A kovariancia a valószínűségszámítás és a statisztika tárgykörébe tartozó mennyiség, ami megadja két egymástól különböző változó együttmozgását. Kis értékei gyenge, nagy értékei erős lineáris összefüggésre utalnak. Nem normált; normálással a korrelációt kapjuk.
Létezésének szükséges feltétele, hogy létezzen mindkét véletlen valószínűségi változó, továbbá szorzatuk várható értéke. Ez biztosan teljesül, ha és négyzetesen integrálható, azaz és .
Értéke , ahol E az úgynevezett várhatóérték-operátor.
Folytonos és diszkrét valószínűségi változók kovarianciája:
- .
Az n elemű statisztikai minta tapasztalati (empirikus) kovarianciáját az alábbi képlettel adjuk meg:
, ahol az , az minta . eleme, és pedig az és az minták mintaátlagai. (Ugyanez a képlet átalakítható az formára)
Legyen kétdimenziós normális eloszlású, és a kovarianciamátrixszal:
- ekkor a kovariancia:
Legyen kétdimenziós multinomiális eloszlású (), így:
- A kovariancia pozitív, ha és között pozitív az összefüggés, ha nagy, akkor is nagy, és ha kicsi, akkor is kicsi.
- A kovariancia negatív, ha és között negatív az összefüggés, ha nagy, akkor kicsi, és ha kicsi, akkor nagy. Ez nem fordított arányosságot jelez, hiszen a kovariancia csak lineáris összefüggés kimutatására képes.
- A kovariancia nulla, akkor és között nincs lineáris összefüggés, de másfajta lehet.
Az eltolási tulajdonság:
Bizonyítás:
Tétel: A kovariancia a szórásnégyzet általánosítása, mivel
Bizonyítás:
Tehát a szórásnégyzet a valószínűségi változó önmagával vett kovarianciája.
A kovarianciával kiszámítható négyzetesen integrálható valószínűségi változók összegének szórásnégyzete. Általában:
Speciálisan, két valószínűségi változó összegének szórásnégyzete:
Ahogy az közvetlenül következik a definícióból, ha az egyik valószínűségfi változó előjele megváltozik, akkor a kovariancia is:
Így két valószínűségi változó különbségére:
Tétel: A kovariancia szimmetrikus pozitív szemidefinit bilineáris forma a négyzetesen integrálható valószínűségi változók terében.
Tétel: Bilineárisság: Az valós számokra:
Bizonyítás:
Könnyen látható, hogy a kovariancia invariáns a konstans hozzáadására. A második egyenlőségben szimmetria miatt első változójában is lineáris.
Tétel: Szimmetria.
Bizonyítás:
Tétel (Pozitív szemidefinit):
Bizonyítás:
A szimmetrikus szemidefinit bilineáris alakból következik, hogy teljesül a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség:
A linearitásból következik, hogy a kovariancia függ a véletlen változók nagyságáétól. Így a kovariancia a tízszeresére változik, ha helyett a valószínűségi változót használjuk. Így a kovariancia nagysága a valószínűségi változók mértékegységeitől is függ. Mivel ez a tulajdonság nehezen értelmezhetővé teszi a kovariancia nagyságát, azért helyette inkább a korrelációs együtthatót használják, ami skálafüggetlen:
Definíció: Ha és valószínűségi változók, és , emiatt , akkor és korrelálatlan.
Tétel: Ha és független valószínűségi változók, akkor
Bizonyítás: Független valószínűségi változók esetén , d. h.
A megfordítás nem mindig teljesül. Legyen az valószínűségi változó egyenletes eloszlású a intervallumon, és . Nyilvánvaló, hogy és nem függetlenek. Viszont
- .
További példák korrelálatlan, de nem független valószínűségi változókra:
Legyenek és valószínűségi változók úgy, hogy und
- Ekkor és ,
- Következik, hogy és , tehát
- Másrészt és nem függetlenek, mivel .
Legyenek és valószínűségi változók Bernoulli-eloszlásúak a paraméterrel és függetlenek. Ekkor és korrelálatlan, de nem független.
- A korrelálatléanság nyilvánvaló, mivel
- De és nem függetlenek, hiszen
Ez a szócikk részben vagy egészben a Kovarianz (Stochastik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.