Vektor

A vektor a matematikában használatos fogalom, a lineáris algebra egyik alapvető jelentőségű mennyisége. Általában az ember a vektorokkal mint irányított szakaszokkal szokott találkozni, de a matematikában a jelentése ennél lényegesen bőségesebb. A fogalom különböző irányú általánosításai egyes tudományágakban is megjelennek. Így például a biológiában vektornak nevezik a fertőzéseket terjesztő élőlényeket, hatásokat. Az analógia teljesen világos, a hordozótól a fertőzöttig vezető utat pont a köztesgazda jelenti, azaz két pontot egy meghatározott irányban köt össze.

A matematikában azonban sokkal elvontabb vektorokat is ismerünk. Ezek haszna sokszor a laikusok számára végképp nem nyilvánvaló, és ritkán ismertek, közismertek. Alkalmazásaik azonban széles körűek, különösen a modern tudományokban.

Általános leírás

A vektor a matematikában egy felettébb fontos fogalom. Alkalmazásai rendkívül sokrétűek, a geometriától az absztrakt analízisig mindenhol lehet velük találkozni. Ennek megfelelően az értelmezése is többféleképpen történhet.

Maguk a vektorok a számok egyfajta általánosításainak is tekinthetőek. Ezzel a megközelítéssel főleg az algebrai definíciók dolgoznak, és ekkor legjellemzőbb alkalmazásaik az egyenletrendszerek kezelése.

Mivel a fogalom eredete a fizika, ezért fizikai és geometriai meggondolások is szolgálhatnak alapjául, ekkor főleg a viselkedésük lesz a definíció alapja. A legközkeletűbb értelmezése a fogalomnak is geometriai: olyan szakasz, amit a nagyságán túl az iránya is jellemez. Ez szinte tipizálja a fogalmat, hiszen így olyan mennyiségeket, mint a sebesség vagy az erő, kényelmesen szemléletessé tudunk tenni.

A vektorok legáltalánosabb, és így legmélyebb definícióját az analízisben találjuk, ahol a vektorok egy bizonyos típusú halmazhoz rendelhető másik halmaz elemei. Ez felettes értelmezése a fenti két definíciónak, hiszen mindkettőt magába foglalja.

Definíció

Lineáris algebra

Legyen ${\mathcal {E}}$ euklideszi geometriai tér. Ekkor a ${\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}$ halmaz elemeit, mint rendezett párokat irányított szakasznak nevezzük. Tekintsük most a térben a párhuzamos eltolásokat. Ezek segítségével ${\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}$ felett egy ekvivalenciarelációt határozhatunk meg.

Két pontpárt, $(A,B)$-t és $(C,D)$-t ekvivalensnek tekintünk, ha van olyan $p$ párhuzamos eltolás, hogy $p(A)=C$ és $p(B)=D$.

Az ekvivalenciarelációk a halmazt faktorhalmazokra bontják. Az ${\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}$ felett az előbbiekben bevezetett ekvivalenciareláció faktorhalmazait szabadvektoroknak, a faktorhalmazok elemeit a szabadvektor reprezentánsainak nevezzük.

Geometria

A geometriában a vektorok az eltolások, mint transzformációk meghatározásában játszanak szerepet. Legyen ugyanis $\alpha$ és $\beta$ két párhuzamos sík. Ha a távolságuk $d\neq 0$, akkor a tér bármely $X$ pontjához olyan módon rendel hozzá egy $X'$ pontot, hogy $|XX'|=2d$. Ezen túl az $X$ és $Y$ pontok képe olyan, hogy $XX'||YY'$ és egyező irányításúak. Ezt a leképezést eltolásnak nevezzük.

Világos, hogy az eltoláshoz elegendő az $(X,X')$ pontpárt megadni, mivel ez bármely pontnak a képét megadja a fentebbiek szerint. Az $(X,X')$ párt ekkor vektornak nevezzük. Eszerint egyébként a konkrét síkokra nincs is szükség, kizárólag a távolságuk és fekvésük lényeges.

