Hibaterjedés

A statisztikában hibaterjedésnek nevezik a származtatott mennyiségek hibájának az alapul szolgáló mennyiségek hibájától való függését, illetve magát a matematikai módszert, mellyel a származtatott mennyiségek hibáját becslik. A hibaterjedés figyelembe vétele a fizikában is gyakran használatos, ha például hibával terhelt mért mennyiségekből valamilyen összefüggés segítségével származtatott új mennyiség hibáját határozzák meg.

Például ha egy, az Ohm-törvénynek engedelmeskedő áramköri rendszeren mérjük az $I$ átfolyó áramot, és annak $\Delta I$ bizonytalanságát, továbbá az első $U$ feszültséget, és annak $\Delta U$ bizonytalanságát, akkor az ellenállás meghatározására szolgáló ${\textstyle R=f(U,I)={\frac {U}{I}}}$ összefüggés és a hibaterjedés figyelembe vételével a származtatott ellenállás $\Delta R$ bizonytalansága jól közelíthető. Egyes esetekben, például $f=AB$ alakú összefüggés esetén $f$ hibája egzakt módon is kifejezhető, de általában sorfejtésen alapuló, lineáris közelítést alkalmaznak.

A hibaterjedés jellegét alapvetően az alábbiak határozzák meg:

A kiinduló mennyiségek bizonytalanságának összefüggése illetve függetlensége befolyásolja a származtatott mennyiség hibájának számolását.
A származtatott mennyiség kifejezését megadó $f$ összefüggés jellege befolyásolja, hogy mely mért mennyiségek hibája milyen mértékben járul hozzá a származtatott hibához.

Számolási módja

Lineáris kombináció esetén

A hibaterjedés matematikai jellemzése abban az esetben egyszerűbb, ha a származtatott változót megadó $f$ összefüggés a kiindulási változóknak lineáris kombinációja. Ezért ezzel az esettel külön érdemes foglalkozni. Legyen $\{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}$ m elemű halmaz minden eleme olyan függvény, mely $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ változók lineáris kombinációjaként áll elő $A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn}$ együtthatókkal, ahol $(k=1,\dots ,m)$ , azaz:

f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i}

, illetve mátrixjelöléssel:

\mathrm {f} =\mathrm {Ax}

Legyen $\Sigma ^{x}\,$ a kovarianciamátrix az alábbi jelölésekkel, ahol $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ :

\Sigma ^{x}={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{12}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\mathit {\Sigma }}_{1}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{12}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{13}^{x}&\cdots \\{\mathit {\Sigma }}_{12}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{2}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{23}^{x}&\cdots \\{\mathit {\Sigma }}_{13}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{23}^{x}&{\mathit {\Sigma }}_{3}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}

.

Az $f$ függvény $\Sigma ^{f}\,$ kovarianciamátrixa ezzel úgy adható meg, hogy:

{\mathit {\Sigma }}_{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{\ell }^{n}A_{ik}{\mathit {\Sigma }}_{k\ell }^{x}A_{j\ell }

, illetve mátrixjelöléssel:

\Sigma ^{f}=\mathrm {A} \Sigma ^{x}\mathrm {A} ^{\top }

.

A fenti általános összefüggés megengedi a változók közti korrelációt is. Ha azonban az $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ változók hibája egymástól független, a fenti összefüggés egyszerűbb alakba írható:

{\mathit {\Sigma }}_{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}{\mathit {\Sigma }}_{k}^{x}A_{jk}

,

ahol ${\mathit {\Sigma }}_{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}$ az v vektor k-adik elemének szórásnégyzete.

Skalárértékű $f$ függvényre ismét egyszerűbb összefüggést kapunk:

f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}:f=\mathrm {a} x\,

,

\sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}{\mathit {\Sigma }}_{ij}^{x}a_{j}=\mathrm {a} \Sigma ^{x}\mathrm {a} ^{\top }

,

ahol a sorvektor. A $\sigma _{ij}$ kovarianciák kifejezhetők a szórásokkal és a megfelelő $\rho _{ij}\,$ Pearson-féle korrelációs együtthatóval: $\sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}\,$ , melyből következik a származtatott szórásnégyzet egy másik kifejezése:

\sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}

,

mely független változók esetén:

\sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.

