Valószínűségi áramsűrűség

A kvantummechanikában a valószínűségi áram (néha valószínűségi fluxus) a valószínűségi sűrűség áramlását írja le. Ha az ember a valószínűségi sűrűséget egy folyadéknak képzeli, akkor a valószínűségi áram ezen folyadék áramlásának erőssége (sűrűség szorozva a sebességgel).

Definíció

A valószínűségi áramot a következőképpen definiáljuk helybázison:

${\vec {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)$

ami kielégíti a kontinuitási egyenletet:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0$

ahol a $\rho \,$ valószínűségi sűrűség definíciója:

$\rho =|\Psi |^{2}\,$.

A divergenciatétel miatt a kontinuitási egyenlet a következő integrálegyenlettel ekvivalens:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}|\Psi |^{2}dV+\int _{S}{\vec {j}}\cdot {\vec {dA}}=0$

ahol $V$ tetszőleges térfogat és $S$ a határfelülete. Ez a kvantummechanika valószínűség-megmaradásának törvénye, ami azt fejezi ki, hogy a részecske megtalálási valószínűsége a $V$ térfogatban úgy növekszik, ahogy a valószínűség beáramlik.

Példák

Síkhullám

A háromdimenzióbeli síkhullám

$\Psi =e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}$

valószínűségi árama:

${\vec {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}{\vec {\nabla }}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}{\vec {\nabla }}e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\right)={\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}.$

ami nem más, mint a részecske impulzusa

${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$

osztva a tömegével, azaz a "sebessége" (amennyibe a kvantummechanikai részecskeének van egyáltalán sebessége). Vegyük észre, hogy a valószínűségi áram nem nulla annak ellenére, hogy a síkhullámok stacionárius állapotok és így

${\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0\,$

mindenhol. Ez mutatja, hogy a részecske "mozgásban" lehet akkor is, ha a térbeli valószínűségi sűrűségének nincs explicit időfüggése.

Részecske egy dobozban

Tekintsük egy dimenzióban egy $L$ hosszúságú dobozban levő részecske energia sajátállapotait:

$\Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)$

A kapcsolódó valószínűségi áram:

$j_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0$

mivel $\Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}.$

A kontinuitási egyenlet származtatása

Vezessük le a kontinuitási egyenletet a valószínűségi áram definíciójából és a kvantummechanika elveiből. Tegyük fel, hogy $\Psi \,$ egy részecske hullámfüggvénye helybázison (azaz $\Psi \,$ $x$, $y$, z $z$ függvénye). Ekkor

$P=\int _{V}|\Psi |^{2}dV\,$

annak a valószínűsége hogy a részecske helymérése V-n belüli értéket ad. Ennek időderiváltja

${\frac {dP}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}|\Psi |^{2}dV=\int _{V}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)dV$

ahol $V$ alakjáról feltesszük, hogy nem függ az időtől. Vegyük az időfüggő Schrödinger-egyenletet

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi$

és fejezzük ki belőle $\Psi \,$ időderiváltját

${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\Psi -{\frac {i}{\hbar }}V\Psi$

Ezt helyettesítsük vissza az előző egyenletbe:

${\frac {dP}{dt}}=-\int _{V}{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)dV$.

Használjuk ki a következő azonosságot:

$\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\vec {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\vec {\nabla }}\Psi \cdot {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi {\vec {\nabla }}^{2}\Psi ^{*}$

és mivel az első és a harmadik tag kiejtik egymást:

${\frac {dP}{dt}}=-\int _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)dV$

Ha most vesszük $P$ eredeti kifejezését is és észrevesszük, hogy a divergenciaoperátor argumentuma éppen ${\vec {j}}$, akkor azt kapjuk, hogy:

$\int _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}\right)dV=0$

ami a kontinuitási egyenlet integrálalakja. A differenciálalak abból következik, hogy ez az egyenlet minden $V$ térfogatra igaz, és ezért az integrandusnak mindenhol el kell tűnnie:

${\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0.$