Koordinátatér

Két dimenzióban a koordinátatér azokból a síkvektorokból áll, amelyek kiindulópontja az origó

A matematikában a koordinátatér vagy standard vektortér egy adott test elemeiből álló $n$-esek halmaza, komponensenkénti összeadással és skalárral szorzással ellátva. A koordinátatér elemei koordinátavektorok. A koordinátatér standard bázisa kanonikus egységvektorokból áll. A koordinátaterek közötti lineáris leképezéseket mátrix (matematika)ok ábrázolják. A lineáris algebrában a koordinátatereknek különleges jelentőségük van, mivel minden véges dimenziós vektortér izomorf egy koordinátatérrel.

A két- és háromdimenziós valós koordinátaterek gyakran szolgálnak az euklideszi sík és az euklideszi háromdimenziós tér modelljeként. Ekkor elemeiket egyszerre tekintjük pontoknak és vektoroknak.

Definíció

Egy (x,y,z) koordinátavektor, mint helyvektor a háromdimenziós valós koordinátatérben

Legyen $K$ test, $n$ egy természetes szám, ekkor az

$K^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{1},\ldots ,x_{n}\in K\}$

$n$-szeres Descartes-szorzat az összes $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $n$-es halmaza, ahol a koordináták $K$-beliek. Ehhez bevezetjük az $+\colon K^{n}\times K^{n}\to K^{n}$ komponensenkénti összeadást:

$(x_{1},\ldots ,x_{n})+(y_{1},\ldots ,y_{n})=(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})$

illetve a $\cdot \colon K\times K^{n}\to K^{n}$ skalárral szorzást:

$a\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(a\cdot x_{1},\ldots ,a\cdot x_{n})$.

Ezzel megkapjuk a $(K^{n},+,\cdot )$ vektorteret, melyet nevezünk koordinátatérnek, standard vektortérnek vagy a $K$ test fölötti $n$ dimenziós vektortérnek.

Ábrázolás oszlopvektorokkal

A koordinátavektorokat gyakran oszlopvektorokként jelölik. A vektorok összeadása és a skalárral szorzás megfelel a soronkénti összeadásnak és a soronkénti skalárral szorzásnak:

${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\\vdots \\x_{n}+y_{n}\end{pmatrix}},\quad a\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\cdot x_{1}\\\vdots \\a\cdot x_{n}\end{pmatrix}}$.

Ezek a műveletek megfelelnek a mátrixok összeadásának és a mátrixok skalárral szorzásának egyoszlopos mátrixok esetén.

Példák

Kér vektor összeadása az euklidészi síkon (fent) és egy vektor szorzása a kettővel, mint skalárral (lent)

Egyik gyakran használt példa a valós számok fölött megalkotott koordinátatér. Az egydimenziós $\mathbb {R} ^{1}$ tér esetén a vektortérben definiált összeadás és skalárral szorzás megfelel a valós számok összeadásának és szorzásának. A kétdimenziós valós $\mathbb {R} ^{2}$ koordinátatérben a számpárok értelmezhetők az euklidészi sík helyvektoraiként. Ekkor a két koordináta éppen a helyvektor végpontjának Descartes-koordinátái. Ezzel az

${\vec {v}}+{\vec {w}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}+w_{1}\\v_{2}+w_{2}\end{pmatrix}}$

összeadás a hozzátartozó vektorok összeadása, és a

$a\cdot {\vec {v}}=a\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\cdot v_{1}\\a\cdot v_{2}\end{pmatrix}}$

skalárral szorzás a megfelelő vektor $a$-szorosára nyújtásának. Mindkét művelet eredménye szintén vektor a síkon. Hasonlóan, a valós $\mathbb {R} ^{3}$ háromdimenziós koordinátatér értelmezhető a háromdimenziós euklideszi tér helyvektorai. Magasabb dimenzióban a dolog hasonlóan működik, még ha kevésbé szemléletes is.

Tulajdonságok

Neutrális elem és ellentett

A koordinátatér neutrális eleme az

$(0,\ldots ,0)$

nullvektor, ahol $0$ a $K$ test nulleleme. Egy $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ vektor ellentettje az $(-x_{1},\ldots ,-x_{n})$ vektor, ahol $-x_{i}$ rendre az $x_{i}$ koordináta ellentettje a $K$ testben.

Vektortér axiómák

A koordinátatér vektortér. Legyenek $x,y,z\in K^{n}$ koordinátavektorok, $a,b\in K$ skalárok; ekkor teljesülnek a következők:

• asszociativitás: $x+(y+z)=(x+y)+z$
• kommutativitás: $x+y=y+x$,
• vegyes asszociativitás: $a\cdot (b\cdot x)=(a\cdot b)\cdot x$
• disztributivitások: $a\cdot (x+y)=a\cdot x+a\cdot y$ és $(a+b)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x$
• az egységelem neutralitása: $1\cdot x=x$, ahol $1$ a $K$ test egységeleme.