Még speciálisabb esetet képvisel a több, megegyező szórású változó egyenlő együtthatójú kombinációja esetén megadható

\sigma _{f}={\sqrt {n}}a\sigma

.

Nemlineáris összefüggéseknél

Ha az f az x változók nemlineáris függvénye, akkor csak egyes esetekben adható meg pontos hibaszámítási formula, de általában például úgy közelíthető a származtatott mennyiség hibája, hogy az $f$ függvényt az alábbiak szerint lineáris tagig Taylor-sorba fejtjük:

f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}

,

ahol $\partial f_{k}/\partial x_{i}$ az $f_{k}$ függvény $x_{i}$ szerinti parciális deriváltjának $x_{i}$ átlagánál felvett értékét jelöli. Mátrixjelöléssel:

\mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,

ahol $\mathrm {J}$ a Jacobi-mátrix. Mivel $f^{0}$ konstans, ezért nem járul hozzá $f$ hibájához. Ezzel tehát a lineáris kombinációra levezetett hibaterjedést kapjuk vissza azzal a különbséggel, hogy az $A_{ik},A_{jk}$ együtthatók helyébe a parciális deriváltak áltagnál felvett ${\textstyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}},{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}$ értékei lépnek, így:^[1]

\mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.

Tehát a függvény Jacobi-matrixával fejezhető ki az $x_{i}$ -k kovarianciamátrixának transzformációja.

Gauss-hibaterjedési formula

A mérnöki gyakorlatban és az alkalmazott kutatásban gyakran élnek azzal a közelítéssel a nemlineáris $f$ hibájának becslésére, hogy $x_{i}$ változók függetlenek. Ekkor ugyanis az alábbi, könnyen kezelhető hibaterjedési összefüggés írható fel:

s_{f}\approx {\sqrt {\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)^{2}s_{x_{i}}^{2}}}

ahol $s_{f}$ az $f$ szórása, $s_{x_{i}}$ pedig az $x_{i}$ szórása. Mivel a fenti összefüggés a sorfejtés lineáris tagjának megtartásán, a többi tag elhagyásán alapul, ezért a származtatott hiba mértékét csak közelíti. Általában azt mondhatjuk, hogy a közelítés elég jó, ha az $s_{x},s_{y},s_{z},\ldots$ szórások nem olyan nagyok, hogy az $f$ lineáris közelítése egy $s_{x},s_{y},s_{z},\ldots$ sugarú környezetében nem tér el számottevően $f$ -től.^[2]

Gyakori példák

Az alábbi táblázat a $\sigma _{A},\sigma _{B}$ relatív szórásokkal és $\sigma _{AB}$ kovarianciával jellemzett $A,B$ valószínűségi változókra vonatkozó néhány egyszerű és tipikus összefüggés esetén levezetett hibaszámolást foglalja össze.

Összefüggés	Szórásnégyzet	Szórás
$f=aA\,$	$\sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}$	$\sigma _{f}=\|a\|\sigma _{A}$
$f=aA+bB\,$	$\sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}}$
$f=aA-bB\,$	$\sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}}$
$f=AB\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]$ ^[3]^[4]	$\sigma _{f}\approx \left\|f\right\|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}$
$f={\frac {A}{B}}\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]$ ^[5]	$\sigma _{f}\approx \left\|f\right\|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}$
$f=aA^{b}\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left({a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right)^{2}=\left({\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left\|{a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right\|=\left\|{\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right\|$
$f=a\ln(bA)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}$ ^[6]	$\sigma _{f}\approx \left\|a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right\|$
$f=a\log _{10}(A)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right)^{2}$ ^[6]	$\sigma _{f}\approx \left\|a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right\|$
$f=ae^{bA}\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left(b\sigma _{A}\right)^{2}$ ^[7]	$\sigma _{f}\approx \left\|f\left(b\sigma _{A}\right)\right\|$
$f=a^{bA}\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}(b\ln(a)\sigma _{A})^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left\|f(b\ln(a)\sigma _{A})\right\|$
$f=a\sin(bA)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\cos(bA)\sigma _{A}\right]^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left\|ab\cos(bA)\sigma _{A}\right\|$
$f=a\cos \left(bA\right)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sin(bA)\sigma _{A}\right]^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left\|ab\sin(bA)\sigma _{A}\right\|$
$f=A^{B}\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}\right]$	$\sigma _{f}\approx \left\|f\right\|{\sqrt {\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}}}$