A fentebbiek során a lineáris algebrai definíció szerinti osztályozást is megvalósítottuk, tehát itt is lehet beszélni az adott irányítású és hosszúságú vektorok ekvivalenciaosztályáról, amit ez alapján szabadvektornak nevezünk. Ha rögzítünk egy $O$ pontot, akkor a szabadvektorok azon reprezentánsait, amik kezdőpontja $O$, kötött vektoroknak nevezzük. Ezek például egy koordináta-rendszer pontjait határozhatják meg.

Analízis

Legyen $T$ test, $H$ pedig halmaz. Ha értelmezünk két függvényt:

$+:H\times H\rightarrow H$, amit általában összeadásnak nevezünk, és

$.:T\times H\rightarrow H$, amit leggyakrabban skalárral való szorzás néven emlegetünk,

úgy, hogy a + asszociatív, kommutatív, invertálható és van neutrális eleme, valamint $\forall \alpha ,\beta \in T$ és $\forall x,y\in H$ esetén

• $\alpha .(\beta .x)=(\alpha \cdot \beta ).x$
• $(\alpha +\beta ).x=\alpha .x+\beta .x$
• $\alpha .(x+y)=\alpha .x+\alpha .y$
• $1.x=x$

teljesül, akkor $H$-t a $T$ test feletti vektortérnek nevezzük, $H$ elemeit pedig vektoroknak.

Mint látható, az analitikus definíció olyan mértékben absztrakt, hogy egészen furcsa halmazokat is tudunk vektortérként kezelni. Ilyen lehet például a $T$-ben haladó konvergens sorozatok halmaza, vagy a $H\rightarrow T$ függvények halmaza.

Vektorműveletek

Két vektor összege rajzban a paralelogramma-szabály szerint képezhető

A vektorműveletek értelmezése céljából érdemes a szemléletes és áttekinthető geometriai képből kiindulni. Ekkor a vektorokat irányított szakaszként, nyíllal ábrázoljuk, és így a jelentésük is a köznapi fogalmakkal megragadhatóvá válik. Ezeken keresztül néhány egyéb fogalom is világossá válik.

Összeadás

Miután a szabadvektorokat a reprezentánsaikkal is jellemezhetjük, két szabadvektor összegét is így tudjuk értelmezni. Az ${\vec {a}}$ és ${\vec {b}}$ vektorok összegzését egy köztes pont felvételével tudjuk meghatározni. Vegyünk fel egy $B$ pontot, és tekintsük az ${\vec {a}}$ vektor azon reprezentánsát, aminek végpontja $B$, és a ${\vec {b}}$ vektor azon reprezentánsát, aminek kezdőpontja $B$. Ekkor a ${\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}$ vektor egy reprezentánsát az ${\vec {a}}$ vektor kezdőpontja és a ${\vec {b}}$ végpontja jelöli ki. Ezt paralelogramma-szabálynak nevezzük. Az elnevezés a mellékelt ábra alapján válik érthetővé.

Szemléletesen, ha a vektorokat elmozdulásnak tekintjük, az ${\vec {AB}}$ vektor az $A$ pontból $B$ pontba jutást jelenti. Hasonlóan a ${\vec {BC}}$ vektor is értelmezhető, ekkor pedig az összegvektoruk az $A$-ból $C$-be jutást jelenti, azaz ${\vec {AB}}+{\vec {BC}}={\vec {AC}}$.

E definíció alapján ellenőrizhető, hogy a definícióban megkövetelt feltételek az összeadásra hogyan teljesülnek.

Szorzatok

A vektorokból a szorzásra emlékeztető művelet többféle is definiálható. Ebből egy külső, három pedig belső művelet.

Skalárral szorzás

A skalárral való szorzás ötlete a szorzat, mint ismételt összeadás hasonlóságából ered:

$\lambda .{\vec {a}}=\underbrace {{\vec {a}}+{\vec {a}}+\dots +{\vec {a}}} _{\lambda {\text{ darab}}}$, ha $\lambda \in \mathbb {N}$.

