Koordinátatér

Két dimenzióban a koordinátatér azokból a síkvektorokból áll, amelyek kiindulópontja az origó

A matematikában a koordinátatér vagy standard vektortér egy adott test elemeiből álló $n$-esek halmaza, komponensenkénti összeadással és skalárral szorzással ellátva. A koordinátatér elemei koordinátavektorok. A koordinátatér standard bázisa kanonikus egységvektorokból áll. A koordinátaterek közötti lineáris leképezéseket mátrix (matematika)ok ábrázolják. A lineáris algebrában a koordinátatereknek különleges jelentőségük van, mivel minden véges dimenziós vektortér izomorf egy koordinátatérrel.

A két- és háromdimenziós valós koordinátaterek gyakran szolgálnak az euklideszi sík és az euklideszi háromdimenziós tér modelljeként. Ekkor elemeiket egyszerre tekintjük pontoknak és vektoroknak.

Definíció

Egy (x,y,z) koordinátavektor, mint helyvektor a háromdimenziós valós koordinátatérben

Legyen $K$ test, $n$ egy természetes szám, ekkor az

$K^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{1},\ldots ,x_{n}\in K\}$

$n$-szeres Descartes-szorzat az összes $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $n$-es halmaza, ahol a koordináták $K$-beliek. Ehhez bevezetjük az $+\colon K^{n}\times K^{n}\to K^{n}$ komponensenkénti összeadást:

$(x_{1},\ldots ,x_{n})+(y_{1},\ldots ,y_{n})=(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})$

illetve a $\cdot \colon K\times K^{n}\to K^{n}$ skalárral szorzást:

$a\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(a\cdot x_{1},\ldots ,a\cdot x_{n})$.

Ezzel megkapjuk a $(K^{n},+,\cdot )$ vektorteret, melyet nevezünk koordinátatérnek, standard vektortérnek vagy a $K$ test fölötti $n$ dimenziós vektortérnek.

Ábrázolás oszlopvektorokkal

A koordinátavektorokat gyakran oszlopvektorokként jelölik. A vektorok összeadása és a skalárral szorzás megfelel a soronkénti összeadásnak és a soronkénti skalárral szorzásnak:

${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\\vdots \\x_{n}+y_{n}\end{pmatrix}},\quad a\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\cdot x_{1}\\\vdots \\a\cdot x_{n}\end{pmatrix}}$.

Ezek a műveletek megfelelnek a mátrixok összeadásának és a mátrixok skalárral szorzásának egyoszlopos mátrixok esetén.