Ha az $A,B$ változók függetlenek, azaz a korrelációs együtthatójuk nulla ( $\rho _{AB}=0$ ) akkor $\sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}$ alapján a kovarianciájuk is nulla: $\sigma _{AB}=0$ .

Függetlenségnél és az $f=AB$ összefüggés esetén a szórásnégyzet kifejezésére a Goodman-formula is alkalmazható:^[8]

V(XY)=E(X)^{2}V(Y)+E(Y)^{2}V(X)+E((X-E(X))^{2}(Y-E(Y))^{2})

,

melyből a származtatott mennyiség szórásnégyzete:

\sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}

Jegyzetek

↑ Ochoa1,Benjamin; Belongie, Serge "Covariance Propagation for Guided Matching" Archiválva 2011. július 20-i dátummal a Wayback Machine-ben
↑ Clifford, A. A.. Multivariate error analysis: a handbook of error propagation and calculation in many-parameter systems. John Wiley & Sons (1973). ISBN 0470160551
↑ A Summary of Error Propagation. [2016. december 13-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. április 4.)
↑ Propagation of Uncertainty through Mathematical Operations. (Hozzáférés: 2016. április 4.)
↑ Strategies for Variance Estimation. (Hozzáférés: 2013. január 18.)
↑ ^a ^b Harris, Daniel C. (2003), Quantitative chemical analysis (6th ed.), Macmillan, p. 56, ISBN 0-7167-4464-3, <https://books.google.com/books?id=csTsQr-v0d0C&pg=PA56>
↑ Error Propagation tutorial. Foothill College, 2009. október 9. (Hozzáférés: 2012. március 1.)
↑ Goodman, Leo (1960). „On the Exact Variance of Products”. Journal of the American Statistical Association 55 (292), 708–713. o. DOI:10.2307/2281592. JSTOR 2281592.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Propagation of uncertainty című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

Szakkönyvek

Szatmáry Zoltán. Mérések kiértékelése – Egyetemi jegyzet [archivált változat] (PDF), Budapest: BME TTK (2010). Hozzáférés ideje: 2017. augusztus 31. [archiválás ideje: 2016. március 27.]

Tananyagok, ismeretterjesztő weblapok

Error analysis (megoldott példák) (angol nyelven). http://lectureonline.cl.msu.edu. [2017. szeptember 8-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2017. szeptember 4.)
A fizikai mérések hibája (Egyetemi laboratóriumi segédanyag) (PDF). Fizipédia. BME. (Hozzáférés: 2017. szeptember 4.)

Kapcsolódó szócikkek

[1] Ochoa1,Benjamin; Belongie, Serge "Covariance Propagation for Guided Matching" Archiválva 2011. július 20-i dátummal a Wayback Machine-ben

[2] Clifford, A. A.. Multivariate error analysis: a handbook of error propagation and calculation in many-parameter systems. John Wiley & Sons (1973). ISBN 0470160551

[3] A Summary of Error Propagation. [2016. december 13-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. április 4.)

[4] Propagation of Uncertainty through Mathematical Operations. (Hozzáférés: 2016. április 4.)

[5] Strategies for Variance Estimation. (Hozzáférés: 2013. január 18.)

[harris2003-6] Harris, Daniel C. (2003), Quantitative chemical analysis (6th ed.), Macmillan, p. 56, ISBN 0-7167-4464-3, <https://books.google.com/books?id=csTsQr-v0d0C&pg=PA56>

[7] Error Propagation tutorial. Foothill College, 2009. október 9. (Hozzáférés: 2012. március 1.)

[Goodman1960-8] Goodman, Leo (1960). „On the Exact Variance of Products”. Journal of the American Statistical Association 55 (292), 708–713. o. DOI:10.2307/2281592. JSTOR 2281592.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]