Mivel ebben az esetben a vektor hossza nőtt meg, adja magát, hogy a $\lambda .{\vec {a}}$ vektor ${\vec {a}}$-val párhuzamos, és annál $\lambda$-szor hosszabb bármilyen $T$-beli elem esetén.

Mivel $T$ elemeit nevezzük skalárnak, adja magát az elnevezés is. A skalár szó ugyan számot jelent, de ez nem jelent problémát, mivel $T$ általában számhalmaz, rendszerint a valós vagy komplex számok teste.

Lineáris kombináció

A skalárral való szorzás eredménye vektor, így a vektortér eleme, és az összeadásban tag lehet. Ha adott ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ és ${\vec {c}}$, valamint $\alpha$, $\beta$ és $\gamma$ skalárok, akkor lineáris kombinációnak nevezzük az alábbi vektort:

${\vec {r}}=\alpha .{\vec {a}}+\beta .{\vec {b}}+\gamma .{\vec {c}}$

Általános alakban írva a lineáris kombináció:

$\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}.{\vec {a_{i}}}$

Ennek segítségével lehet értelmezni a vektortér dimenzióját is. A nullvektort ugyanis elő lehet állítani

${\vec {0}}=0.{\vec {a_{1}}}+0.{\vec {a_{2}}}+\dots$

alakban. Ezt triviális előállításnak nevezzük. Előfordulhat azonban, hogy a zérusvektort nem nulla skalárokkal is megkaphatjuk, ekkor az $({\vec {a_{i}}})$ rendszert lineárisan függőnek mondjuk. A legbővebb olyan rendszert, ami lineárisan független a vektortérben, a tér bázisának nevezzük. A bázis elemszáma lesz a vektortér dimenziója.

Ha pedig van egy bázisunk egy vektortérben, akkor bármely vektor megadható egyértelműen a bázis lineáris kombinációjaként. Az együtthatókat ekkor a vektor koordinátáinak nevezzük. Könnyen belátható, hogy két vektor összegének koordinátái a két vektor koordinátáinak összege.

Skaláris szorzat

Egyes fizikai összefüggések vektormennyiségekből skaláris értékek létrehozását igénylik. Ilyen például a munka kiszámításának a problémája. A definíció is őrzi a fizikai eredetet: a két vektor szorzata legyen maximális, ha párhuzamosak, és nulla, ha merőlegesek, továbbá a szorzat legyen lineáris függvénye a két vektor hosszának.

Az első feltétel szerint a szorzat a két vektor által bezárt szögtől függ. A legegyszerűbb függvény, ami ezt a feltételt kielégíti, a koszinusz függvény. A második feltétellel együtt a szorzat kiszámítására a

${\vec {a}}{\vec {b}}=a\cdot b\cdot \cos \phi$

képlet szolgál, ahol $a$ az ${\vec {a}}$ vektor hossza.

Könnyen belátható, hogy a skaláris szorzat kommutatív és a vektorok összeadására nézve disztributív, de nem asszociatív művelet.

A skaláris szorzat adott bázis esetén könnyebben is kiszámítható. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a bázis vektorai egymásra merőlegesek, ez mindig elérhető a Gram–Schmidt-eljárás segítségével például. Ekkor az ${\vec {a}}$ és ${\vec {b}}$ vektorok a bázis lineáris kombinációjaként felírva:

${\vec {a}}=\sum a_{i}{\vec {e}}_{i}$

${\vec {b}}=\sum b_{i}{\vec {e}}_{i}$

lesznek. A szorzáskor figyelembe véve a skaláris szorzat disztributivitását és az egységvektorok merőlegességét kapjuk:

${\vec {a}}{\vec {b}}=\sum a_{i}b_{i}$.

Például számoljuk ki a ${\vec {a}}=(2,1,3)$ és ${\vec {b}}=(4,-2,-3)$ vektorok skaláris szorzatát:

${\vec {a}}{\vec {b}}=2\cdot 4+1\cdot (-2)+3\cdot (-3)=8-2-9=-3$.

