Kronecker-szorzat

A Kronecker-szorzat (Leopold Kronecker után) egy fogalom a mátrixszámításban.

Definíció

Ha $A$ $m\times n$ méretű és $B$ $p\times q$ méretű mátrix, akkor a $C=A\otimes B$ Kronecker-szorzat nem más, mint

$C=(a_{ij}\cdot B)={\begin{pmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{pmatrix}}$

azaz az $A$ mátrix minden elemét megszorozzuk a $B$ mátrixszal, és ebből képezünk egy új mátrixot, aminek mérete $mp\times nq.$

Részletesebben:

${\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} }={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.$

Példák

Első példa

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot {\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}\\\\3\cdot {\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}&4\cdot {\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&6&10&12\\7&8&14&16\\15&18&20&24\\21&24&28&32\end{pmatrix}}$

Második példa

${\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&3\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&5&0&15&0&10\\5&0&15&0&10&0\\1&1&3&3&2&2\\0&5&0&0&0&0\\5&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\0&5&0&10&0&10\\5&0&10&0&10&0\\1&1&2&2&2&2\end{pmatrix}}$

Tulajdonságai

A Kronecker-szorzás nem kommutatív, ami azt jelenti, hogy általában

$A\otimes B\neq B\otimes A$

Azonban mindig vannak $P,Q$ permutációmátrixok, hogy

$A\otimes B=P(B\otimes A)Q$

Hogyha $A$ és $B$ négyzetes, akkor választhatók úgy, hogy $P=Q^{T}$ legyen.

A Kronecker-szorzás bilineáris, vagyis

$A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C$

$(B+C)\otimes A=B\otimes A+C\otimes A$

$\lambda (A\otimes B)=(\lambda A)\otimes B=A\otimes (\lambda B)$

A Kronecker-szorzás asszociatív:

$A\otimes (B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C$

A transzponáltakra teljesül, hogy:

$(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}$.

A komplex konjugált mátrixra:

${\overline {A\otimes B}}={\overline {A}}\otimes {\overline {B}}$.

Az adjungált mátrixra teljesül, hogy:

$(A\otimes B)^{*}=A^{*}\otimes B^{*}$

A Kronecker-szorzat rangja:

$\mathrm {Rang} (A\otimes B)=\mathrm {Rang} (A)\cdot \mathrm {Rang} (B)$.

Ha $A$ mérete $n\times n$ és $B$ mérete $m\times m$, akkor a Kronecker-szorzat determinánsa

$\det(A\otimes B)={\det }^{m}(A)\,{\det }^{n}(B)$.

Ha $(\lambda _{i})_{i=1..n}\,$ az $A$ és $(\mu _{j})_{j=1..m}\,$ a $B$ sajátértékei, akkor

$(\lambda _{i}\,\mu _{j})_{i=1..n \atop j=1..m}$ az $A\otimes B$ mátrix sajátértékei.

Ha $A,B$ invertálható, akkor

$(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$.

Legyenek $A,B,C$ és $D$ komplex mátrixok a

• $A:m\times n$
• $B:p\times q$
• $C:n\times r$
• $D:q\times s$

dimenziókkal; ekkor léteznek az $AC$ és a $BD$ szorzatok, és

$AC\otimes BD=(A\otimes B)(C\otimes D)$.

A pszeudoinverzekre

$(A\otimes B)^{+}=A^{+}\otimes B^{+}$.

Általában, ha $A^{-}$ és $B^{-}$ $A$ és $B$ általánosított inverzei, akkor $A^{-}\otimes B^{-}$ az $A\otimes B$ általánosított inverze.