Mindezek a $K$ test műveleteinek tulajdonságaiból adódnak, amelyeket az egyes koordinátákra alkalmazunk.

Bázis

A koordinátatér standard bázisa a kanonikus egységvektorokból áll:

$\{e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n}\}=\{(1,0,\dotsc ,0),(0,1,0,\dotsc ,0),\dotsc ,(0,\dotsc ,0,1)\}$,

ezek lineáris kombinációjával minden $x\in K^{n}$ vektor kifejezhető:

$x=x_{1}\cdot e_{1}+\dotsb +x_{n}\cdot e_{n}$

A koordinátatér dimenziója:

$\dim(K^{n})=n$.

Bázistranszformációval további bázisokhoz juthatunk. Egy $(n\times n)$-es mátrix sorai és oszlopai akkor alkotják a $K^{n}$ koordinátatér bázisát, ha a mátrix invertálható, vagyis teljes rangú.

Lineáris leképezések

Két, azonos test fölötti koordinátatér közötti lineáris leképezések egyértelműen megfeleltethetők az adott test fölötti mátrixoknak: Legyen $A\in K^{m\times n}$ mátrix $m$ sorral és $n$ oszloppal, ekkor a mátrix-vektor szorzás definiál egy

$f_{A}\colon K^{n}\to K^{m},\quad f_{A}(x)=A\cdot x$

lineáris leképezést. Megfordítva, minden $f\colon K^{n}\to K^{m}$ lineáris leképezéshez tartozik egyértelműen egy $A_{f}\in K^{m\times n}$ mátrix, úgy, hogy $f(x)=A_{f}\cdot x$ minden $x\in K^{n}$-re. $A_{f}$ oszlopai ekkor a standard bázis vektorainak képei:

$A_{f}={\bigl (}f(e_{1})\mid \cdots \mid f(e_{n}){\bigr )}$.

A mátrixok a mátrixösszeadással és a skalárral szorzással szintén vektorteret alkotnak, a mátrixteret.

Izomorfizmus

Ha $V$ egy $K$ fölötti $n$-dimenziós vektortér, akkor izomorf a $K^{n}$ koordinátatérrel,

$V\cong K^{n}$.

Ugyanis válasszunk egy $\{b_{1},\dotsc ,b_{n}\}$ bázist $V$-ben, így minden $v\in V$ vektor előáll, mint

$v=c_{1}\cdot b_{1}+\dotsb +c_{n}\cdot b_{n}$

ahol $c_{1},\dotsc ,c_{n}\in K$. Ezzel minden $v\in V$ vektor reprezentálható, mint $(c_{1},\dotsc ,c_{n})\in K^{n}$. Megfordítva, minden koordináta-$n$-es pontosan egy vektornak felel meg a bázis vektorainak lineáris függetlensége miatt. Tehát a

$K^{n}\to V,\quad (c_{1},\dotsc ,c_{n})\mapsto c_{1}\cdot b_{1}+\dotsb +c_{n}\cdot b_{n}$

leképezés bijektív, és mivel lineáris is, izomorfizmus a két vektortér között. Mivel így minden $K$ test fölötti $n$ dimenziós vektortér izomorf a $K^{n}$ koordinátatérrel, azért minden ugyanazon test fölötti, ugyanazon dimenziós vektortér izomorf egymással. Más szavakkal, a vektorterek izomorfia erejéig jellemezhetők alaptestükkel és dimenziójukkal.

A véges dimenziós vektortereknek ez az azonosítása a koordinátatérrel magyarázza a standard tér elnevezést. Konkrét számolások esetén a koordinátavektorokkal számolnak, ám elméleti szinten inkább alaptestükkel és dimenziójukkal jellemzett absztrakt terekkel foglalkoznak, mivel nem akarnak egy már eleve kiválasztott bázis/koordináta-rendszer mentén érvelni.

Gazdagabb struktúrák

A koordinátatér a következő struktúrákká fejleszthető:

• Egy valós vagy komplex vektorteret ellátunk egy skalárszorzattal, például standard skalárszorzattal, akkor skalárszorzatos vektorteret kapunk. Mivel itt az indukált metrika teljes, azért rögtön Hilbert-teret kapunk.
• Egy valós vagy komplex vektorteret ellátunk egy vektornormával, például euklidészi vagy más p-normával, ekkor normált teret kapunk. Az indukált metrikával Banach-tér.
• Egy valós vagy komplex vektorteret ellátunk egy topológiával, például a standard topológiával. Így topologikus vektorteret kapunk, amennyiben az összeadás és a skalárral szorzás folytonos a topológiában.

Források

• Gerd Fischer. Lineare Algebra: eine Einführung für Studienanfänger. Springer (2008) 
• Herbert Amann, Joachim Escher. Analysis I. Springer (2006) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Koordinatenraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.