Nem merőleges bázisvektorok esetén a skaláris szorzat vegyes tagokat is fog tartalmazni, valamint egy, a bázist jellemző operátort.

Ha egy vektort önmagával szorzunk, akkor a definíció értelmében a hosszának a négyzetét kapjuk. Ezt a koszinusztétel bizonyítása során is kihasználjuk.

A matematikában a vektor fogalmának általánosítása okán a skaláris szorzatot belső szorzat néven szokás emlegetni.

Vektoriális szorzat

A vektoriális szorzat egy kizárólag három és hét dimenzióban értelmezhető belső szorzat. Eredete a skaláris szorzathoz hasonlóan fizikai: elsősorban a forgatónyomaték kezelésében bukkan fel, de később több más területen is kényelmesnek bizonyult a használata. A definíciója is ennek megfelelően elsősorban technikai jellegű. Legyen ${\vec {a}}$ és ${\vec {b}}$ két vektor. Ekkor hozzájuk rendelhető egy harmadik ${\vec {c}}$ vektor a következő szabályok szerint:

1. ${\vec {c}}=0$, ha ${\vec {a}}||{\vec {b}}$;
2. ${\vec {c}}$ maximális, ha a vektorok merőlegesek egymásra;
3. a szorzat egyenesen arányos a ${\vec {a}}$ és ${\vec {b}}$ hosszával.
4. a három vektor úgy helyezkedik el egymáshoz képest, mint a koordináta-rendszer x, y és z tengelyei.

Az első két feltételt a vektorok által bezárt szög szinusza is kielégíti, így a harmadik feltétellel együtt a skaláris szorzathoz hasonlóan a

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=a\cdot b\cdot \sin \phi$

képletet írhatjuk fel. Ebben nincsen benne a szorzatvektor iránya, úgyhogy azt továbbra is külön fel kell írnunk.

A vektoriális szorzat nem asszociatív, de ez nem meglepő. Még kevésbé meglepő, hogy nem kommutatív, viszont antikommutatív, azaz ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}}$. A vektorok összeadására nézve disztributív.

A tér merőleges bázisvektorai esetén érvényes összefüggések:

1. ${\vec {e}}_{1}\times {\vec {e}}_{2}={\vec {e}}_{3}$
2. ${\vec {e}}_{2}\times {\vec {e}}_{3}={\vec {e}}_{1}$
3. ${\vec {e}}_{3}\times {\vec {e}}_{1}={\vec {e}}_{2}$,

ezeket a koordinátás alak kiszámításakor használjuk ki.

A fenti tulajdonságok alapján levezethető a vektorok szorzatára vonatkozó számítási módszer: Ha ${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {c}}$, akkor

${\vec {c}}_{1}={\vec {a}}_{2}{\vec {b}}_{3}-{\vec {a}}_{3}{\vec {b}}_{2}$

${\vec {c}}_{2}={\vec {a}}_{3}{\vec {b}}_{1}-{\vec {a}}_{1}{\vec {b}}_{3}$

${\vec {c}}_{3}={\vec {a}}_{1}{\vec {b}}_{2}-{\vec {a}}_{2}{\vec {b}}_{1}$.

Például az ${\vec {a}}=(2,5,-2)$ és ${\vec {b}}=(3,-4,-1)$ vektorok vektoriális szorzata:

${\vec {c}}_{1}=5\cdot (-1)-(-2)\cdot (-4)=-5-8=-13$

${\vec {c}}_{2}=(-2)\cdot 3-2\cdot (-1)=-6+2=-4$

${\vec {c}}_{3}=2\cdot (-4)-5\cdot 3=-8-15=-23$.

Skaláris szorzással ellenőrizhet, hogy e vektor mindkettő tényezőre merőleges.