Mátrixegyenletek

Adva legyenek az $A\in \mathrm {Mat} (k\times \ell ),\,B\in \mathrm {Mat} (m\times n),\,C\in \mathrm {Mat} (k\times n)$ mátrixok, és keressük azt az $X\in \mathrm {Mat} (\ell \times m)$ mátrixot, amire $AXB=C\,$. Ekkor teljesül a következő ekvivalencia:

$AXB=C\iff (B^{T}\otimes A)\,\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (C)$

ahol $\operatorname {vec}$ a mátrix oszloponkénti vektorizáltja oszlopvektorrá. Jelölje az $X\in \mathrm {Mat} (\ell \times m)$ mátrix oszlopait ${\vec {x}}_{1},...,{\vec {x}}_{m}$, ekkor az $\operatorname {vec} (X)={\begin{pmatrix}{\vec {x}}_{1}\\\vdots \\{\vec {x}}_{m}\end{pmatrix}}$ egy $\ell \cdot m$ hosszú oszlopvektor. Hasonlóan, $\operatorname {vec} (C)$ egy $m\cdot n$ oszlopvektor.

A vektorizáltból visszaszámítható a mátrix, így ha megvan $X\in \mathrm {Mat} (\ell \times m)$, akkor az $X$ mátrix is megvan.

Az ekvivalencia bizonyítása

Teljesül $AXB=C\iff AX\left({\vec {b}}_{1},...,{\vec {b}}_{n}\right)=\left({\vec {c}}_{1},...,{\vec {c}}_{n}\right)\iff AX{\vec {b_{i}}}={\vec {c_{i}}}\iff {\begin{pmatrix}AX{\vec {b}}_{1}\\\vdots \\AX{\vec {b}}_{n}\end{pmatrix}}=\operatorname {vec} (C)$

ahol ${\begin{pmatrix}A({\vec {x}}_{1},...,{\vec {x}}_{m}){\vec {b}}_{1}\\\vdots \\A({\vec {x}}_{1},...,{\vec {x}}_{m}){\vec {b}}_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A(b_{11}{\vec {x}}_{1}+...+b_{m1}{\vec {x}}_{m})\\\vdots \\A(b_{1n}{\vec {x}}_{1}+...+b_{mn}{\vec {x}}_{m})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A\,b_{11}&\cdots &A\,b_{m1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A\,b_{1n}&\cdots &A\,b_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\vec {x}}_{1}\\\vdots \\{\vec {x}}_{m}\end{pmatrix}}=(B^{T}\otimes A)\,\operatorname {vec} (X)$

Mátrix együtthatós egyenletek

Az $i=1,...,r\,$ és $j=1,...,s\,$ indexekhez legyenek adva az $A_{ij}\in \mathrm {Mat} (k\times \ell ),\,B_{ij}\in \mathrm {Mat} (m\times n),\,C_{i}\in \mathrm {Mat} (k\times n)$ mátrixok. Keressük az $X_{i}\in \mathrm {Mat} (\ell \times m)$ mátrixokat, amelyekre megoldjuk az

${\begin{bmatrix}A_{11}X_{1}B_{11}+...+A_{1s}X_{s}B_{1s}&=&C_{1}\\&\vdots &\\A_{r1}X_{1}B_{r1}+...+A_{rs}X_{s}B_{rs}&=&C_{r}\\\end{bmatrix}}$

egyenleteket. Ez ekvivalens a következő egyenletrendszer megoldásával:

${\begin{pmatrix}B_{11}^{T}\otimes A_{11}&\cdots &B_{1s}^{T}\otimes A_{1s}\\\vdots &\ddots &\vdots \\B_{r1}^{T}\otimes A_{r1}&\cdots &B_{rs}^{T}\otimes A_{rs}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\operatorname {vec} \,X_{1}\\\vdots \\\operatorname {vec} \,X_{s}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {vec} \,C_{1}\\\vdots \\\operatorname {vec} \,C_{r}\end{pmatrix}}$

Kapcsolat a tenzorszorzással

Adva legyenek a véges dimenziós vektorterek közötti $\varphi _{1}:V_{1}\longrightarrow W_{1}$ és $\varphi _{2}:V_{2}\longrightarrow W_{2}$ lineáris leképezések. Ekkor egyértelműen létezik egy

$\varphi _{1}\otimes \varphi _{2}:V_{1}\otimes V_{2}\longrightarrow W_{1}\otimes W_{2}$ lineáris leképezés

a $\varphi _{1}\otimes \varphi _{2}(v_{1}\otimes v_{2})=\varphi _{1}(v_{1})\otimes \varphi _{2}(v_{2})$ -vel vett tenzorszorzatok között.

