lánca, ami egy bizonyos lánckomplexus. A ciklus szakaszban definiált $\partial \colon C_{1}(X)\to \operatorname {Div} (X)$ operátor a szinguláris komplexus peremoperátora, és a divizorok csoportja emiatt a nulla-láncok csoportjával izomorf. A ciklusok csoportja, mint az $\partial$ peremoperátor magja 1-ciklus a lánckomplexus értelmében.

A peremoperátor magva mellett tekinthetjük az operátor képét is, és ebből a két halmazból homológiacsoport konstruálható. Szinguláris komplexus esetén szinguláris homológiát kapunk. Ebben a kontextusban a nullhomológ lánc és a homológ lánc is absztraktabbá válik.

Források

• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb. Funktionentheorie, 8., Braunschweig: Vieweg (2003). ISBN 3-528-77247-6 
• Otto Forster: Riemannsche Flächen, Springer 1977, englisch Lectures on Riemann surfaces, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-90617-7, Kapitel 20

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Zyklus (Funktionentheorie) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.