Tenzori (diadikus) szorzat

A vektorok legáltalánosabb szorzata a fizikában a tenzormennyiségek definiálására is szolgál. A tenzorszorzat két vektorhoz egy lineáris leképezést rendel az alábbi definíció szerint:

${\hat {L}}{\vec {x}}={\vec {a}}.\left({\vec {b}}{\vec {x}}\right)=\left({\vec {a}}\circ {\vec {b}}\right){\vec {x}}$

A definíció valamely koordináta-rendszerben kifejtve a tenzorszorzat egy reprezentációját kapjuk:

${\hat {L}}_{ij}={\vec {a}}_{i}{\vec {b}}_{j}$

A vektorok tenzorszorzatával a tenzoralgebra foglalkozik alaposabban.

Példaként szorozzuk össze a ${\vec {u}}=\left(3,-2,5\right)$ és a ${\vec {v}}=\left(4,2,-3\right)$ vektorokat!

$3\cdot 4=12$	$3\cdot 2=6$	$3\cdot (-3)=-9$
$(-2)\cdot 4=-8$	$(-2)\cdot 2=-4$	$(-2)\cdot (-3)=6$
$5\cdot 4=20$	$5\cdot 2=10$	$5\cdot (-3)=-15$

A szorzat tehát:

${\begin{pmatrix}12&6&-9\\-8&-4&6\\20&10&-15\end{pmatrix}}$

Alkalmazások

A vektoroknak számtalan alkalmazása van. Ezek főleg a matematikához, fizikához és informatikához kötődnek. Legtöbbször egyfajta általánosítása a hagyományos vektorfogalomnak az egyes tudományágak saját fogalomalkotása, de az analógia legtöbbször nyilvánvaló.

A matematikában

Jellemzően a lineáris algebrában fordulnak elő vektorok, illetve ehhez kapcsolódóan az analitikus geometriában.

A lineáris algebra az egyenletrendszereket lineáris egyenletekhez hasonló módon kezelő eszközöket kap, ha az ismeretleneket és az egyenletek jobb oldalát egy-egy vektorként kezeljük, ekkor az együtthatók ugyanis egy leképezés mátrixának alakját fogja ölteni. Például

Egyenletrendszer	Egyenlet
${\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\dots +a_{nn}x_{n}&=b_{n}\end{aligned}}$	$ax=b$
${\hat {A}}{\vec {x}}={\vec {b}}$	$ax=b$
${\vec {x}}={\hat {A}}^{-1}{\vec {b}}$	$x=a^{-1}b={\frac {b}{a}}$

A koordinátageometriában a vektorok tulajdonképpen a pontokat jelölik ki, így helyvektorként funkcionálnak, a vektorokból pedig a fentebb említett műveletek segítségével a geometria legalapvetőbb ponthalmazai építhetőek fel. Ez egyben az összekötő kapocs is az algebra és a geometria között, aminek segítségével igazolható e két nagy terület egyenértékűsége.

Ezen túl a vektor fogalom általánosabb, elvontabb formája segítségével az analízis sok fogalma is kényelmesebben kezelhetővé válik. Ilyen például az intervallum felett korlátos függvények halmaza, vagy egy test felett értelmezett operátorok tere.

A vektorok segítségével lehet a Hilbert-tereket, mint speciális, skalárszorzatos tereket definiálni, amik a fizikai alkalmazások során nyernek jelentőséget, mivel a fizikai mennyiségeket a Hilbert-tereken ható operátorokkal jellemezzük.

A fizikában

A fizikában a vektorokat más szemlélettel definiáljuk, mint a matematikában. Mivel a fizika a világot koordináta-rendszerekben írja le, a legfontosabb mennyiségeket a koordináta-rendszerek közötti átmenet szempontjából, azaz a transzformációk során mutatott viselkedésük szerint írjuk le. Az alaptípus a koordináta-rendszert kifeszítő, egységvektorokból álló generátorhalmaz. Ekkor vektornak nevezünk minden olyan fizikai mennyiséget, amelyek úgy transzformálódnak, mint a koordináta-rendszert kifeszítő egységvektorok.