Hogyha bázist választunk az $V_{1},W_{1},V_{2}$ és $W_{2}$ tereken, akkor a $\varphi _{1}$ lineáris leképezés ábrázolható egy mátrixszal. Jelölje ezt a mátrixot $A$, és a $\varphi _{2}$ ábrázolását $B$! Ekkor az $A\otimes B$ Kronecker-szorzat a $\varphi _{1}\otimes \varphi _{2}$ tenzorszorzat ábrázolása. A bázisvektorok szintén tenzorszorzódnak, tehát ha $(e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n})$ a $V_{1}$ bázisa, és $(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{p})$ a $V_{2}$ bázisa az ábrázolásban, akkor a Kronecker-szorzat a $(e_{1}\otimes f_{1},e_{1}\otimes f_{2},\ldots ,e_{1}\otimes f_{p},e_{2}\otimes f_{1},\ldots ,e_{n}\otimes f_{p-1},e_{n}\otimes f_{p})$ bázisban lesz a tenzorszorzat mátrixa.

További alkalmazásai

A Kronecker-szorzást használják például az általánosított regressziós analízisben a korrelált hibák kovarianciamátrixának előállításához. Az eredmény egy blokkdiagonális mátrix.

A kvantummechanikában több részecskés rendszereket írnak le a segítségével, ahol minden részecske spektruma korlátos. Nem korlátos spektrum esetén csak a Kronecker-szorzat algebrai szerkezete marad meg, mivel ekkor nem nem ábrázolható mátrixokkal.

Kapcsolódó műveletek

A Tracy‑Singh és a Khatri–Rao-szorzatok a Kronecker-szorzat általánosításai blokkmátrixokra. Legyen az A m × n-es mátrix m_i × n_j méretű A_ij blokkokra, a B p × q-s mátrix p_k × q_l méretű B_kl blokkokra particionálva, ahol Σ_i m_i = m, Σ_j n_j = n, Σ_k p_k = p és Σ_l q_l = q.

Tracy–Singh-szorzat

A Tracy–Singh-szorzat definíciója:

$\mathbf {A} \circ \mathbf {B} =(\mathbf {A} _{ij}\circ \mathbf {B} )_{ij}=((\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{kl})_{kl})_{ij}$

ahol a szorzat ij indexű blokkja az m_i p × n_j q méretű A_ij ○ B mátrix, ahol is (kl)-edik blokk az m_i p_k × n_j q_l méretű A_ij ⊗ B_kl mátrix. Azaz a Tracy‑Singh-szorzat a blokkok Kronecker-szorzatának blokkmátrixa.

Példa:

Legyenek A és B mindketten 2 × 2-es blokkmátrixok:

$\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c c}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],$

kapjuk, hogy:

$\mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{12}\circ \mathbf {B} \\\hline \mathbf {A} _{21}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{22}\circ \mathbf {B} \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c | c }\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{22}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]$

$=\left[{\begin{array}{c c | c c c c | c | c c}1&2&4&7&8&14&3&12&21\\4&5&16&28&20&35&6&24&42\\\hline 2&4&5&8&10&16&6&15&24\\3&6&6&9&12&18&9&18&27\\8&10&20&32&25&40&12&30&48\\12&15&24&36&30&45&18&36&54\\\hline 7&8&28&49&32&56&9&36&63\\\hline 14&16&35&56&40&64&18&45&72\\21&24&42&63&48&72&27&54&81\end{array}}\right].$

Története

A Kronecker-szorzatot Leopold Kronecker után nevezték el, aki elsőként definiálta és használta. Korábban néha Zehfuss-mátrixnak nevezték, Johann Georg Zehfuss nyomán.

Források

• MathWorld: Matrix Direct Product
• Earliest Uses: Kronecker, Zehfuss or Direct Product of matrices.
• Charles F. Van Loan: The ubiquitous Kronecker product. Journal of Computational and Applied Mathematics 123 (2000) 85–100 (online Postscript fájl)