Kontinuitási egyenlet

A kontinuitási egyenlet minden alábbi példája ugyanazt a gondolatot fejezi ki. A kontinuitási egyenletek a megmaradási törvények (erősebb) lokális kifejezései.

Elektromágneses elmélet

Az elektrodinamikában a kontinuitási egyenlet két Maxwell-egyenletből vezethető le. Azt fejezi ki, hogy az áramsűrűség divergenciája egyenlő a töltéssűrűség változási sebességének mínusz egyszeresével:

$\nabla \cdot \mathbf {j} =-{\partial \rho \over \partial t}$

Származtatás

Az egyik Maxwell-egyenlet szerint:

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\partial \mathbf {D} \over \partial t}.$

Mindkét oldal divergenciáját véve:

$\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {H} =\nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \nabla \cdot \mathbf {D} \over \partial t}$,

de egy rotáció divergenciája nulla:

$\nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \nabla \cdot \mathbf {D} \over \partial t}=0.\qquad \qquad (1)$

Egy másik Maxwell-egyenlet szerint:

$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho .\,$

Helyettesítsük ezt be az (1) egyenletbe:

$\nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \rho \over \partial t}=0,\,$

ami a kontinuitási egyenlet.

Interpretáció

Az áramsűrűség a töltéssűrűség áramlása vagy az áram(erősség) sűrűsége. A kontinuitási egyenlet szerint ha töltés távozik egy infinitezimális térfogatból (azaz az áramsűrűség divergenciája pozitív), akkor a töltés mennyisége a térfogatban csökken. Ezért a kontinuitási egyenlet az elektromos töltésmegmaradás kifejezése.

Áramlástan

Az áramlástanban a kontinuitási egyenlet a tömegmegmaradás kifejezése. Differenciális alakban:

${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

ahol $\rho$ a sűrűség, t az idő, és u a folyadéksebesség.

Kvantummechanika

A kvantummechanikában a valószínűség megmaradása szintén 'kontinuitási egyenlethez vezet. Legyen P(x, t) a valószínűségsűrűség, amivel:

$\nabla \cdot \mathbf {j} =-{\partial \over \partial t}P(x,t)$

ahol j a valószínűségi áram.

Kapcsolódó szócikkek

• Schrödinger-egyenlet
• Valószínűségi áram