A vektorok azonban nem feltétlenül viselkednek azonosan a fentebbi meghatározással. A vektori szorzat esetén például a tükrözés során a két tényező előjelet vált, a szorzatvektor viszont nem:

$\left(-{\vec {x}}\right)\times \left(-{\vec {y}}\right)=\left(-1\right)^{2}\left({\vec {x}}\times {\vec {y}}\right)$

Az ilyen vektort, mivel tulajdonképpen egy tengelyt jelöl ki, axiálvektornak nevezünk.

A köznapi szemlélet szempontjából a fizikai vektorok legfontosabb tulajdonsága, hogy a nagyságuk mellett irányításuk is van. Ez alapján definiálhatóak a vektormennyiségek: olyan fizikai mennyiség, amit két mennyiség, irány és nagyság jellemez. Ez egyben három paramétert igényel, azonban speciális esetekben a koordináta-rendszer megfelelő megválasztásával egy vagy kettő zérussá tehető. Ez az oka, hogy a bevezető fizikai tanulmányok során az egyenes vonalú mozgások, állandó irányú hatások játszanak elsődleges szerepet.

A klasszikus fizika háromdimenziós vektorokkal foglalkozik, a relativisztikus fizika azonban a téridő leírására már négy paramétert alkalmaz, így itt a vektorok viselkedése teljesen váratlanná válhat a laikus szemlélő számára. A vektorokat három nagy csoportba sorolhatjuk: időszerű, fényszerű és térszerű vektorok.

Az időszerű vektorok hosszának négyzete pozitív, ezen vektorokhoz mindig találunk olyan koordináta-rendszert, hogy a vektor az időtengellyel párhuzamos lesz. Ha két esemény időszerű kapcsolatban van egymással, akkor mindig van olyan megfigyelő, aki számára a két esemény ugyanott, de egymás után történik. A legegyszerűbb időszerű kapcsolat a kauzalitás, azaz az egyik pont, mint esemény, oka a másiknak. Ha egy vektor időszerű, akkor minden megfigyelő számára időszerű a kapcsolat, ez fejezi ki a relativitáselmélet determinisztikusságát.

A térszerű vektorok hossznégyzete negatív, azaz ezekhez mindig találunk olyan koordináta-rendszert, aminek egy térbeli koordinátatengelyével párhuzamosak. A gyakorlatban a térszerű kapcsolat két esemény között azt jelenti, hogy van olyan megfigyelő, aki számára a két esemény egyszerre történik, de eltérő helyeken.

A fényszerű vektorok hossznégyzete nulla, ezek tehát a koordináta-rendszerek transzformációja során nem változnak. Az elnevezés tükrözi szerepüket: a fényszerű vektorokat a fénysugarak jelölik ki, azaz a fény sebessége minden megfigyelő számára egyenlő.

A számítástechnikában

A számítástechnikában általában az egydimenziós tömböket nevezik vektornak, ez megfelel ugyanis a vektorkoordináták mátrixreprezentációjának. Ugyanakkor azonban egy tömb elemei nem csak számok lehetnek, ennyiben a matematikai vektorfogalomtól el is tér. A konkrét értelmezés általában a programozási nyelv része. Például a C++-ban a Vector egy konténer osztály, aminek elemei tetszőleges, akár több különböző típusba tartozó adatok lehetnek.

Források

• Jánossy Lajos, Tasnádi Péter – Vektorszámítás I (Vektor és tenzoralgebra), Nemzeti tankönyvkiadó, Budapest 2002 ISBN 963 19 3952 9
• Király Bertalan – Lineáris algebra, EKTF Líceum kiadó, Eger 2004, ISBN 963 941714 9
• Fényes Imre – Modern fizikai kisenciklopédia, Gondolat könyvkiadó, Budapest, 1971
• Weisstein, Eric W.: Vektor (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Sulinetes anyag a vektorokról
• Magyarított, letölthető interaktív Flash szimuláció síkvektorok összeadásáról a PhET-től. Grafikus megjelenítés mellett a polár- és derékszögű koordinátákat is megadja.
• Magyarított Flash szimuláció a derékszögű koordináták és a megfelelő egységvektorok kapcsolatáról. Szerző: David M. Harrison