Kanonikus bázis

A lineáris algebrában a kanonikus bázis, úgy is, mint standard vagy természetes bázis egy bázis, melyet egy vektortér bázisai közül annak konstrukciója tüntet ki.

Általában véve egy vektortér bázisa független generátorrendszer, ami a következőket jelenti:

• A vektortér minden vektora előáll a halmaz vektorainak lineáris kombinációjaként
• A halmazból csak úgy lehet előállítani a nullvektort, hogy csupa nulla együtthatót használunk.

Ezeket az együtthatókat a vektorok koordinátáinak nevezik az adott bázisban.

A vektortereknek van bázisuk, ám nincs feltétlenül a konstrukcióból adódó kitüntetett bázisuk. Például a sík eltolásai vektorteret alkotnak, de egyik bázisa sincs kitüntetve. Megadható egy bázis úgy, mint: a jobbra egy egységgel eltoló eltolás és a felfelé egy egységgel eltoló eltolás, de mivel a jobbra, felfelé és az egység szavak jelentése konvención alapulnak, azért ez nem standard bázis.

Tekintsük a kétszer differenciálható $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ függvényeket, és minden $x\in \mathbb {R}$ esetén teljesítik az $f(x)+f''(x)=0$ egyenlőséget. Ez egy kétdimenziós valós vektortér, melynek egy bázisa a szinusz- és a koszinuszfüggvényből áll. Ez szintén nem tekinthető természetes bázisnak.

Standard terek standard bázisai

Az euklideszi sík standard bázisa

Többnyire elsőként vezetik be a standard $\mathbb {R} ^{n}$ tereket, ahol $n\in \mathbb {N}$. Az $\mathbb {R} ^{n}$ terek elemei valós szám-$n$-esek. Az $\mathbb {R} ^{n}$ bázisai közül kitüntetettek azok, melyekben a vektorok koordinátái megegyeznek az ábrázoló $n$-esek elemeivel. Kitüntetett az a bázis, melynek elemei az $e_{1},\ldots ,e_{n}$ vektorok, ahol

${\begin{matrix}e_{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0),\\e_{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0),\\&\vdots &\\e_{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1)\end{matrix}}$

Ez $\mathbb {R} ^{n}$ standard bázisa. Hasonlók teljesülnek a $K^{n}$ vektorterekben, ahol $K$ tetszőleges test. Ekkor a standard bázisvektorok $e_{1}=(1,0,\ldots ,0),\ldots ,e_{n}=(0,\ldots ,0,1)$.

Példa

Az $\mathbb {R} ^{2}$ tér standard bázisa az $e_{1}=(1,0)$ és $e_{2}=(0,1)$ vektorokból áll. A bevezetőben említett példák izomorfak az $\mathbb {R} ^{2}$ térrel, azonban nincs standard bázisuk. Következtetésképpen nincs kitüntetett izomorfizmus ezen terek és az $\mathbb {R} ^{2}$ tér között.

Jelölés

A standard bázisvektorok elterjedt jelölése $e_{1},e_{2},\ldots$. Az $\mathbb {R} ^{3}$ tér standard bázisvektorait természettudományi alkalmazásokban gyakran $\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k}$ jelöli:

$\mathbf {i} =e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {j} =e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {k} =e_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

További tulajdonságok

Az $\mathbb {R} ^{n}$ tér konstrukciójából adódóan további tulajdonságokkal bír. A standard skalárszorzat szerint a standard bázis ortonormált.

Standard bázis mátrixterekben

A mátrixok $K^{m\times n}$ terei vektorteret alkotnak a mátrixok összeadására és a skalárral szorzásra. A standard bázist az $E_{ij}$ mátrixok alkotják, ahol a mátrixokban pontosan egy elem egyezik meg a $K$ test egységelemével, a többi elem pedig a $K$ test nulleleme. Például a $(2\times 2)$-es mátrixok esetén a standard bázis elemei:

$E_{11}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},E_{12}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},E_{21}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},E_{22}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$

Standard bázis végtelen dimenziós terekben

Ha $K$ test, és $M$ halmaz, akkor $M$ elemeinek véges lineáris kombinációi vektorteret alkotnak, ha az együtthatók $K$-beliek. Ekkor $M$ bázisa az így definiált vektortérnek, mégpedig standard bázisa.

Alternatívan, a lineáris kombinációk helyett tekinthetjük azokat az $f\colon M\to K$ leképezéseket, amelyeknél majdnem minden $x\in M$ esetén teljesül, hogy $f(x)=0$. Ha $m\in M$, akkor legyen $e_{m}\colon M\to K$ az az $M\to K$ leképezés, amire:

$e_{m}(x)={\begin{cases}1,&{\text{ha }}x=m\\0,&{\text{ha }}x\neq m\end{cases}}$

Ekkor az $\{e_{m}\}_{m\in M}$ család a vektortér bázisát alkotja, ebben az esetben a standard bázisát.

Amennyiben $M$ végtelen, úgy az összes $f\colon M\to K$ leképezésnek nincs standard bázisa.

A testek fölötti polinomgyűrűk szintén vektorterek, ahol a konstrukció eleve kitüntet egy bázist. Ez az $\mathbb {R} [X]$ polinomgyűrű esetén az $1,$ $X,$ $X^{2},$ $X^{3}\dots$ monomokból áll.

Források

• Kowalsky und Michler: Lineare Algebra, Gruyter, ISBN 978-3-11-017963-7
• Albrecht Beutelspacher: „Das ist o.B.d.A. trivial!“ 9. aktualisierte Auflage, Vieweg + Teubner, Braunschweig und Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0771-7, s. v. „Kanonisch“

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Standardbasis című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.